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Asset pre-selection for a cardinality constrained index tracking portfolio with optional enhancement

यह शोध पत्र एक दो-चरणीय S&P 500 विश्लेषण के माध्यम से यह प्रदर्शित करता है कि कार्डिनैलिटी बाधाओं (cardinality constraints) को शिथिल करने से ट्रैकिंग सटीकता और जोखिम-समायोजित रिटर्न में सुधार होता है, जबकि पोर्टफोलियो संवर्धन के लिए 10 से 20 परिसंपत्तियों का एक कड़ा प्रतिबंध इष्टतम है।

मूल लेखक: N. Meade, C. A. Valle, J. E. Beasley

प्रकाशित 2026-07-07

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CC BY 4.0

मूल लेखक: N. Meade, C. A. Valle, J. E. Beasley

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, प्रसिद्ध ऑर्केस्ट्रा (शेयर बाजार सूचकांक, जैसे S&P 500) के प्रदर्शन की नकल करना चाहते हैं। उस ऑर्केस्ट्रा में 500 संगीतकार पूरी तरह से तालमेल के साथ बज रहे हैं। आपका लक्ष्य संगीतकारों का एक छोटा समूह (एक पोर्टफोलियो) नियुक्त करना है ताकि वे उसी गाने को इतनी अच्छी तरह से बजा सकें कि कोई अंतर न बता सके, लेकिन आप कम वेतन देना चाहते हैं और कम लोगों का प्रबंधन करना चाहते हैं।

यह शोध पत्र इस पर एक अध्ययन है कि सबसे अच्छे छोटे संगीत समूहों को कैसे चुना जाए और काम को सही ढंग से करने के लिए आपको वास्तव में कितने संगीतकारों की आवश्यकता है।

यहाँ उनके निष्कर्षों का सरल भाषा में विवरण दिया गया है:

1. बड़ी समस्या: "बहुत अधिक संगीतकार" की दुविधा

यदि आप पूरे ऑर्केस्ट्रा को नियुक्त करने की कोशिश करते हैं, तो यह महंगा है और इसे प्रबंधित करना कठिन है। यदि आप केवल 5 यादृच्छिक (रैंडम) संगीतकारों को चुनते हैं, तो संभावना है कि वे बिल्कुल भी ऑर्केस्ट्रा जैसा नहीं सुनाई देंगे। शोधकर्ता "गोल्डिलॉक्स" संख्या (Goldilocks number) की तलाश में थे: एक छोटे दल का आदर्श आकार जो बड़े बैंड के लगभग समान सुनाई दे।

उन्होंने एक विशिष्ट रणनीति का परीक्षण किया: पहले संगीतकारों को चुनें, फिर यह तय करें कि प्रत्येक को कितनी जोर से बजाना चाहिए। पूरे पहेली को एक साथ हल करने की कोशिश करने के बजाय (जो कि एक गणितीय दुःस्वप्न है), उन्होंने दो सरल चरणों का उपयोग किया:

चयन (Selection): उपलब्ध 500 में से सर्वश्रेष्ठ 10, 20 या 50 संगीतकारों को चुनने के लिए सांख्यिकी का उपयोग करें।
वेटिंग (Weighting): एक बार टीम चुनी जाने के बाद, मूल के साथ मेल बिठाने के लिए गणना करें कि प्रत्येक व्यक्ति को गाने का कितना हिस्सा बजाना चाहिए।

2. चयन विधियाँ: टीम को कैसे चुनें

शोधकर्ताओं ने टीम चुनने के आठ अलग-अलग तरीके आजमाए, जैसे अलग-अलग प्लेबुक के साथ अलग-अलग कोच:

फॉरवर्ड सिलेक्शन (Forward Selection): शून्य संगीतकारों से शुरू करें। सबसे अच्छे एकल संगीतकार को जोड़ें। फिर अगला सबसे अच्छा संगीतकार जोड़ें जो पहले वाले के साथ फिट बैठता हो। तब तक चलते रहें जब तक आपके पास आपकी टीम न हो।
बैकवर्ड एलिमिनेशन (Backward Elimination): सभी 500 संगीतकारों के साथ शुरू करें। सबसे खराब वाले को निकाल दें। अगले सबसे खराब को निकाल दें। तब तक चलते रहें जब तक आपके पास आपकी टीम न हो।
गणितीय उपकरण (Math Tools): उन्होंने यह तय करने के लिए कि कौन "सर्वश्रेष्ठ" था, दो अलग-अलग गणितीय सूत्रों का उपयोग किया:
- OLS (मानक): यह मानता है कि संगीत एक सामान्य, अनुमानित तरीके से व्यवहार करता है।
- LAD (कठोर/टफ कुकी): यह मानता है कि संगीत में जंगली, अप्रत्याशित उतार-चढ़ाव (fat tails) हो सकते हैं और यह उन्हें बेहतर तरीके से संभालता है।

विजेता: अध्ययन में पाया गया कि बैकवर्ड एलिमिनेशन (सभी के साथ शुरू करें और कमजोर कड़ियों को निकाल दें) का उपयोग करके मानक गणित (OLS) सबसे विश्वसनीय कोच था। इसने लगातार उन टीमों को चुना जो मूल ऑर्केस्ट्रा की तरह सबसे अधिक सुनाई देती थीं।

3. "आकार मायने रखता है" की खोज

सबसे दिलचस्प खोज संगीतकारों की संख्या (कार्डिनैलिटी) के बारे में थी।

शुद्ध नकल के लिए (इंडेक्स को ट्रैक करना):
शोधकर्ताओं ने एक सरल नियम की खोज की: आपके पास जितने अधिक संगीतकार होंगे, आप उतना ही बेहतर सुनाई देंगे।
- यदि आपके पास 5 संगीतकार हैं, तो आप 4% तक गलत हो सकते हैं।
- यदि आपके पास 50 संगीतकार हैं, तो आप केवल 1% तक गलत हो सकते हैं।
- उन्होंने पाया कि त्रुटि (error) संगीतकारों की संख्या के वर्गमूल (square root) के अनुपात में घटती है। यह एक फोटो में अधिक पिक्सेल जोड़ने जैसा है; आप जितने अधिक जोड़ते हैं, तस्वीर उतनी ही स्पष्ट होती जाती है, लेकिन बहुत उच्च संख्या तक पहुँचने पर इसका लाभ धीमा हो जाता है।
- उपमा: यदि आप एक पेंटिंग की नकल करने की कोशिश कर रहे हैं, तो अधिक ब्रशस्ट्रोक (परिसंपत्तियां) जोड़ने से वह हमेशा अधिक सटीक दिखाई देता है।
इंडेक्स को पछाड़ने के लिए (बेहतर रिटर्न):
यहाँ मामला थोड़ा पेचीदा हो जाता है। कभी-कभी निवेशक न केवल ऑर्केस्ट्रा की नकल करना चाहते हैं, बल्कि इसे बेहतर बजाना चाहते हैं (अधिक पैसा कमाना चाहते हैं)।
- अध्ययन ने पाया कि इंडेक्स को पछाड़ने के लिए, छोटे दल सबसे अच्छा काम करते हैं।
- अतिरिक्त लाभ उत्पन्न करने के लिए लगभग 10 से 20 संगीतकारों का दल सबसे सटीक (sweet spot) था।
- उपमा: यदि आप 100 संगीतकारों को जोड़कर ऑर्केस्ट्रा को पछाड़ने की कोशिश करते हैं, तो आप केवल एक शोर भरा मिश्रण बना देते हैं। लेकिन यदि आप 15 सुपर-टैलेंटेड खिलाड़ियों की एक छोटी, विशिष्ट टीम चुनते हैं, तो वे एक अनूठी लय पा सकते हैं जो मूल गाने को और भी शानदार बना देती है।

4. "अभ्यास बनाम प्रदर्शन" का परीक्षण

शोधकर्ताओं ने केवल यह नहीं देखा कि उनकी टीमें कितनी अच्छी तरह अभ्यास करती हैं (इन-सैंपल डेटा); उन्होंने वास्तविक दुनिया में उनके प्रदर्शन को भी देखा (आउट-ऑफ-सैंपल डेटा)।

आश्चर्यजनक खोज: कभी-कभी, छोटे दल (कम कार्डिनैलिटी) वास्तव में वास्तविक दुनिया में अपने अभ्यास (इन-सैंपल) की तुलना में बेहतर प्रदर्शन करते हैं।
क्यों? अभ्यास सत्र (डेटा जिसका उपयोग टीम चुनने के लिए किया गया था) अक्सर बहुत अराजक और शोर भरा (जैसे एक तूफानी कॉन्सर्ट हॉल) था। वास्तविक प्रदर्शन शांत था। छोटे दल, जो अराजकता के लिए "ट्यून" किए गए थे, शोर कम होने पर बहुत स्थिर साबित हुए।

5. निष्कर्ष (Bottom Line)

यदि आप बाजार की पूर्ण नकल करना चाहते हैं: तो आपको एक बड़ा दल (अधिक परिसंपत्तियां) चाहिए। आपके पास जितनी अधिक परिसंपत्तियां होंगी, आप वास्तविक चीज़ के उतने ही करीब होंगे, और आपका प्रदर्शन इस बात पर कम निर्भर करेगा कि उस वर्ष बाजार कितना जंगली रहा।
यदि आप बाजार को पछाड़ना चाहते हैं: तो आपको एक छोटा, चुस्त दल (लग लगभग 10-20 परिसंपत्तियां) चाहिए। एक छोटा दल बढ़त बनाने के लिए पर्याप्त फुर्तीला होता है, जबकि एक बड़ा दल उस बढ़त को कमज़ोर कर देता है।
सर्वश्रेष्ठ विधि: अपनी परिसंपत्तियों को चुनने के लिए मानक गणित के साथ "बैकवर्ड एलिमिनेशन" (बड़ा शुरू करें, कमजोर कड़ियों को हटा दें) का उपयोग करें।

संक्षेप में: नकल करने के लिए, एक बड़ा दल लें। जीतने के लिए, एक छोटा, विशिष्ट दल लें।

तकनीकी सारांश: एक कार्डिनैलिटी कंस्ट्रेंड इंडेक्स ट्रैकिंग पोर्टफोलियो के लिए एसेट प्री-सिलेक्शन का प्रभाव और वैकल्पिक संवर्धन

समस्या की परिभाषा
यह शोध पत्र कार्डिनैलिटी कंस्ट्रेंड इंडेक्स ट्रैकिंग पोर्टफोलियो (CCITP) समस्या को संबोधित करता है, जिसमें एक बड़े ब्रह्मांड (M) से $n$ संपत्तियों (assets) के एक उपसमुच्चय (subset) का चयन करना शामिल है ताकि बाजार सूचकांक (विशेष रूप से S&P 500) के जोखिम और रिटर्न की नकल की जा सके। पूर्ण प्रतिकृति (full replication) सटीक होती है, लेकिन इसमें प्रबंधन लागत अधिक होती है; इसके विपरीत, एक छोटा उपसमुच्चय चुनने से लागत कम हो जाती है लेकिन ट्रैकिंग एरर (tracking error) बढ़ जाता है। यह समस्या गणनात्मक रूप से कठिन है क्योंकि इसमें संपत्ति के सेट और उनके वेट (weights) को एक साथ चुनना आवश्यक है, जो ऐतिहासिक रूप से बड़े कार्डिनैलिटी के लिए ह्यूरिस्टिक्स (heuristics) पर निर्भर रहा है। इसके अलावा, शोध पत्र शुद्ध इंडेक्स ट्रैकिंग (ट्रैकिंग एरर को न्यूनतम करना) और संवर्धित इंडेक्स ट्रैकिंग (ट्रैकिंग एरर को न्यूनतम करते हुए सूचकांक से अधिक रिटर्न प्राप्त करना) के बीच अंतर करता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक एक नवीन दो-चरणीय दृष्टिकोण प्रस्तावित करते हैं जो संपत्ति चयन को वेट अनुमान (weight estimation) से अलग करता है, जो उस साहित्य के विपरीत है जो अक्सर उन्हें एक संयुक्त अनुकूलन (joint optimization) समस्या के रूप में मानता है।

चरण 1: एसेट प्री-सिलेक्शन (Asset Pre-selection): लेखक वेट ऑप्टिमाइजेशन से पहले $n$ संपत्तियों के इष्टतम सेट की पहचान करने के लिए सांख्यिकीय प्रतिगमन (statistical regression) प्रक्रियाओं का उपयोग करते हैं। वे दो दिशाओं (फॉरवर्ड सिलेक्शन और बैकवर्ड एलिमिनेशन) और दो प्रतिगमन उद्देश्यों (ऑर्डिनरी लीस्ट स्क्वायर्स [OLS] और लीस्ट एब्सोल्यूट डेविएशन [LAD]) के आधार पर आठ अलग-अलग प्री-सिलेक्शन प्रक्रियाओं का मूल्यांकन करते हैं, जिनका परीक्षण प्रतिगमन स्थिरांक (regression constant) के साथ और बिना किया गया है।
- फॉरवर्ड सिलेक्शन (Forward Selection): यह पुनरावृत्ति (iteratively) के माध्यम से उस संपत्ति को जोड़ता है जो इंडेक्स रिटर्न या अवशिष्ट भिन्नता (residual variation) की व्याख्यात्मक शक्ति (एडजस्टेड $R^2$ के लिए OLS, न्यूनतम मीन एब्सोल्यूट डेविएशन के लिए LAD) को अधिकतम करती है।
- बैकवर्ड एलिमिनेशन (Backward Elimination): यह पूर्ण ब्रह्मांड से शुरू होता है और उस संपत्ति को हटाता है जिसकी व्याख्यात्मक शक्ति सबसे कम होती है (OLS के लिए निम्नतम t-वैल्यू, LAD के लिए सबसे छोटा एब्सोल्यूट कोएफिशिएंट)।
- संवर्धन (Enhancement): चयन के दौरान इंडेक्स रिटर्न में एक लक्ष्य संवर्धन ( $\lambda$ ) जोड़ा जा सकता है ताकि संवर्धित ट्रैकिंग की सुविधा मिल सके।
चरण 2: वेट ऑप्टिमाइजेशन (Weight Optimization): एक बार एसेट सेट निर्धारित हो जाने के बाद, एक इन-सैंपल अवधि ( $T_1$ ) के दौरान एक विशिष्ट ऑब्जेक्टिव फंक्शन को न्यूनतम करने के लिए वेट्स को अनुकूलित किया जाता है। ऑब्जेक्टिव फंक्शन पोर्टफोलियो और इंडेक्स के औसत रिटर्न के बीच के अंतर के लिए पेनल्टी टर्म के साथ स्क्वेर्ड रूट मीन स्क्वायर ट्रैकिंग एरर (RMSE) को न्यूनतम करता है। इस गैर-रेखीय अनुकूलन के लिए एक क्वाज़ी-न्यूटन विधि (BCONF) का उपयोग किया जाता है।
मूल्यांकन ढांचा (Evaluation Framework): अध्ययन जनवरी 3, 2005 से दिसंबर 29, 2023 तक के दैनिक S&P 500 डेटा पर एक मूविंग टाइम-विंडो दृष्टिकोण का उपयोग करता है। प्रक्रिया में एक इन-सैंपल अवधि ( $T_1$ ) पर पोर्टफोलियो का चयन करना और उसके बाद की अवधि ( $T_2$ ) पर उसके आउट-ऑफ-सैंपल प्रदर्शन का मूल्यांकन करना शामिल है। लेनदेन की मात्रा (transaction volume) को रीबैलेंसिंग अवधियों के बीच एसेट वेट्स के पूर्ण परिवर्तन के योग के रूप में अनुमानित किया जाता है।

प्रमुख परिणाम

प्री-सिलेक्शन प्रदर्शन: आठ प्रक्रियाओं में से, बिना स्थिरांक के OLS के साथ बैकवर्ड एलिमिनेशन (BE-OLS(n)) ने इन-सैंपल ट्रैकिंग एरर, आउट-ऑफ-सैंपल ट्रैकिंग एरर और ट्रांजैक्शन वॉल्यूम में लगातार उच्चतम स्थान प्राप्त किया। फॉरवर्ड सिलेक्शन प्रक्रियाओं में आमतौर पर उच्च ट्रैकिंग एरर देखा गया, और LAD-आधारित प्रक्रियाएं, विशेष रूप से बैकवर्ड एलिमिनेशन में, खराब प्रदर्शन करती हैं, जिसका कारण संभवतः बड़े एसेट सेट्स के साथ लीनियर प्रोग्रामिंग में डिजेनरेसी (degeneracy) है।
कार्डिनैलिटी और ट्रैकिंग एरर: अध्ययन प्रयोगात्मक रूप से प्रदर्शित करता है कि आउट-ऑफ-सैंपल ट्रैकिंग एरर कार्डिनैलिटी के व्युत्क्रम वर्गमूल ( $1/\sqrt{cardinality}$ ) के अनुसार घटता है। विशेष रूप से, इसे $TE \approx \theta n^{-\omega}$ के रूप में मॉडल किया गया है, जहाँ $\omega \approx 0.58$ आउट-ऑफ-सैंपल एरर के लिए है, जो इस अनुमान का समर्थन करता है कि एरर $1/\sqrt{n}$ के समानुपाती है।
वोलैटिलिटी निर्भरता (Volatility Dependence): आउट-ऑफ-सैंपल ट्रैकिंग एरर इंडेक्स वोलैटिलिटी के साथ दृढ़ता से सह-संबंधित है। हालांकि, जैसे-जैसे कार्डिनैलिटी बढ़ती है, पोर्टफोलियो की इंडेक्स वोलैटिलिटी पर निर्भरता कम हो जाती है, जिससे अधिक स्थिरता आती है।
संवर्धित ट्रैकिंग (Enhanced Tracking): उन पोर्टफोलियो के लिए जो संवर्धित रिटर्न चाहते हैं, परिणाम शुद्ध ट्रैकिंग से काफी भिन्न होते हैं। जबकि बड़ी कार्डिनैलिटी ट्रैकिंग एरर को कम करती है, वे आवश्यक रूप से अतिरिक्त रिटर्न को अधिकतम नहीं करती हैं। अध्ययन पाता है कि अतिरिक्त रिटर्न उत्पन्न करने के लिए 10 से 20 की रेंज में कार्डिनैलिटी सबसे प्रभावी है।
संवेदनशीलता विश्लेषण (Sensitivity Analysis): लंबे इन-सैंपल अवधियाँ ( $T_1$ ) आम तौर पर ट्रैकिंग एरर और ट्रांजैक्शन वॉल्यूम को कम करती हैं। छोटे आउट-ऑफ-सैंपल मूल्यांकन काल ( $T_2$ ) ट्रैकिंग एरर को कम करते हैं लेकिन अधिक बार रीबैलेंसिंग के कारण ट्रांजैक्शन वॉल्यूम को बढ़ाते हैं। संवर्धित ट्रैकिंग के लिए, 3-वर्षीय इन-सैंपल अवधि और 6-मासिक आउट-ऑफ-सैंपल अवधि ने सबसे अच्छा संतुलन प्रदान किया।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र संपत्ति चयन और वेट अनुमान चरणों को अलग करने का प्रस्ताव देकर साहित्य में एक विशिष्ट योगदान का दावा करता है। लेखक तर्क देते हैं कि यह दृष्टिकोण एसेट सेट और वेट को संयुक्त रूप से अनुकूलित करने की गणनात्मक कठिनाई को दूर करता है, जिससे जटिल ह्यूरिस्टिक्स पर निर्भर किए बिना बड़ी कार्डिनैलिटी (100 संपत्तियों तक) का विश्लेषण करना संभव हो जाता है।

अध्ययन प्रमाणिक साक्ष्य प्रदान करता है कि:

सांख्यिकीय प्रतिगमन के माध्यम से एसेट प्री-सिलेक्शन, संयुक्त अनुकूलन ह्यूरिस्टिक्स के एक व्यवहार्य और प्रभावी विकल्प के रूप में कार्य करता है।
ट्रैकिंग एरर और कार्डिनैलिटी के बीच का संबंध एक पूर्वानुमेय पावर लॉ ( $1/\sqrt{n}$ ) का पालन करता है, जो पोर्टफोलियो निर्माण के लिए एक व्यावहारिक नियम प्रदान करता है।
ट्रैकिंग सटीकता और रिटर्न संवर्धन के बीच एक ट्रेड-ऑफ (समझौता) है; जबकि बड़े पोर्टफोलियो ट्रैकिंग एरर को न्यूनतम करते हैं, छोटे पोर्टफोलियो (कार्डिनैलिटी 10–20) अतिरिक्त रिटर्न उत्पन्न करने के लिए अधिक प्रभावी होते हैं।

लेखक अपने निष्कर्षों की सार्वभौमिकता के संबंध में विनम्र रहते हैं, यह नोट करते हुए कि प्री-सिलेक्शन की प्रभावशीलता एसेट रिटर्न्स के विशिष्ट सांख्यिकीय गुणों (जैसे फैट टेल्स) पर निर्भर करती है और "इष्टतम" पोर्टफोलियो अद्वितीय नहीं है, क्योंकि विभिन्न उच्च-प्रदर्शन करने वाली प्रक्रियाएं काफी भिन्न एसेट घटकों का चयन करती हैं।

1. बड़ी समस्या: "बहुत अधिक संगीतकार" की दुविधा

2. चयन विधियाँ: टीम को कैसे चुनें

3. "आकार मायने रखता है" की खोज

4. "अभ्यास बनाम प्रदर्शन" का परीक्षण

5. निष्कर्ष (Bottom Line)

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