Asset pre-selection for a cardinality constrained index tracking portfolio with optional enhancement

Résumé technique : L'impact de la pré-sélection d'actifs pour un portefeuille de suivi d'indice à cardinalité contrainte avec amélioration optionnelle

Définition du problème
Le document traite du problème du Portefeuille de Suivi d'Indice à Cardinalité Contrainte (CCITP - Cardinality Constrained Index Tracking Portfolio), qui consiste à sélectionner un sous-ensemble de $n$ actifs parmi un univers plus large de $M$ constituants d'un indice (spécifiquement le S&P 500) pour répliquer le risque et le rendement d'un indice de marché. Une réplication complète est précise, mais elle engendre des coûts de gestion élevés ; inversement, la sélection d'un petit sous-ensemble réduit les coûts mais augmente l'erreur de suivi (tracking error). Le problème est complexe sur le plan computationnel car il nécessite de choisir simultanément l'ensemble d'actifs et leurs poids, une tâche qui reposait historiquement sur des heuristiques pour de grandes cardinalités. De plus, l'article distingue le suivi d'indice pur (minimisation de l'erreur de suivi) du suivi d'indice amélioré (recherche de rendements supérieurs à l'indice tout en minimisant l'erreur de suivi).

Méthodologie
Les auteurs proposent une nouvelle approche en deux étapes, séparant la sélection d'actifs de l'estimation des poids, contrairement à la littérature qui traite souvent cela comme un problème d'optimisation conjointe.

1. Étape 1 : Pré-sélection des actifs : Les auteurs emploient des procédures de régression statistique pour identifier l'ensemble optimal de $n$ actifs avant l'optimisation des poids. Ils évaluent huit procédures de pré-sélection distinctes basées sur deux directions (Sélection Progressive [Forward Selection] et Élimination Récursive [Backward Elimination]) et deux objectifs de régression (Moindres Carrés Ordinaires [OLS] et Déviation Absolue Minimale [LAD]), chacune testée avec et sans constante de régression.

   • Sélection Progressive (Forward Selection) : Ajoute de manière itérative l'actif qui maximise le pouvoir explicatif ( $R^2$ ajusté pour l'OLS, minimisation de la déviation absolue moyenne pour le LAD) du rendement de l'indice ou de la variation résiduelle.
   • Élimination Récursive (Backward Elimination) : Part de l'univers complet et retire de manière itérative l'actif ayant le moindre pouvoir explicatif (plus faible valeur $t$ pour l'OLS, plus petit coefficient absollet pour le LAD).
   • Amélioration : Une amélioration cible ($\lambda$) peut être ajoutée au rendement de l'indice pour faciliter le suivi amélioré.

2. Étape 2 : Optimisation des poids : Une fois l'ensemble d'actifs fixé, les poids sont optimisés pour minimiser une fonction objectif spécifique sur une période d'échantillon (in-sample) $T_1$. La fonction objectif minimise l'erreur quadratique de la racine de l'erreur quadratique moyenne (RMSE) plus un terme de pénalité pour la différence entre les rendements moyens du portefeuille et de l'indice. Une méthode quasi-Newton (BCONF) est utilisée pour cette optimisation non linéaire.

3. Cadre d'évaluation : L'étude utilise une approche par fenêtre temporelle glissante sur des données quotidiennes du S&P 500 du 3 janvier 2005 au 29 décembre 2023. Le processus consiste à sélectionner un portefeuille sur une période d'échantillon ($T_1$) et à évaluer sa performance hors-échantillon (out-of-sample) sur une période ultérieure ($T_2$). Le volume de transaction est approximé par la somme des changements absolus des poids des actifs entre les périodes de rééquilibrage.

Résultats clés

• Performance de la pré-sélection : Parmi les huit procédures, l'élimination récursive utilisant l'OLS sans constante (BE-OLS(n)) s'est classée de manière constante en tête pour l'erreur de suivi en échantillon, l'erreur de suivi hors échantillon et le volume de transaction. Les procédures de sélection progressive ont généralement produit des erreurs de suivi plus élevées, et les procédures basées sur le LAD ont mal performé, particulièrement dans l'élimination récursive, probablement en raison de la dégénérescence de la programmation linéaire avec de grands ensembles d'actifs.
• Cardinalité et erreur de suivi : L'étude démontre expérimentalement que l'erreur de suivi hors échantillon diminue selon l'inverse de la racine carrée de la cardinalité ($1/\sqrt{cardinality}$). Plus précisément, la relation est modélisée par $TE \approx \theta n^{-\omega}$, où $\omega \approx 0,58$ pour les erreurs hors échantillon, soutenant l'approximation selon laquelle l'erreur est proportionnelle à $1/\sqrt{n}$.
• Dépendance à la volatilité : L'erreur de suivi hors échantillon est fortement corrélée à la volatilité de l'indice. Cependant, à mesure que la cardinalité augmente, la dépendance du portefeuille vis-à-vis de la volatilité de l'indice diminue, menant à une plus grande stabilité.
• Suivi amélioré : Pour les portefeuilles cherchant des rendements améliorés, les résultats diffèrent considérablement du suivi pur. Bien que des cardinalités plus grandes réduisent l'erreur de suivi, elles ne maximisent pas nécessairement les rendements excédentaires. L'étude conclut que les cardinalités comprises entre 10 et 20 sont les plus efficaces pour générer des rendements améliorés.
• Analyse de sensibilité : Des périodes d'échantillon ($T_1$) plus longues réduisent généralement l'erreur de suivi et le volume de transaction. Des périodes d'évaluation hors échantillon ($T_2$) plus courtes réduisent l'erreur de suivi mais augmentent le volume de transaction en raison de rééquilibrages plus fréquents. Pour le suivi amélioré, une période d'échantillon de 3 ans et une période hors échantillon de 6 mois ont offert le meilleur équilibre.

Signification et affirmations
L'article revendique une contribution distincte à la littérature en proposant une séparation des étapes de sélection d'actifs et d'estimation des poids. Les auteurs soutiennent que cette approche élimine la difficulté computationnelle associée à l'optimisation conjointe des ensembles d'actifs et des poids, permettant l'analyse de cardinalités plus importantes (jusqu'à 100 actifs) sans dépendre d'heuristiques complexes.

L'étude fournit des preuves empiriques que :

1. La pré-sélection d'actifs via la régression statistique est une alternative viable et efficace aux heuristiques d'optimisation conjointe.
2. La relation entre l'erreur de suivi et la cardinalité suit une loi de puissance prévisible ($1/\sqrt{n}$), offrant une règle empirique pratique pour la construction de portefeuilles.
3. Il existe un arbitrage entre la précision du suivi et l'amélioration du rendement ; tandis que les grands portefeuilles minimisent l'erreur de suivi, les plus petits portefeuilles (cardinalité 10–20) sont plus efficaces pour générer des rendements excédentaires.

Les auteurs restent modestes quant à l'universalité de leurs conclusions, notant que l'efficacité de la pré-sélection dépend des propriétés statistiques spécifiques des rendements des actifs (par exemple, les queues épaisses) et que le portefeuille « optimal » n'est pas unique, car différentes procédures performantes sélectionnent des constituants d'actifs significativement différents.