Asset pre-selection for a cardinality constrained index tracking portfolio with optional enhancement

Resumen Técnico: El Impacto de la Preselección de Activos para una Cartera de Seguimiento de Índice con Restricción de Cardinalidad con Mejora Opcional

Definición del Problema
El artículo aborda el problema de la Cartera de Seguimiento de Índice con Restricción de Cardinalidad (CCITP, por sus siglas en inglés), que consiste en seleccionar un subconjunto de $n$ activos de un universo más amplio de $M$ componentes de un índice (específicamente el S&P 500) para replicar el riesgo y el rendimiento de un índice de mercado. La replicación total es precisa, pero incurre en altos costos de gestión; por el contrario, seleccionar un subconjunto pequeño reduce los costos pero aumenta el error de seguimiento. El problema es computacionalmente difícil porque requiere elegir simultáneamente el conjunto de activos y sus pesos, una tarea que históricamente dependía de heurísticas para cardinalidades grandes. Además, el artículo distingue entre el seguimiento de índice puro (minimizar el error de seguimiento) y el seguimiento de índice mejorado (buscar rendimientos superiores al índice minimizando simultáneamente el error de seguimiento).

Metodología
Los autores proponen un enfoque novedoso de dos etapas que separa la selección de activos de la estimación de pesos, contrastando con la literatura que a menudo trata ambos como un problema de optimización conjunta.

1. Etapa 1: Preselección de Activos: Los autores emplean procedimientos de regresión estadística para identificar el conjunto óptimo de $n$ activos antes de la optimización de pesos. Evalúan ocho procedimientos de preselección distintos basados en dos direcciones (Selección hacia Adelante [Forward Selection] y Eliminación hacia Atrás [Backward Elimination]) y dos objetivos de regresión (Mínimos Cuadrados Ordinarios [OLS] y Desviación Absoluta Mínima [LAD]), cada uno probado con y sin una constante de regresión.

   • Selección hacia Adelante (Forward Selection): Añade iterativamente el activo que maximiza el poder explicativo (el $R^2$ ajustado para OLS, la Desviación Media Absoluta para LAD) del rendimiento del índice o de la variación del residuo.
   • Eliminación hacia Atrás (Backward Elimination): Comienza con el universo completo y elimina iterativamente el activo con menor poder explicativo (el valor t más bajo para OLS, el coeficiente absoluto más pequeño para LAD).
   • Mejora (Enhancement): Se puede añadir un objetivo de mejora ($\lambda$) al rendimiento del índice durante la selección para facilitar el seguimiento mejorado.

2. Etapa 2: Optimización de Pesos: Una vez fijado el conjunto de activos, se optimizan los pesos para minimizar una función objetivo específica durante un periodo de muestra interna ($T_1$). La función objetivo minimiza el error cuadrático medio del error de seguimiento (RMSE) más un término de penalización por la diferencia en los rendimientos medios entre la cartera y el índice. Se utiliza un método quasi-Newton (BCONF) para esta optimización no lineal.

3. Marco de Evaluación: El estudio utiliza un enfoque de ventana de tiempo móvil sobre datos diarios del S&P 500 desde el 3 de enero de 2005 hasta el 29 de diciembre de 2023. El proceso implica seleccionar una cartera durante un periodo de muestra interna ($T_1$) y evaluar su desempeño fuera de la muestra durante un periodo subsecuente ($T_2$). El volumen de transacciones se aproxima mediante la suma de los cambios absolutos en los pesos de los activos entre los periodos de reequilibrio.

Resultados Clave

• Desempeño de la Preselección: Entre los ocho procedimientos, la Eliminación hacia Atrás utilizando OLS sin constante (BE-OLS(n)) se posicionó consistentemente en lo más alto en cuanto a error de seguimiento en la muestra, error de seguimiento fuera de la muestra y volumen de transacciones. Los procedimientos de selección hacia adelante generalmente produjeron errores de seguimiento más altos, y los procedimientos basados en LAD funcionaron deficientemente, particularmente en la eliminación hacia atrás, probablemente debido a la degeneración en la programación lineal con conjuntos de activos grandes.
• Cardinalidad y Error de Seguimiento: El estudio demuestra experimentalmente que el error de seguimiento fuera de la muestra disminuye de acuerdo con la raíz cuadrada inversa de la cardinalidad ($1/\sqrt{cardinality}$). Específicamente, la relación se modela como $TE \approx \theta n^{-\omega}$, donde $\omega \approx 0.58$ para los errores fuera de la muestra, lo que respalda la aproximación de que el error es proporcional a $1/\sqrt{n}$.
• Dependencia de la Volatilidad: El error de seguimiento fuera de la muestra está fuertemente correlacionado con la volatilidad del índice. Sin embargo, a medida que la cardinalidad aumenta, la dependencia de la cartera respecto a la volatilidad del índice disminuye, lo que conduce a una mayor estabilidad.
• Seguimiento Mejorado: Para las carteras que buscan rendimientos mejorados, los resultados difieren significativamente del seguimiento puro. Mientras que las cardinalidades mayores reducen el error de seguimiento, no necesariamente maximizan los rendimientos excedentes. El estudio encuentra que las cardinalidades en el rango de 10 a 20 son las más efectivas para generar rendimientos mejorados.
• Análisis de Sensibilidad: Los periodos de muestra interna ($T_1$) más largos generalmente reducen el error de seguimiento y el volumen de transacciones. Los periodos de evaluación fuera de la muestra ($T_2$) más cortos reducen el error de seguimiento pero aumentan el volumen de transacciones debido a un reequilibrio más frecuente. Para el seguimiento mejorado, un periodo de muestra interna de 3 años y un periodo fuera de la muestra de 6 meses arrojó el mejor equilibrio.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma una contribución distintiva a la literatura al proponer una separación entre las etapas de selección de activos y estimación de pesos. Los autores argumentan que este enfoque elimina la dificultad computacional asociada con la optimización conjunta de conjuntos de activos y pesos, permitiendo el análisis de cardinalidades más grandes (hasta 100 activos) sin depender de heurísticas complejas.

El estudio proporciona evidencia empírica de que:

1. La preselección de activos mediante regresión estadística es una alternativa viable y efectiva a la optimación conjunta de heurísticas.
2. La relación entre el error de seguimiento y la cardinalidad sigue una ley de potencia predecible ($1/\sqrt{n}$), ofreciendo una regla práctica para la construcción de carteras.
3. Existe un compromiso entre la precisión del seguimiento y la mejora del rendimiento; mientras que las carteras más grandes minimizan el error de seguimiento, las carteras más pequeñas (cardinalidad 10–20) son más efectivas para generar rendimientos excedentes.

Los autores mantienen la modestia respecto a la universalidad de sus hallazgos, señalando que la efectividad de la preselección depende de las propiedades estadísticas específicas de los rendimientos de los activos (por ejemplo, colas pesadas) y que la cartera "óptima" no es única, ya que diferentes procedimientos de alto rendimiento suelen seleccionar componentes de activos significativamente distintos.