Asset pre-selection for a cardinality constrained index tracking portfolio with optional enhancement

기술 요약: 선택적 강화를 포함한 카디널리티 제약 지수 추종 포트폴리오를 위한 자산 사전 선택의 영향

문제 정의
본 논문은 시장 지수(특히 S&P 500)의 위험과 수익을 복제하기 위해 더 큰 유니버스 $M$에서 $n$개의 자산 부분 집합을 선택하는 문제인 카디널리티 제약 지수 추종 포트폴리오(CCIT even CCITP) 문제를 다룬다. 완전한 복제는 정확하지만 높은 관리 비용이 발생하며, 반대로 적은 수의 부분 집합을 선택하면 비용은 줄어들지만 추적 오차(tracking error)가 증가한다. 이 문제는 자산 집합을 선택하는 것과 그 가중치를 최적화하는 것을 동시에 수행해야 하므로 계산적으로 매우 어려우며, 역사적으로 큰 카디널리티의 경우 휴리스틱(heuristics)에 의존해 왔다. 또한, 본 논문은 순수 지수 추종(추적 오차 최소화)과 강화 지수 추종(추적 오차를 최소화하면서 지수를 상회하는 수익 추구)을 구분한다.

방법론
저자들은 자산 선택과 가중치 추정을 분리하는 새로운 2단계 접근 방식을 제안하며, 이는 두 과정을 결합된 최적화 문제로 취급하는 기존 문헌과 대조된다.

1. 1단계: 자산 사전 선택: 저자들은 가중치 최적화 이전에 최적의 $n$개 자산 집합을 식별하기 위해 통계적 회귀 절차를 사용한다. 이들은 두 가지 방향(전진 선택 및 후방 제거)과 두 가지 회귀 목적 함수(최소제곱법[OLS] 및 최소절대편차[LAD])를 기반으로 하며, 각각 회귀 상수 포함 여부에 따라 총 8가지의 서로 다른 사전 선택 절차를 평가한다.

   • 전진 선택(Forward Selection): 지수 수익률 또는 잔차 변동의 설명력(OLS의 경우 조정된 $R^2$, LAD의 경우 최소 평균 절대 편차)을 극대화하는 자산을 반복적으로 추가한다.
   • 후방 제거(Backward Elimination): 전체 유니버스에서 시작하여 설명력이 가장 낮은 자산(OLS의 경우 가장 낮은 t-값, LAD의 경우 가장 작은 절대 계수)을 반복적으로 제거한다.
   • 강화(Enhancement): 강화 추종을 용이하게 하기 위해 선택 과정 중에 지수 수익률에 목표 강화치($\lambda$)를 더할 수 있다.

2. 2단계: 가중치 최적화: 자산 집합이 고정되면, 인샘플(in-sample) 기간($T_1$) 동안 특정 목적 함수를 최소화하도록 가중치를 최적화한다. 목적 함수는 제곱 평균 제곱 추적 오차(RMSE)와 포트폴리오와 지수의 평균 수익률 차이에 대한 페널티 항의 합을 최소화한다. 비선형 최적화를 위해 준 뉴턴 방법(BCONF)이 사용된다.

3. 평가 프레임워크: 본 연구는 2005년 1월 3일부터 2023년 12월 29일까지의 일일 S&P 500 데이터를 사용하여 이동 윈도우(moving time-window) 방식을 활용한다. 프로세스는 인샘플 기간($T_1$) 동안 포트폴리오를 선택하고, 이후의 아웃오브샘플(out-of-sample) 기간($T_2$) 동안 성과를 평가하는 과정을 거친다. 거래량은 리밸런싱 기간 사이의 자산 가중치 절대 변화량의 합으로 근사한다.

주요 결과

• 사전 선택 성능: 8가지 절차 중, 상수 없는 OLS를 사용한 후방 제거(BE-OLS(n))가 인샘플 추적 오차, 아웃오브샘플 추적 오차 및 거래량 측면에서 일관되게 가장 높은 순위를 기록했다. 전진 선택 절차는 일반적으로 더 높은 추적 오차를 보였으며, LAD 기반 절차는 특히 후방 제거 시 성능이 저조했는데, 이는 대규모 자산 집합에서의 선형 계획법의 퇴화(degeneracy) 때문인 것으로 보인다.
• 카디널리티와 추적 오차: 본 연구는 아웃오브샘플 추적 오차가 카디널리티의 역 제곱근($1/\sqrt{cardinality}$)에 따라 감소함을 실험적으로 입증했다. 구체적으로, 관계식은 $TE \approx \theta n^{-\omega}$로 모델링되며, 여기서 $\omega \approx 0.58$이다. 이는 오차가 $1/\sqrt{n}$에 비례한다는 근사치를 뒷받침한다.
• 변동성 의존성: 아웃오브샘플 추적 오차는 지수 변동성과 강한 상관관계를 갖는다. 그러나 카디널리티가 증가함에 따라 포트폴리오의 지수 변동성에 대한 의존도는 감소하여 안정성이 높아진다.
• 강화 추종: 수익 강화를 추구하는 포트폴리오의 경우, 결과가 순수 추종과 크게 다르다. 카디널리티가 커지면 추적 오차는 줄어들지만, 이것이 반드시 초과 수익을 극대화하는 것은 아니다. 연구 결과, 10에서 20 사이의 카디널리티가 초과 수익을 창출하는 데 가장 효과적이다.
• 민감도 분석: 인샘플 기간($T_1$)이 길어질수록 일반적으로 추적 오차와 거래량이 감소한다. 아웃오브샘플 평가 기간($T_2$)이 짧아지면 추적 오차는 줄어들지만, 더 빈번한 리밸런싱으로 인해 거래량은 증가한다. 강화 추종의 경우, 3년의 인샘플 기간과 6개월의 아웃오브샘플 기간이 최적의 균형을 보였다.

의의 및 주장
본 논문은 자산 선택과 가중치 추정 단계를 분리하는 방식을 제안함으로써 문헌에 뚜렷한 기여를 한다고 주장한다. 저자들은 이 접근 방식이 자산 집합과 가중치를 공동으로 최적화하는 데 따르는 계산적 어려움을 제거하여, 복잡한 휴리스틱에 의존하지 않고도 큰 카디널리티(최대 100개 자산)까지 분석할 수 있게 해준다고 주장한다.

본 연구는 다음과 같은 실증적 근거를 제공한다:

1. 통계적 회귀를 통한 자산 사전 선택은 결합 최적화 휴리스틱의 실행 가능하고 효과적인 대안이다.
2. 추적 오차와 카디널리티 사이의 관계는 예측 가능한 멱법칙($1/\sqrt{n}$)을 따르며, 이는 포트폴리오 구성의 실용적인 규칙(rule of thumb)을 제공한다.
3. 추적 정확도와 수익 강화 사이에는 트레이드오프가 존재한다. 즉, 큰 포트폴리오는 추적 오차를 최소화하지만, 작은 포트폴리오(카디널리티 10–20)가 초과 수익을 생성하는 데 더 효과적이다.

저자들은 자신의 연구 결과가 보편적이라는 점에 대해 신중한 태도를 유지하며, 사전 선택의 효과는 자산 수익률의 특정 통계적 특성(예: 두터운 꼬리 분포)에 따라 달라질 수 있으며, "최적"의 포트폴리오는 유일하지 않다(서로 다른 고성능 절차들이 상당히 다른 자산 구성원을 선택함)는 점을 언급하였다.