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Rates of convergence of finite element approximations of second-order mean field games with nondifferentiable Hamiltonians

यह शोध पत्र सामान्य परिबद्ध बहुफलकीय लिप्सचिट्ज़ डोमेन में गैर-अवकलनीय हैमिल्टोनियन वाले स्थिर, द्वितीय-क्रम मीन फील्ड गेम्स को परिमित तत्व विधियों का उपयोग करके अनुमानित करने के लिए मान फलनों (वैल्यू फंक्शन्स) हेतु $H^1$ -नॉर्म में और घनत्वों हेतु $L^2$ -नॉर्म में अभिसरण दरों को स्थापित करता है।

मूल लेखक: Yohance A. P. Osborne, Iain Smears

प्रकाशित 2026-03-20

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Yohance A. P. Osborne, Iain Smears

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक विशाल, अराजक शहर की कल्पना करें जहाँ लाखों लोग बिंदु A से बिंदु B तक जाने की कोशिश कर रहे हैं। प्रत्येक व्यक्ति सबसे तेज़ रास्ता चुनना चाहता है, लेकिन उनकी गति इस बात पर निर्भर करती है कि सड़कें कितनी भीड़भाड़ वाली हैं। यदि सड़क भरी हुई है, तो वे धीमे हो जाते हैं; यदि वह खाली है, तो वे तेज़ हो जाते हैं। यह एक मीन फील्ड गेम (Mean Field Game - MFG) है। यह एक गणितीय मॉडल है जिसका उपयोग यह समझने के लिए किया जाता है कि व्यक्तियों के विशाल समूह कैसे परस्पर क्रिया करते हैं, जैसे कि यातायात का प्रवाह या वित्तीय बाजार।

इस शोध पत्र में, लेखक (योहेंस ऑसबोर्न और इयान स्मियर्स) इस समस्या के एक बहुत ही विशिष्ट और कठिन संस्करण पर काम कर रहे हैं: क्या होता है जब "सड़क के नियम" अचानक बदल जाते हैं या ऊबड़-खाबड़ (jagged) हो जाते हैं?

यहाँ उनके कार्य का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. समस्या: "ऊबड़-खाबड़" मानचित्र (The "Jagged" Map)

आमतौर पर, गणितज्ञ यह मान लेते हैं कि खेल के नियम सुचारू (smooth) हैं, जैसे कि एक पूरी तरह से पक्की राजमार्ग। इससे गणित आसान हो जाता है क्योंकि आप किसी भी क्षण सटीक दिशा में मुड़ने की गणना कर सकते हैं।

हालाँकि, वास्तविक जीवन में चीजें हमेशा सुचारू नहीं होती हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक ऐसी कार चला रहे हैं जहाँ स्टीयरिंग व्हील अचानक लॉक हो जाता है या आपकी गति के आधार पर अपनी स्थिति बदल लेता है। या कल्पना कीजिए कि एक मानचित्र जहाँ "सबसे अच्छा मार्ग" एक अकेली रेखा नहीं है, बल्कि विकल्पों का एक धुंधला बादल है।
गणित: इसे नॉन-डिफरेंशिएबल हैमिल्टोनियन (nondifferentiable Hamiltonian) कहा जाता है। सरल शब्दों में, "चलने की लागत" एक सुचारू वक्र (curve) नहीं है; इसमें तीखे कोने या मोड़ हैं। जब ऐसा होता है, तो "सबसे अच्छी चाल" अद्वितीय नहीं होती। हो सकता कि आपके पास जाने के लिए तीन समान रूप से अच्छे विकल्प हों, और तब गणित जटिल हो जाता है।

2. चुनौती: ग्रिड के साथ कोड को तोड़ना (Cracking the Code with a Grid)

कंप्यूटर पर इन समस्याओं को हल करने के लिए, गणितज्ञ फाइनाइट एलीमेंट मेथड्स (Finite Element Methods - FEM) का उपयोग करते हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप ग्राफ पेपर पर एक पूर्ण वृत्त (circle) बनाने की कोशिश कर रहे हैं। आप वक्र (curve) नहीं बना सकते, इसलिए आप एक आकार बनाने के लिए छोटे-छोटे सीधे रेखाओं (पिक्सेल) को जोड़कर उसका अनुमान लगाते हैं। जितने छोटे पिक्सेल (बारीक ग्रिड) होंगे, अनुमान उतना ही बेहतर होगा।
कठिनाई: जब नियम "ऊबड़-खाबड़" (nondifferentiable) होते हैं, तो कंप्यूटर संघर्ष करता है। "सबसे अच्छी दिशा" ग्रिड बिंदुओं के बीच तेजी से बदल सकती है, जिससे सिमुलेशन क्रैश हो सकता है या गलत परिणाम दे सकता है।

3. समाधान: "स्मूदी" वाला नुस्खा (The "Smoothie" Trick)

लेखकों ने एक विश्वसनीय उत्तर प्राप्त करने के लिए एक चतुर दो-चरणीय रणनीति विकसित की है, भले ही नियम ऊबड़-खाबड़ हों।

चरण A: "स्मूदी" (रेगुलराइजेशन/Regularization)
ऊबड़-खाबड़ समस्या को हल करने से पहले, वे इसे एक सुचारू समस्या में बदलते हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आपके पास बड़े फलों के टुकड़ों वाला एक गाढ़ा, बर्फीला स्मूदी (smoothie) है (ऊबड़-खाबड़ नियम)। इसे पीना कठिन है। इसलिए, आप इसे तब तक ब्लेंड करते हैं जब तक कि यह पूरी तरह से चिकना (सुचारू संस्करण) न हो जाए। अब आप इसे आसानी से पी सकते हैं और प्रवाह की गणना कर सकते हैं।
कैच (Catch): सुचारू संस्करण मूल ऊबड़-खाबड़ संस्करण के बिल्कुल समान नहीं है। उनके बीच एक सूक्ष्म अंतर है। लेखकों ने सिद्ध किया कि यदि आप इसे सही ढंग से ब्लेंड करते हैं, तो अंतर छोटा और अनुमानित होता है।

चरण B: ग्रिड (डिस्क्रीटाइजेशन/Discretization)
एक बार जब उनके पास सुचारू संस्करण आ जाता है, तो वे इसे अपने कंप्यूटर ग्रिड (पिक्सेल) पर रखते हैं।

उपमा: अब आप उस सुचारू वृत्त को ग्राफ पेपर पर खींचते हैं। क्योंकि वृत्त सुचारू है, कंप्यूटर इसे आसानी से संभाल सकता है।

4. बड़ी खोज: यह कितनी तेज़ी से काम करता है?

इस शोध पत्र का मुख्य लक्ष्य इस विशिष्ट प्रश्न का उत्तर देना है: "यदि हम अपने ग्राफ पेपर के पिक्सेल को छोटा और छोटा करते जाते हैं, तो हमारा कंप्यूटर उत्तर वास्तविक दुनिया के उत्तर के कितने करीब पहुँचता है?"

परिणाम: उन्होंने इस अभिसरण (convergence) के लिए एक विशिष्ट "गति सीमा" को सिद्ध किया। उन्होंने दिखाया कि जैसे-जैसे आप अपने ग्रिड को परिष्कृत करते हैं, त्रुटि (error) लगभग 1/3 की दर से कम होती है (सर्वश्रेष्ठ मामले में विशेष रूप से $h^{1/3}$ )।
यह क्यों मायने रखता है: इससे पहले, लोगों को पता था कि यह तरीका अंततः काम करेगा, लेकिन उन्हें यह नहीं पता था कि यह कितनी तेज़ी से होगा। यह जानना इंजीनियरों के लिए महत्वपूर्ण है। यह उन्हें बताता है: "यदि आप चाहते हैं कि आपका ट्रैफ़िक सिमुलेशन 99% सटीक हो, तो आपको इस विशिष्ट आकार का ग्रिड उपयोग करने की आवश्यकता है। इसे और छोटा करने में पैसा बर्बाद न करें, और इसे बहुत बड़ा भी न बनाएं अन्यथा उत्तर गलत होगा।"

5. "सीक्रेट सॉस": त्रुटियों का त्रिकोण (The Triangle of Errors)

अपने परिणाम को सिद्ध करने के लिए, लेखकों ने एक चतुर "त्रिकोण" तर्क का उपयोग किया (जिसे उनके शोध पत्र में एक आरेख के रूप में दर्शाया गया है):

वास्तविक दुनिया (ऊबड़-खाबड़) $\to$ सुचारू दुनिया: उन्होंने नियमों को सुचारू बनाने की त्रुटि को मापा।
सुचारू दुनिया $\to$ कंप्यूटर ग्रिड: उन्होंने सुचारू नियमों को ग्रिड पर रखने की त्रुटि को मापा।
कंप्यूटर ग्रिड (ऊबड़-खाबड़) $\to$ कंप्यूटर ग्रिड (सुचारू): उन्होंने सीधे ऊबड़-खाबड़ कंप्यूटर समाधान की तुलना सुचारू कंप्यूटर समाधान से की।

इन तीनों त्रुटियों को जोड़कर, वे सिद्ध कर सके कि कुल त्रुटि एक अनुमानित सीमा के भीतर रहती है।

सारांश

इस शोध पत्र को ऊबड़-खाबड़ सड़कों वाले शहर के लिए एक ट्रैफ़िक सिम्युलेटर बनाने के गाइड के रूप में समझें।

समस्या: सड़कें इतनी ऊबड़-खाबड़ हैं कि मानक गणित विफल हो जाता है।
समाधान: लेखकों ने दिखाया कि गणित करने के लिए अस्थायी रूप से ऊबड़-खाबड़ सतहों को कैसे "सुचारू" किया जाए, और फिर उन्होंने सिद्ध किया कि वह सुचारू उत्तर वास्तविक, ऊबड़-खाबड़ सत्य के कितने करीब है।
निष्कर्ष: उन्होंने हमें एक सूत्र दिया जिससे हम जान सकते हैं कि एक विश्वसनीय उत्तर प्राप्त करने के लिए हमें कितनी कंप्यूटर शक्ति की आवश्यकता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि भीड़, बाजारों या ट्रैफ़िक के हमारे सिमुलेशन सटीक और कुशल दोनों हों।

संक्षेप में, उन्होंने एक अव्यवस्थित, ऊबड़-खाबड़ गणितीय समस्या को लिया, उसे सुचारू बनाया, उसे एक ग्रिड पर रखा, और सिद्ध किया कि परिणाम कितना अच्छा है।

यहाँ "Rates of convergence of finite element approximations of second-order mean field games with nondifferentiable Hamiltonians" (नॉन-डिफरेंशिएबल हैमिल्टनियन वाले सेकंड-ऑर्डर मीन फील्ड गेम्स के फाइनाइट एलिमेंट एप्रोक्सिमेशन की अभिसरण दर) नामक शोध पत्र का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र स्टेशनरी सेकंड-ऑर्डर मीन फील्ड गेम्स (MFGs) के संख्यात्मक सन्निकटन (numerical approximation) को संबोधित करता है जहाँ हैमिल्टनियन (Hamiltonian) नॉन-डिफरेंशिएबल (अवकलनीय नहीं) है।

संदर्भ: मानक MFG सिद्धांत (लासी-लिओन) आमतौर पर यह मानता है कि हैमिल्टनियन $H(x, p)$ ग्रेडिएंट चर $p$ के सापेक्ष डिफरेंशिएबल है। यह डिफरेंशिएबिलिटी अद्वितीय इष्टतम फीडबैक नियंत्रण (optimal feedback controls) सुनिश्चित करती है। हालाँकि, कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों (जैसे, मिनिमल एग्जिट-टाइम समस्याएं, बैंग-बैंग कंट्रोल्स) में, हैमिल्टनियन कॉनवेक्स (convex) तो होता है लेकिन नॉन-डिफरेंशिएबल होता है, जिससे इष्टतम नियंत्रण गैर-अद्वितीय हो जाते हैं।
गणितीय सूत्रीकरण: समस्या को एक पार्शियल डिफरेंशियल इनक्लूजन (PDI) से जुड़े युग्मित समीकरणों के रूप में मॉडल किया गया है, न कि एक मानक PDE के रूप में:
$\begin{aligned} -\nu\Delta u + H(x, \nabla u) &= F[m](x) \quad \text{in } \Omega, \\ -\nu\Delta m - G(x) &\in \text{div}(m \partial_p H(x, \nabla u)) \quad \text{in } \Omega, \end{aligned}$
जहाँ:
- $u$ वैल्यू फंक्शन (value function) है।
- $m$ प्लेयर डेंसिटी (player density) है।
- $\partial_p H$ हैमिल्टनियन का सब-डिफरेंशियल (subdifferential) है (एक सेट-वैल्यूड मैप)।
- दूसरे समीकरण में इनक्लूजन (inclusion) यह दर्शाता है कि ड्रिफ्ट टर्म अद्वितीय नहीं है, बल्कि इष्टतम नियंत्रणों से प्राप्त संभावित ड्रिफ्ट्स के एक सेट से संबंधित है।
चुनौतियां:
1. डिफरेंशिएबिलिटी का अभाव: $\partial_p H$ से संबंधित पद विच्छिन्न (discontinuous) है और केवल मेज़रेबल सिलेक्शन (measurable selections) के माध्यम से निहित रूप से परिभाषित है।
2. निम्न रेगुलैरिटी (Low Regularity): समाधान $m$ की रेगुलरिटी बहुत कम हो सकती है (संभावित रूप से $L^2$ या $H^1$ में भी), जिससे मानक एरर विश्लेषण कठिन हो जाता है।
3. नॉन-कोर्सिविटी (Non-coercivity): नॉनलीन कपलिंग के कारण सिस्टम में मानक कोर्सिविटी गुण नहीं होते हैं।
4. क्वांटिटेटिव कंट्रोल: पिछले कार्यों ने ऐसी समस्याओं के लिए गुणात्मक अभिसरण (qualitative convergence - बिना दरों के अभिसरण) स्थापित किया था, लेकिन मात्रात्मक त्रुटि सीमाएँ (quantitative error bounds) अनुपस्थित थीं।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक ए प्रायररी एरर बाउंड्स (a priori error bounds) प्राप्त करने के लिए रेगुलराइजेशन दृष्टिकोण को स्टेबलाइज्ड फाइनाइट एलिमेंट मेथड्स (FEM) के साथ जोड़ते हैं।

A. रेगुलराइजेशन रणनीति (Regularization Strategy)

नॉन-डिफरेंशिएबल हैमिल्टनियन को संभालने के लिए, लेखक मोरो-योसिडा रेगुलराइजेशन (Moreau–Yosida regularization) का उपयोग करके मूल PDI सिस्टम को एक रेगुलराइज्ड PDE सिस्टम द्वारा अनुमानित करते हैं:

हैमिल्टनियन $H$ को एक स्मूथ सन्निकटन $H_\lambda$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (जहाँ $\lambda \in (0, 1]$ रेगुलराइजेशन पैरामीटर है)।
$H_\lambda$ $C^{1,1}$ (निरंतर डिफरेंशिएबल लिप्सचिट्ज़ ग्रेडिएंट के साथ) है, जो मानक PDE तकनीकों के उपयोग की अनुमति देता है।
रेगुलराइज्ड सिस्टम है:
$\begin{aligned} -\nu\Delta u_\lambda + H_\lambda(x, \nabla u_\lambda) &= F[m_\lambda](x), \\ -\nu\Delta m_\lambda - \text{div}\left(m_\lambda \frac{\partial H_\lambda}{\partial p}(x, \nabla u_\lambda)\right) &= G(x). \end{aligned}$
मुख्य परिणाम: सटीक समाधान $(u, m)$ और रेगुलराइज्ड समाधान $(u_\lambda, m_\lambda)$ के बीच का अंतर $O(\lambda^{1/2})$ द्वारा सीमित है।

B. फाइनाइट एलिमेंट डिस्क्रीटाइजेशन (Finite Element Discretization)

स्पेस: शेप-रेगुलर सिम्प्लेक्स मेश $\mathcal{T}_k$ पर पीसवाइज़ लीनियर, $H^1_0$ -कन्फॉर्मिंग फाइनाइट एलिमेंट स्पेस ( $V_k$ ) जिसका मेश साइज $h_k$ है।
स्टेबलाइजेशन: KFP समीकरण की कन्वेक्शन-डोमिनेटेड प्रकृति और कोर्सिविटी की कमी को संभालने के लिए एक स्टेबलाइज्ड FEM का उपयोग किया जाता है। यह विधि एक न्यूमेरिकल डिफ्यूजन टेंसर $D_k$ $D_{k}$ पेश करती है जो निम्नलिखित को संतुष्ट करती है:
1. कंसिस्टेंसी (Consistency): $D_k$ , जब $h_k \to 0$ होता है, तो इष्टतम रूप से शून्य हो जाता है।
2. डिस्क्रीट मैक्सिमम प्रिंसिपल (DMP): स्टेबलाइजेशन यह सुनिश्चित करता है कि डिस्क्रीट डेंसिटी गैर-ऋणात्मक बनी रहे, जो कपलिंग ऑपरेटर $F$ की मोनोटोनिसिटी के लिए महत्वपूर्ण है।
डिस्क्रीट सिस्टम: $(u_{k,\lambda}, m_{k,\lambda}) \in V_k \times V_k$ खोजने के लिए रेगुलराइज्ड PDE सिस्टम को डिस्क्रीट किया गया है।

C. एरर एनालिसिस फ्रेमवर्क (Error Analysis Framework)

कुल त्रुटि (total error) को त्रिकोण असमानता (triangle inequality) का उपयोग करके तीन घटकों में विभाजित किया गया है:

रेगुलराइजेशन एरर: $\|(u, m) - (u_\lambda, m_\lambda)\|$ ।
रेगुलराइज्ड समस्या का डिस्क्रीटाइजेशन एरर: $\|(u_\lambda, m_\lambda) - (u_{k,\lambda}, m_{k,\lambda})\|$ ।
रेगुलराइजेशन बनाम डिस्क्रीट PDI एरर: $\|(u_{k,\lambda}, m_{k,\lambda}) - (u_k, m_k)\|$ , जहाँ $(u_k, m_k)$ डिस्क्रीटाइज्ड PDI का समाधान है।

लेखक प्रत्येक घटक के लिए बाउंड स्थापित करते हैं, विशेष रूप से निम्नलिखित का लाभ उठाते हुए:

सेमीस्मूथनेस (Semismoothness): हैमिल्टनियन का एक गुण जो बिना डिफरेंशिएबिलिटी के भी लीनियरइजेशन अनुमानों की अनुमति देता है।
एलिप्टिक रेगुलैरिटी (Elliptic Regularity): समाधान की रेगुलरिटी डोमेन ज्योमेट्री (पैरामीटर $\gamma \in (0, 1]$ , जहाँ कॉनवेक्स डोमेन के लिए $\gamma=1$ ) पर निर्भर करती है।
ड्यूअलिटी तर्क (Duality Arguments): निम्न रेगुलरिटी के बावजूद डेंसिटी के $L^2$ एरर को बाउंड करने के लिए उपयोग किया जाता है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

नॉन-डिफरेंशिएबल MFGs के लिए प्रथम ए प्रायररी एरर बाउंड्स: यह नॉन-डिफरेंशिएबल हैमिल्टनियन वाले MFG सिस्टम के लिए स्पष्ट अभिसरण दर प्रदान करने वाला पहला कार्य है।
सेट-वैल्यूड मैप्स को संभालना: विश्लेषण कठोरता से $\partial_p H$ के सब-डिफरेंशियल इनक्लूजन और मेज़रेबल सिलेक्शन को संभालता है, यह सिद्ध करते हुए कि संख्यात्मक योजना PDI के कमजोर समाधान (weak solution) की ओर अभिसरित होती है।
कंप्यूटेशनल टूल के रूप में रेगुलराइजेशन: यह पेपर प्रदर्शित करता है कि मूल PDI समस्या का वैध सन्निकटन प्राप्त करने के लिए रेगुलराइज्ड डिस्क्रीट सिस्टम को हल करना (जो निरंतरता के कारण सॉल्वर के लिए आसान है) एक प्रभावी तरीका है।
इष्टतम पैरामीटर चयन: लेखक कुल त्रुटि को कम करने के लिए मेश साइज $h_k$ और रेगुलराइजेशन पैरामीटर $\lambda_k$ के बीच इष्टतम संबंध प्राप्त करते हैं।

4. मुख्य परिणाम (Main Results)

पेपर वैल्यू फंक्शन ( $H^1$ में) और डेंसिटी ( $L^2$ में) के संयुक्त एरर के लिए निम्नलिखित अभिसरण दर सिद्ध करता है:

$\|u - u_k\|_{H^1(\Omega)} + \|m - m_k\|_{L^2(\Omega)} \lesssim h_k^{\gamma/3}$

$\gamma$ की परिभाषा: घातांक $\gamma \in (0, 1]$ $γ \in (0, 1]$ , $L^2$ $L^{2}$ सोर्स टर्म्स के साथ डोमेन $\Omega$ $Ω$ पर पॉइसन समीकरण की एलिप्टिक रेगुलरिटी द्वारा निर्धारित होता है।
- यदि $\Omega$ कॉनवेक्स (convex) है, तो $\gamma = 1$ , जिससे दर $O(h_k^{1/3})$ प्राप्त होती है।
- यदि $\Omega$ एक नॉन-कॉनवेक्स पॉलीगन है, तो $\gamma < 1$ , जिसके परिणामस्वरूप धीमी दर मिलती है।
इष्टतम पैरामीटर स्केलिंग: यह दर तब प्राप्त होती है जब रेगुलराइजेशन पैरामीटर को मेश साइज के फलन के रूप में चुना जाता है: $\lambda_k \approx h_k^{2\gamma/3}$ ।
रेगुलराइज्ड सॉल्वर्स के लिए कोरोलरी: यह पेपर सटीक समाधान और रेगुलराइज्ड डिस्क्रीट समाधान $(u_{k,\lambda_k}, m_{k,\lambda_k})$ के बीच के एरर के लिए भी एक बाउंड प्रदान करता है, जो यह दर्शाता है कि यह दृष्टिकोण व्यावहारिक गणनाओं के लिए व्यवहार्य है।

5. महत्व (Significance)

सैद्धांतिक प्रगति: यह MFGs के संख्यात्मक विश्लेषण में एक अंतर को पाटता है, जो नॉन-डिफरेंशिएबल हैमिल्टनियन वाले चुनौतीपूर्ण मामलों के लिए गुणात्मक अभिसरण (सीमा की उपस्थिति) से मात्रात्मक अभिसरण (एरर बाउंड्स) की ओर बढ़ता है।
व्यावहारिक प्रासंगिकता: कई वास्तविक दुनिया के नियंत्रण समस्याओं में नॉन-स्मूथ कॉस्ट या बाधाएं शामिल होती हैं (जैसे, $L^1$ कॉस्ट, बैंग-बैंग कंट्रोल्स)। यह कार्य उन चिकित्सकों के लिए एक सैद्धांतिक औचित्य प्रदान करता है कि वे इन समस्याओं को हल करने के लिए रेगुलराइज्ड FEM स्कीम्स का उपयोग करें, जिससे उन्हें डिस्क्रीटाइजेशन और रेगुलराइजेशन दोनों से उत्पन्न त्रुटि को नियंत्रित करने का एक तरीका मिलता है।
मेथोडोलॉजिकल इनोवेशन: रेगुलराइजेशन के लिए मोरो-योसिडा का उपयोग, स्टेबलाइज्ड FEM के साथ संयोजन, और नॉन-डिफरेंशिएबिलिटी को संभालने के लिए सेमीस्मूथनेस गुणों का उपयोग, एक मजबूत ढांचा प्रदान करता है जिसे नियंत्रण सिद्धांत में अन्य प्रकार के वेरिएशनल इनक्लूजन और डिफरेंशियल इनक्लूजन तक विस्तारित किया जा सकता है।

संक्षेप में, यह पेपर स्थापित करता है कि नॉन-डिफरेंशिएबल हैमिल्टनियन और सेट-वैल्यूड ड्रिफ्ट्स द्वारा उत्पन्न गणितीय कठिनाइयों के बावजूद, फाइनाइट एलिमेंट मेथड्स, यदि रेगुलराइजेशन पैरामीटर को मेश साइज के सापेक्ष सही ढंग से ट्यून किया जाए, तो MFG समाधानों को एक सिद्ध (यद्यपि उप-इष्टतम $h^{1/3}$ ) अभिसरण दर के साथ अनुमानित कर सकते हैं।