Rates of convergence of finite element approximations of second-order mean field games with nondifferentiable Hamiltonians

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à l'approximation numérique des jeux à champ moyen (Mean Field Games - MFG) stationnaires du second ordre, définis sur des domaines polytopaux bornés de $\mathbb{R}^d$ avec une frontière Lipschitzienne.

Le système MFG considéré est caractérisé par une inclusion différentielle partielle (PDI) plutôt que par un système d'équations aux dérivées partielles (EDP) classique. Cela est dû à l'utilisation d'un Hamiltonien non différentiable $H(x, p)$, ce qui est fréquent dans des problèmes de contrôle optimal comme les temps de sortie minimaux ou les contrôles « bang-bang ».

Le système (1.1) s'écrit formellement :
$$\begin{cases} -\nu\Delta u + H(x, \nabla u) = F[m](x) & \text{dans } \Omega, \\ -\nu\Delta m - G(x) \in \text{div}(m \partial_p H(x, \nabla u)) & \text{dans } \Omega, \end{cases}$$
avec des conditions aux limites de Dirichlet homogènes. Ici, $u$ est la fonction de valeur, $m$ la densité de joueurs, $\nu > 0$ le coefficient de diffusion, $F$ un opérateur de couplage (fortement monotone), et $G$ une source. Le terme $\partial_p H$ désigne le sous-différentiel de l'Hamiltonien, rendant le second terme une inclusion multivoque.

Défis principaux :

• La non-différentiabilité de $H$ implique que le champ de vitesse optimal n'est pas unique, rendant le terme de transport dans l'équation de Fokker-Planck (KFP) discontinu.
• La régularité de la solution $m$ peut être très faible (même en dimension 1), ce qui complique l'analyse d'erreur.
• L'absence de coercivité et le couplage non linéaire rendent difficile l'obtention de bornes d'erreur quantitatives (taux de convergence).

2. Méthodologie

Les auteurs proposent une analyse d'erreur a priori pour une classe de méthodes d'éléments finis stabilisés (FEM) à éléments linéaires par morceaux. La stratégie repose sur une approche en trois étapes, illustrée par un diagramme de convergence :

1. Régularisation du problème continu :
   L'Hamiltonien non différentiable $H$ est approché par une régularisation de Moreau-Yosida $H_\lambda$ (pour $\lambda \in (0, 1]$), qui est de classe $C^{1,1}$. Cela transforme l'inclusion (PDI) en un système d'EDP régulier (1.3). Les auteurs utilisent un résultat antérieur ([26]) montrant que l'erreur entre la solution exacte $(u, m)$ et la solution régularisée $(u_\lambda, m_\lambda)$ est de l'ordre de $\lambda^{1/2}$.

2. Discrétisation du problème régularisé :
   Le système régularisé (1.3) est discrétisé par la méthode des éléments finis stabilisés, produisant une approximation $(u_{k,\lambda_k}, m_{k,\lambda_k})$. La stabilisation est cruciale pour garantir le principe du maximum discret (DMP) et la stabilité, même avec des maillages généraux.

3. Analyse de l'erreur globale :
   L'erreur totale est décomposée via l'inégalité triangulaire en trois composantes :

   • Erreur de régularisation : $(u, m) \to (u_\lambda, m_\lambda)$.
   • Erreur de discrétisation du problème régularisé : $(u_\lambda, m_\lambda) \to (u_{k,\lambda_k}, m_{k,\lambda_k})$.
   • Erreur entre la discrétisation du problème original et celle du problème régularisé : $(u_{k,\lambda_k}, m_{k,\lambda_k}) \to (u_k, m_k)$.

Points clés de l'analyse technique :

• Utilisation de la semi-lissité (Semismoothness) : Pour gérer la non-différentiabilité de $H$, les auteurs exploitent un résultat de semi-lissité (Lemme 2.1) qui permet de contrôler les variations de $H$ sans supposer sa différentiabilité.
• Choix du paramètre de régularisation : Le paramètre $\lambda_k$ est choisi dépendant de la taille du maillage $h_k$ (spécifiquement $\lambda_k \sim h_k^{2\gamma/3}$) pour équilibrer les erreurs de régularisation et de discrétisation.
• Régularité elliptique : Le taux de convergence dépend de l'indice de régularité $\gamma \in (0, 1]$ de l'équation de Poisson sur le domaine $\Omega$ (où $\gamma=1$ pour les domaines convexes).

3. Résultats Principaux

Le résultat central est énoncé dans le Théorème 5.1. Sous les hypothèses de stabilité (H1, H2) et de régularité du domaine, pour des maillages suffisamment fins ($k$ grand), les auteurs établissent le taux de convergence suivant :

$$\|u - u_k\|_{H^1(\Omega)} + \|m - m_k\|_{L^2(\Omega)} \lesssim h_k^{\gamma/3}$$

Où :

• $u_k$ et $m_k$ sont les approximations par éléments finis de la fonction de valeur et de la densité.
• $\gamma$ est l'exposant de régularité lié à l'équation de Poisson sur $\Omega$.
• Si $\Omega$ est convexe, $\gamma = 1$, ce qui donne un taux de convergence de l'ordre de $h_k^{1/3}$.

Résultats complémentaires :

• Corollaire 5.2 : Les auteurs montrent également que l'erreur entre la solution exacte et l'approximation du problème régularisé $(u_{k,\lambda_k}, m_{k,\lambda_k})$ (qui est plus facile à résoudre numériquement) suit la même borne : $\lesssim \lambda_k^{1/2} + \lambda_k^{-1} h_k^\gamma$.
• Lemme 4.3 : C'est le cœur technique de la preuve, établissant une borne d'erreur pour le problème régularisé discrétisé, où l'apparition du terme $\lambda_k^{-1}$ est inévitable car la constante de Lipschitz de $\partial_p H_\lambda$ croît comme $\lambda^{-1}$.

4. Contributions Clés

1. Premières bornes d'erreur quantitatives pour les MFG non différentiables : Contrairement aux travaux antérieurs qui se limitaient à la convergence qualitative (sans taux) pour les Hamiltoniens non différentiables, cet article fournit des taux de convergence explicites.
2. Extension aux Hamiltoniens généraux : L'analyse ne repose pas sur la différentiabilité de $H$, mais sur sa convexité et sa régularité Lipschitzienne, couvrant ainsi des cas pratiques comme les contrôles bang-bang.
3. Analyse combinée Régularisation-Discrétisation : La méthode proposée démontre comment combiner la régularisation de Moreau-Yosida avec la discrétisation par éléments finis stabilisés tout en maintenant un contrôle rigoureux sur l'erreur totale.
4. Gestion de la faible régularité de la densité : L'article reconnaît et traite le fait que la densité $m$ peut avoir une régularité très faible, justifiant l'utilisation de la norme $L^2$ pour l'erreur de densité plutôt que la norme $H^1$.

5. Signification et Impact

Ce travail est significatif car il comble un vide théorique important dans la simulation numérique des jeux à champ moyen.

• Pratique : Il valide l'utilisation de la régularisation de Moreau-Yosida dans les codes de calcul pour les MFG non différentiables. Bien que le taux théorique ($h^{1/3}$) puisse sembler pessimiste par rapport aux observations numériques (souvent d'ordre optimal), il fournit une garantie de convergence rigoureuse là où aucune n'existait auparavant.
• Théorique : Il ouvre la voie à l'analyse d'erreur pour d'autres problèmes variationnels non lisses impliquant des inclusions différentielles, en particulier dans le contexte des équations de type Hamilton-Jacobi-Bellman couplées.
• Limites et perspectives : Le taux de convergence dépendant de $\gamma$ (régularité du domaine) suggère que la géométrie du domaine joue un rôle crucial. Les auteurs notent que le taux observé en pratique est souvent meilleur, indiquant que la borne théorique pourrait être conservative pour des cas spécifiques.

En résumé, cet article établit les fondements mathématiques nécessaires pour résoudre de manière fiable et contrôlée les jeux à champ moyen avec des Hamiltoniens non lisses, en proposant une stratégie numérique robuste basée sur la régularisation et les éléments finis stabilisés.