Rates of convergence of finite element approximations of second-order mean field games with nondifferentiable Hamiltonians

1. Il Problema

Il lavoro si concentra sull'analisi numerica delle Mean Field Games (MFG) di secondo ordine stazionarie, formulate in domini limitati poliedrici di Lipschitz $\Omega \subset \mathbb{R}^d$. Il sistema di equazioni considerato è un'equazione differenziale parziale inclusiva (PDI) che modella l'equilibrio di Nash per un numero infinito di giocatori stocastici.

Il sistema è dato da:
$$\begin{cases} -\nu\Delta u + H(x, \nabla u) = F[m](x) & \text{in } \Omega, \\ -\nu\Delta m - G(x) \in \text{div}(m \partial_p H(x, \nabla u)) & \text{in } \Omega, \end{cases}$$
con condizioni al contorno di Dirichlet omogenee.

Caratteristiche critiche del problema:

• Hamiltoniana non differenziabile: La funzione $H(x, p)$ è convessa e Lipschitziana rispetto a $p$, ma non necessariamente differenziabile. Questo è un caso comune in problemi di controllo ottimo con tempi di uscita minimi o controlli "bang-bang", dove la non differenziabilità implica la non unicità dei controlli di feedback ottimali.
• Inclusione differenziale: A causa della non differenziabilità, il termine di trasporto nella seconda equazione (equazione di Kolmogorov-Fokker-Planck, KFP) diventa un'inclusione che coinvolge il sottodifferenziale $\partial_p H$. La densità $m$ e il campo di velocità associato devono essere scelti in modo tale da soddisfare l'inclusione.
• Accoppiamento: Il sistema è accoppiato tramite un operatore $F$ (costo di interazione) che è fortemente monotono, e un termine sorgente $G$.

2. Metodologia

Gli autori sviluppano un'analisi a priori degli errori per un metodo agli Elementi Finiti (FEM) stabilizzato di tipo lineare a tratti. La metodologia si basa su una strategia di regolarizzazione combinata con l'analisi di stabilità e consistenza.

A. Regolarizzazione di Moreau-Yosida

Poiché la non differenziabilità di $H$ rende difficile l'analisi diretta e la risoluzione numerica, gli autori introducono una regolarizzazione dell'Hamiltoniana tramite il metodo di Moreau-Yosida:
$$H_\lambda(x, p) := \inf_{q \in \mathbb{R}^d} \left\{ H(x, q) + \frac{1}{2\lambda}|q - p|^2 \right\}.$$
Per $\lambda > 0$, $H_\lambda$ è di classe $C^{1,1}$ (differenziabile con derivata Lipschitziana), permettendo di trattare il sistema come un sistema di PDE standard invece che come un'inclusione.

B. Discretizzazione FEM Stabilizzata

Vengono utilizzati spazi agli elementi finiti $V_k \subset H^1_0(\Omega)$ basati su mesh simpliciali $\mathcal{T}_k$ con passo $h_k$. Per gestire la natura convezionale dominante e la possibile mancanza di regolarità, viene introdotta una stabilizzazione (tensore di diffusione numerica $D_k$) che garantisce:

1. Consistenza: L'errore di stabilizzazione tende a zero con ordine ottimale al diminuire di $h_k$.
2. Principio del Massimo Discreto (DMP): Essenziale per garantire la non-negatività della densità $m_k$, cruciale per l'unicità e la stabilità in presenza di accoppiamenti monotoni.

C. Strategia di Analisi dell'Errore

La prova del tasso di convergenza si basa su un'analisi a tre vie (triangolo degli errori) che confronta:

1. La soluzione esatta del problema non regolarizzato $(u, m)$.
2. La soluzione esatta del problema regolarizzato continuo $(u_\lambda, m_\lambda)$.
3. La soluzione numerica del problema regolarizzato $(u_{k,\lambda}, m_{k,\lambda})$.
4. La soluzione numerica del problema non regolarizzato $(u_k, m_k)$.

Il percorso logico è:
$$(u, m) \xrightarrow{\text{regolarizzazione}} (u_\lambda, m_\lambda) \xrightarrow{\text{discretizzazione}} (u_{k,\lambda}, m_{k,\lambda}) \xrightarrow{\text{limite } \lambda \to 0} (u_k, m_k)$$

3. Contributi Chiave

1. Primi tassi di convergenza quantitativi per Hamiltoniane non differenziabili: Mentre lavori precedenti avevano dimostrato solo la convergenza qualitativa (senza tassi) per MFG con Hamiltoniane non lisce, questo paper stabilisce un tasso di convergenza esplicito.
2. Gestione della bassa regolarità: L'analisi affronta la sfida della bassa regolarità della densità $m$ (che può essere solo in $L^2$ o avere regolarità molto bassa anche in 1D) e la discontinuità delle selezioni misurabili dal sottodifferenziale.
3. Legame tra regolarizzazione e discretizzazione: Viene dimostrato come scegliere il parametro di regolarizzazione $\lambda_k$ in funzione della dimensione della mesh $h_k$ per ottimizzare l'errore totale.
4. Analisi di stabilità per sistemi regolarizzati: Vengono provati nuovi lemmi di stabilità per le equazioni HJB e KFP discretizzate con Hamiltoniane regolarizzate, gestendo la crescita del Lipschitziano della derivata $\partial_p H_\lambda$ (che scala come $\lambda^{-1}$).

4. Risultati Principali

Il risultato centrale è il Teorema 5.1, che fornisce un tasso di convergenza a priori per l'errore totale.

Sotto le ipotesi di stabilità (H1, H2) e regolarità ellittica del dominio (definita da un esponente $\gamma \in (0, 1]$ legato alla regolarità $H^{1+\gamma}$ della soluzione dell'equazione di Poisson su $\Omega$), vale la seguente stima per $k$ sufficientemente grande:

$$\|u - u_k\|_{H^1(\Omega)} + \|m - m_k\|_{L^2(\Omega)} \lesssim h_k^{\gamma/3}$$

Dove:

• $u$ è la funzione valore e $m$ è la densità.
• $\gamma = 1$ se il dominio è convesso (tasso $O(h^{1/3})$).
• $\gamma < 1$ per domini non convessi (tasso inferiore).

Dettagli tecnici dei risultati:

• Errore di regolarizzazione: $\|(u, m) - (u_\lambda, m_\lambda)\| \lesssim \lambda^{1/2}$.
• Errore di discretizzazione del problema regolarizzato: $\|(u_\lambda, m_\lambda) - (u_{k,\lambda}, m_{k,\lambda})\| \lesssim \lambda^{-1} h_k^\gamma + \lambda^{1/2}$.
• Errore tra discretizzazioni regolarizzate e non: $\|(u_k, m_k) - (u_{k,\lambda}, m_{k,\lambda})\| \lesssim \lambda^{1/2}$.

Ottimizzando il parametro $\lambda_k$ scegliendo $\lambda_k \sim h_k^{2\gamma/3}$, si ottiene il tasso finale $h_k^{\gamma/3}$.

Inoltre, il Corollario 5.2 mostra che l'uso diretto della soluzione regolarizzata $(u_{k,\lambda}, m_{k,\lambda})$ (che è più facile da calcolare numericamente rispetto all'inclusione non regolarizzata) mantiene lo stesso tasso di convergenza, offrendo un approccio pratico valido.

5. Significato e Implicazioni

• Avanzamento Teorico: Questo lavoro colma un divario significativo nella teoria numerica delle MFG, estendendo i risultati di convergenza quantitativa (precedentemente limitati a Hamiltoniane lisce) al caso più generale e fisicamente rilevante di Hamiltoniane non differenziabili.
• Robustezza Numerica: Dimostra che la regolarizzazione di Moreau-Yosida non è solo uno strumento teorico, ma può essere utilizzata efficacemente in calcoli pratici mantenendo il controllo sull'errore.
• Limiti e Osservazioni: Gli autori notano che il tasso $h^{\gamma/3}$ potrebbe essere pessimistico rispetto alle osservazioni numeriche (spesso si vede ordine $O(h)$), ma la dimostrazione è necessaria a causa della mancanza di continuità nelle selezioni del sottodifferenziale e della bassa regolarità della densità. La convergenza nella norma $H^1$ per la densità rimane un problema aperto a causa della discontinuità del sottodifferenziale.

In sintesi, il paper fornisce una solida base teorica per l'implementazione e l'analisi di metodi agli elementi finiti per una classe ampia e difficile di problemi di controllo ottimo stocastico e giochi a campo medio.