Rates of convergence of finite element approximations of second-order mean field games with nondifferentiable Hamiltonians

Titel: Convergentiesnelheden van eindige-elementbenaderingen van tweede-orde mean field games met niet-differentieerbare Hamiltonianen

Auteurs: Yohance A. P. Osborne en Iain Smears
Datum: 4 september 2025

1. Probleemstelling

Het artikel behandelt de numerieke analyse van stationaire, tweede-orde Mean Field Games (MFG) in een begrensd, polyedrisch Lipschitz-domein $\Omega \subset \mathbb{R}^d$. Het specifieke probleem is een stelsel van partiële differentiaalvergelijkingen (of inclusies) dat de Nash-evenwichten van een stochastisch optimalisatiespel met oneindig veel spelers beschrijft.

Het kernprobleem is de aanwezigheid van een niet-differentieerbare Hamiltoniaan $H(x, p)$. In de klassieke MFG-theorie wordt vaak aangenomen dat de Hamiltoniaan differentieerbaar is ten opzichte van de gradiëntvariabele $p$, omdat de afgeleide voorkomt in het convectie-term van de Kolmogorov-Fokker-Planck (KFP) vergelijking. Echter, in veel praktische toepassingen (zoals minimale exit-tijd problemen of "bang-bang" controles) is de Hamiltoniaan niet differentieerbaar. Dit leidt tot:

• Niet-uniekheid van de optimale feedback-controles.
• Een partiële differentiaal-inclusie (PDI) in plaats van een standaard PDE, waarbij de drift-term wordt vervangen door een element uit de subdifferentiaal $\partial_p H$.

Het stelsel (1.1) luidt formeel:
$$\begin{aligned} -\nu\Delta u + H(x, \nabla u) &= F[m](x) & \text{in } \Omega, \\ -\nu\Delta m - G(x) &\in \text{div}(m \partial_p H(x, \nabla u)) & \text{in } \Omega, \end{aligned}$$
waarbij $u$ de waardenfunctie is, $m$ de dichtheid van de spelers, $\nu$ de diffusiecoëfficiënt, en $F$ een koppelingsoperator is die sterk monotoon wordt verondersteld.

2. Methodologie

De auteurs ontwikkelen een a priori foutanalyse voor een klasse van gestabiliseerde eindige-elementmethodes (FEM) die eerder zijn geïntroduceerd voor dit type problemen. De aanpak omvat de volgende stappen:

1. Regularisatie van de Hamiltoniaan:
   Om de niet-differentieerbaarheid te omzeilen, gebruiken de auteurs de Moreau-Yosida-regularisatie $H_\lambda$ van de Hamiltoniaan $H$. Dit resulteert in een gladde (C$^{1,1}$) benadering $H_\lambda$ die differentieerbaar is. Het oorspronkelijke PDI-stelsel wordt hierdoor vervangen door een regulier PDE-stelsel (1.3).

2. Discretisatie:
   Er wordt een gestabiliseerde FEM gebruikt op een rij van shape-regular simpliciële meshen $\{T_k\}$. De stabilisatie (via een tensor $D_k$) is essentieel om een discrete maximumprincipe (DMP) te garanderen, wat cruciaal is voor de positiviteit van de dichtheidsfunctie $m$.

3. Driehoeksongelijkheid en Foutopbouw:
   De totale fout wordt opgesplitst in drie componenten via een driehoeksongelijkheid:

   • Fout tussen de exacte oplossing $(u, m)$ en de geregulariseerde exacte oplossing $(u_\lambda, m_\lambda)$.
   • Fout tussen de geregulariseerde exacte oplossing $(u_\lambda, m_\lambda)$ en de geregulariseerde numerieke oplossing $(u_{k,\lambda}, m_{k,\lambda})$.
   • Fout tussen de geregulariseerde numerieke oplossing en de niet-geregulariseerde numerieke oplossing $(u_k, m_k)$.

   De analyse combineert resultaten uit eerdere werken over de convergentie van de regularisatie (voor kleine $\lambda$) met nieuwe stabiliteits- en consistentie-argumenten voor de geregulariseerde FEM-discretisatie.

4. Technische Uitdagingen:
   Een grote uitdaging is dat de subdifferentiaal $\partial_p H$ discontinu kan zijn en dat de Lipschitz-constante van de afgeleide van de geregulariseerde Hamiltoniaan ($\partial H_\lambda / \partial p$) groeit als $\lambda^{-1}$. De auteurs moeten bewijzen dat de foutcontrole ondanks deze divergerende constanten behouden blijft door een zorgvuldige keuze van de relatie tussen de regularisatieparameter $\lambda_k$ en de meshgrootte $h_k$.

3. Belangrijkste Bijdragen

• Convergentiesnelheid voor niet-differentieerbare Hamiltonianen: Dit is het eerste werk dat een kwantitatieve convergentiesnelheid (foutgrens) biedt voor FEM-benaderingen van MFG-systemen met niet-differentieerbare Hamiltonianen in algemene Lipschitz-domeinen.
• Analyse van Regularisatie: Het artikel levert een rigoureuze analyse van de interactie tussen de regularisatieparameter $\lambda$ en de discretisatieparameter $h$. Het toont aan dat regularisatie niet alleen een numerieke truc is, maar een theoretisch onderbouwde methode om fouten te controleren.
• Behandeling van lage regulariteit: De analyse houdt rekening met het feit dat de dichtheidsfunctie $m$ bij niet-differentieerbare Hamiltonianen zeer lage regulariteit kan hebben (slechts $L^2$ of $H^1$), wat de standaard foutanalyses bemoeilijkt.
• Praktische relevantie: Het artikel onderbouwt het gebruik van geregulariseerde systemen in de praktijk, omdat deze makkelijker op te lossen zijn voor discrete solvers dan de oorspronkelijke inclusieproblemen, terwijl de foutgrenzen behouden blijven.

4. Resultaten

Onder de aannames van sterke monotoniciteit van de koppelingsoperator $F$ en geschikte stabilisatievoorwaarden (H1 en H2), bewijzen de auteurs de volgende convergentiesnelheid (Stelling 5.1):

Voor de waardenfunctie $u$ in de $H^1$-norm en de dichtheid $m$ in de $L^2$-norm geldt:
$$\|u - u_k\|_{H^1(\Omega)} + \|m - m_k\|_{L^2(\Omega)} \lesssim h_k^{\gamma/3}$$
waarbij:

• $h_k$ de meshgrootte is.
• $\gamma \in (0, 1]$ een parameter is die afhangt van de elliptische regulariteit van de Poisson-vergelijking op het domein $\Omega$.
  • Voor convexe domeinen is $\gamma = 1$, wat een snelheid van $O(h_k^{1/3})$ oplevert.
  • Voor niet-convexe domeinen is $\gamma < 1$, afhankelijk van de hoeken.

Belangrijke nuances:

• De snelheid is $O(h_k^{\gamma/3})$, wat lager is dan de optimale $O(h_k)$ die vaak wordt waargenomen in numerieke experimenten voor gladde problemen. De auteurs merken op dat het onbekend is of deze snelheid scherp is voor het ergste geval of pessimistisch.
• De convergentie voor de dichtheid wordt gemeten in de $L^2$-norm, niet in de $H^1$-norm, vanwege de discontinuïteit in de subdifferentiaal die de regulariteit van de gradiënt van $m$ beperkt.
• Er wordt ook een foutgrens afgeleid voor het gebruik van de geregulariseerde numerieke oplossing $(u_{k,\lambda_k}, m_{k,\lambda_k})$ in plaats van de exacte discrete oplossing, wat relevant is voor praktische implementaties.

5. Betekenis en Impact

Dit werk is van fundamenteel belang voor de numerieke analyse van Mean Field Games omdat het de theoretische basis legt voor het oplossen van een breed scala aan realistische optimalisatieproblemen (zoals verkeersstromen of economische modellen) waar de controle niet uniek is en de Hamiltoniaan niet glad is.

• Theoretisch: Het vult een gat in de literatuur door kwantitatieve foutgrenzen te bieden waar eerder alleen kwalitatieve convergentie (zonder snelheid) bekend was voor dit type problemen.
• Praktisch: Het valideert het gebruik van regularisatietechnieken in numerieke solvers. Omdat het oplossen van inclusies direct vaak numeriek instabiel of moeilijk is, biedt dit artikel de wiskundige garantie dat het oplossen van een geregulariseerd PDE-stelsel met een goed gekozen $\lambda_k$ leidt tot een betrouwbare oplossing met een bekende foutmarge.

Samenvattend biedt het artikel een robuust raamwerk voor de numerieke simulatie van complexe MFG-systemen die voorheen buiten het bereik van strikte foutanalyse vielen.