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On quaternionic ordinary families of modular forms and $p$ -adic $L$ -functions

यह शोध पत्र सेरे-टेट विस्तारों (Serre–Tate expansions) का उपयोग करते हुए और ओटा (Ohta) के परिणामों का सामान्यीकरण करते हुए, क्वाटरनियन ऑर्डिनरी मॉड्यूलर रूपों (quaternionic ordinary families of modular forms) के लिए एक बड़ा $p$ -adic $L$ -फंक्शन निर्मित करता है, जो बरुन्गाले (Burungale) और मैग्रोन (Magrone) द्वारा परिभाषित शास्त्रीय $p$ -adic $L$ -फंक्शन्स को इंटरपोलेट करता है।

मूल लेखक: Matteo Longo, Paola Magrone, Eris Rocha Walchek

प्रकाशित 2026-05-05

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Matteo Longo, Paola Magrone, Eris Rocha Walchek

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशिष्ट, बहुत ही शांत रेडियो स्टेशन को सुनने की कोशिश कर रहे हैं (एक गणितीय वस्तु जिसे मॉड्यूलर फॉर्म कहा जाता है) जो केवल कुछ निश्चित आवृत्तियों (frequencies) पर बजता है। आमतौर पर, गणितज्ञ इन स्टेशनों को आसानी से पकड़ लेते हैं जब वे "क्लासिकल" (जैसे मानक रेडियो तरंगें) होते हैं। लेकिन यह शोध पत्र इनके एक बहुत अधिक जटिल, "क्वार्टरनियोनिक" (quaternionic) संस्करण के बारे में है, जिन्हें पकड़ना कठिन है और जो सामान्य रेडियो तरंगों की तरह व्यवहार नहीं करते हैं।

लेखक, लॉन्गो, मैग्रोन और वाल्चेक, एक नया प्रकार का सुपर-ट्यूनर (एक "बड़ा p-adic L-फंक्शन") बनाने में सफल रहे हैं जो एक समय में एक के बजाय इन स्टेशनों के पूरे परिवार को एक साथ सुन सकता है।

उन्होंने इसे कैसे किया, यहाँ सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग किया गया है:

1. समस्या: "घोस्ट" (भूतिया) संकेत

संख्याओं की दुनिया में, विशेष आकार और पैटर्न होते हैं जिन्हें मॉड्यूलर फॉर्म कहा जाता है। इन्हें संगीत के सुरों की तरह समझें। कुछ सुरों को संगीत की शीट पर लिखना आसान होता है (क्लासिकल फॉर्म)। लेकिन कुछ "क्वार्टरनियोनिक" सुर होते हैं जो एक अधिक अमूर्त (abstract), 4-आयामी स्थान में रहते हैं।

समस्या यह है कि इन क्वार्टरनियोनिक सुरों को सटीक रूप से पकड़ना कठिन है। यदि आप उन्हें मानक तरीकों का उपयोग करके लिखने की कोशिश करते हैं, तो "संगीत की शीट" अस्त-व्यस्त हो जाती है या गायब हो जाती है। लेखकों को इन सुरों को स्पष्ट रूप से पकड़ने के लिए एक तरीके की आवश्यकता थी।

2. उपकरण: "सेरे-टेट माइक्रोस्कोप" (Serre-Tate Microscope)

इसे हल करने के लिए, लेखक सेरे-टेट विस्तार (Serre-Tate expansion) नामक एक उपकरण का उपयोग करते हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आपके पास एक दूर स्थित पहाड़ की धुंधली तस्वीर है। आप विवरण नहीं देख पा रहे हैं। लेकिन यदि आप एक विशेष माइक्रोस्कोप का उपयोग करें जो यह देखता है कि लेंस के नीचे पहाड़ कैसे विकृत (deform) होता है या अपना आकार बदलता है, तो आप गणितीय रूप से पहाड़ के वास्तविक आकार को पुनर्गठित कर सकते हैं।
शोध पत्र में: वे इस "माइक्रोस्कोप" का उपयोग यह देखने के लिए करते हैं कि ये क्वार्टरनियोनिक आकार कैसे बदलते हैं। संगीत को एक मानक गीत के रूप में लिखने के बजाय, वे इसे एक पावर सीरीज़ (power series) के रूप में लिखते हैं—संख्याओं की एक लंबी, अनंत सूची जो प्रत्येक आकार के लिए एक अद्वितीय फिंगरप्रिंट की तरह कार्य करती है। यह उन्हें उन "इंटीग्रल" (पूर्ण संख्या) विवरणों को देखने की अनुमति देता है जो आमतौर पर खो जाते हैं।

ക്ക് 3. निर्माण: "बिग ट्यूनर" बनाना

मुख्य लक्ष्य एक बड़ा p-adic L-फंक्शन बनाना है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आपके पास एक रेडियो है जो एक समय में केवल एक ही गाना बजा सकता है। लेखकों ने एक "बड़ा रेडियो" बनाया है जो एक साथ गीतों की एक पूरी प्लेलिस्ट बजा सकता है।
यह कैसे काम करता है: वे इन गणितीय आकारों के एक परिवार (एक "हिडा परिवार" (Hida family), जो संबंधित गीतों की एक निरंतर धारा की तरह है) को लेते हैं और अपने "माइक्रोस्कोप" का उपयोग करके प्रत्येक को एक पावर सीरीज़ में बदल देते हैं। फिर, वे इन सभी सीरीज़ को एक विशाल गणितीय वस्तु में बुन देते हैं।
जादुई ट्रिक: इस "बड़े रेडियो" में एक विशेष विशेषता है: यदि आप इसे एक विशिष्ट, क्लासिकल फ्रीक्वेंसी (एक "क्लासिकल स्पेशलाइजेशन") पर ट्यून करते हैं, तो यह सटीक रूप से उस विशिष्ट p-adic L-फंक्शन को पुनरुत्पादित करता जिसे गणितज्ञों को पहले से पता था कि कैसे बनाना है। यह नए, जटिल संसार को पुराने, परिचित संसार से जोड़ता है।

4. गुप्त सामग्री: "GL2" पड़ोसियों से उधार लेना

लेखक स्वीकार करते हैं कि क्वार्टरनियोनिक आकारों के लिए इसे बनाना बहुत कठिन है। वे केवल शून्य से एक नई थ्योरी का आविष्कार नहीं कर सकते थे।

उपमा: यह एक चौड़ी, खतरनाक नदी के पार पुल बनाने जैसा है। उनके पास इस विशिष्ट स्थान के लिए पुल का ब्लूप्रिंट नहीं था, इसलिए उन्होंने एक समान, सुरक्षित पुल को देखा जो एक अलग प्रकार की नदी ( "GL2" मामला) के लिए उनके पड़ोसी (गणितज्ञ ओटा और हिडा) द्वारा बनाया गया था।
अनुकूलन: उन्होंने पड़ोसी के ब्लूप्रिंट को लिया और उसे अपनी अधिक कठिन नदी के अनुकूल बनाने की कोशिश की। उन्होंने पड़ोसी के कुछ परिणामों को सफलतापूर्वक सामान्यीकृत (generalize) किया, लेकिन वे एक दीवार से भी टकराए। वे अपने पड़ोसी की थ्योरी के हर हिस्से के काम करने को सिद्ध नहीं कर सके। उन्हें अपने ढांचे के कुछ हिस्सों को अधूरा छोड़ना पड़ा, यह स्वीकार करते हुए कि उनके ढांचे के कुछ हिस्से अभी भी थोड़े अस्थिर हैं (विशेष रूप से, वे कुछ मॉड्यूल की "फ्रीनेस" (freeness) को सिद्ध नहीं कर सके, जो तकनीकी रूप से यह बताने का एक तरीका है कि वे यह गारंटी नहीं दे सकते कि उनका पुल हर दिशा में पूरी तरह से कठोर है)।

5. परिणाम: "ग्रीनबर्ग सेल्मर ग्रुप" का मानचित्र

इस "बड़े रेडियो" को क्यों बनाया गया?

लक्ष्य: लेखक एक विशिष्ट गणितीय वस्तु का अध्ययन करना चाहते हैं जिसे ग्रीनबर्ग सेल्मर ग्रुप कहा जाता है। इसे एक क्वाड्रेटिक फील्ड (संख्या प्रणाली का एक विशिष्ट प्रकार) के लिए एक "सुरक्षा प्रणाली" के रूप में समझें।
संबंध: इन क्वार्टरनियोनिक आकारों को सुनने के लिए अपने "बड़े रेडियो" का उपयोग करके, वे "हीगनर पॉइंट्स" (Heegner points - मानचित्र पर विशेष मील के पत्थर) को ट्रैक कर सकते हैं। ये मील के पत्थर सुरक्षा प्रणाली को समझने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।
सीमा: शोध पत्र सुरक्षा प्रणाली के रहस्यों को पूरी तरह से सुलझाने से पहले ही रुक जाता है। यह उपकरण (बड़ा L-फंक्शन) और मानचित्र (मान्यों का इंटरपोलेशन) तो प्रदान करता है, लेकिन सुरक्षा प्रणाली के व्यवहार का अंतिम प्रमाण भविष्य के कार्यों के लिए छोड़ देता है।

सारांश

संक्षेप में, लेखकों ने एक शक्तिशाली नया गणितीय उपकरण बनाया है। उन्होंने एक विशेष "माइक्रोस्कोप" (सेरे-टेट विस्तार) का उपयोग करके कठिन, अमूर्त आकारों को पठनीय संख्याओं की सूचियों में बदल दिया। उन्होंने इन सूचियों को एक साथ जोड़कर एक "बड़ा ट्यूनर" बनाया जो एक साथ इन आकारों के पूरे परिवार को सुन सकता है। हालांकि वे अपने निर्माण के हर उतार-चढ़ाव को ठीक नहीं कर सके (उन पड़ोसियों के विपरीत जिन्होंने एक सरल मामले के लिए एक समान उपकरण बनाया था), वे सफलतापूर्वक एक ऐसा उपकरण बनाने में सफल रहे जो जटिल, अमूर्त क्वार्टरनियोनिक संख्याओं के संसार को शास्त्रीय संख्या सिद्धांत की परिचित दुनिया से जोड़ता है, जिससे यह समझने का मार्ग प्रशस्त होता है कि ये संख्या प्रणालियाँ कैसे व्यवहार करती हैं।

शीर्षक: क्वाटरनियोनिक ऑर्डिनरी मॉडुलर फॉर्म्स के परिवारों और $p$ -एडिक $L$ -फंक्शन्स पर
लेखक: एम. लोंगो, पी. मग्रोन, ई. आर. वाल्चेक
दिनांक: 5 मई, 2026

1. समस्या का विवरण

यह शोध पत्र अनिश्चित परिमेय क्वाटरनियन अल्जेब्रा के लिए एक "बड़ा" (big) $p$ -adic $L$ -फंक्शन के निर्माण को संबोधित करता है, जो $\text{GL}_2$ के लिए कास्टेला [Cas20] द्वारा विकसित सिद्धांत के अनुरूप है। प्राथमिक लक्ष्य एक क्वाटरनियन अल्जेब्रा पर हिडा फैमिली (Hida family) के मॉड्यूलर फॉर्म्स के शास्त्रीय विशेषीकरण (classical specializations) से जुड़े $p$ -adic $L$ -फंक्शन्स का इंटरपोलेशन करना है।

लेखकों द्वारा पहचाना गया एक केंद्रीय कठिनाई जैक्वेट-लैंगलैंड्स लिफ्ट (Jacquet–Langlands lift) के लिए एक कैनोनिकल नॉर्मलाइजेशन का अभाव है, जो एक एलिप्टिक मॉड्यूलर फॉर्म को क्वाटरनियन अल्जेब्रा पर लिफ्ट करता है। $\text{GL}_2$ के मामले के विपरीत, जहाँ आइजनफॉर्म्स (eigenforms) को पहले फूरियर गुणांक को 1 सेट करके नॉर्मलाइज़ किया जा सकता है, क्वाटरनियन सेटिंग में प्रत्यक्ष फूरियर विस्तार (Fourier expansion) उपलब्ध नहीं है। परिणामस्वरूप, ऐसे लिफ्ट को सही ढंग से परिभाषित करना और ऐसे फॉर्म्स की फैमिली के लिए इंटीग्रल गुणों को स्थापित करना गैर-तुच्छ है। यह शोध पत्र सर्रे-टेट एक्सपेंशन (Serre–Tate expansions) को क्वाटरनियन सेटिंग में ओटा (Ohta) के ऑर्डिनरी फॉर्म्स के सिद्धांतों के विस्तार के साथ जोड़कर इसे हल करने का प्रयास करता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक ज्यामितीय और अंकगणितीय दृष्टिकोण अपनाते हैं जो $D > 1$ के अनिश्चित क्वाटरनियन अल्जेब्रा से जुड़ी शिमुरा कर्व्स (Shimura curves) पर केंद्रित है।

सर्रे-टेट एक्सपेंशन (Serre–Tate Expansions): मोरी [Mor95, Mor11, Mor22] और अन्य के कार्यों का अनुसरण करते हुए, लेखक क्वाटरनियन मॉड्यूलर फॉर्म्स के लिए पावर सीरीज़ एक्सपेंशन को परिभाषित करने के लिए सर्रे-टेट कोऑर्डिनेट्स का उपयोग करते हैं। यह शास्त्रीय फूरियर विस्तार का स्थान लेता है, जो क्वाटरनियन संदर्भ में सीधे उपलब्ध नहीं है।
इंटीग्रल मॉडल और इगुसा टावर्स (Integral Models and Igusa Towers): निर्माण इन कर्व्स के स्पेशल फाइबर पर इगुसा टावर (Igusa tower) के ऊपर ज्यामिति पर निर्भर करता है। लेखक क्वाटरनियन मल्टीप्लिकेशन (QM) अबेलियन सतहों से जुड़े $p$ -डिविज़िबल समूहों के अर्थमेटिक ट्रिवियलाइजेशन को परिभाषित करने के लिए इगुसा टावर के साथ काम करते हैं।
ओटा के सिद्धांत का सामान्यीकरण: यह शोध पत्र क्वाटरनियन मामले में मॉड्यूलर फॉर्म्स के ऑर्डिनरी परिवारों के संबंध में ओटा [Oht93, Oht95, Oht99, Oht00] के परिणामों का विस्तार करता है। इसमें शामिल है:
- सर्रे-टेट एक्सपेंशन का उपयोग करके इनवर्स लिमिट मॉड्यूलर फॉर्म्स ( $\text{S}^*_\infty$ ) के मॉड्यूल को परिभाषित करना।
- इन मॉड्यूल और शिमुरा कर्व्स के जैकोबियंस के विशिष्ट कोटिएंट्स ( $A_m, B_m, C_m$ ) के कोटेंट स्पेस के बीच संबंध स्थापित करना।
- अपने $\text{GL}_2$ समकक्षों से संबंधित करने के लिए जैक्वेट-लैंगलैंड्स कॉरेस्पोंडेंस का उपयोग करना, जिससे ज्ञात परिणाम (सेमीस्टेबल रिडक्शन और $p$ -डिविज़िबल समूहों पर) का लाभ उठाया जा सके।
आइचलर-शिमुरा आइसोमोर्फिज्म (Eichler–Shimura Isomorphism): लेखक कोहोमोलॉजी समूहों के इनवर्स लिमिट (विशेष रूप से "रैमिफाइड" कोटिएंट $B^*_\infty$ ) से पावर सीरीज मॉड्यूल $J[[T_x]]$ में एक इंजेक्टिव मैप का निर्माण करते हैं। यह मैप QM अबेलियन सतहों के यूनिवर्सल डीफॉर्मेशन पर डिफरेंशियल फॉर्म्स के सर्रे-टेट एक्सपेंशन के माध्यम से बनाया गया है।

3. मुख्य योगदान और परिणाम

बड़े $p$ -adic $L$ -फंक्शन का निर्माण:
मुख्य परिणाम (थ्योरम 6.3) एक बड़ा $p$ -adic $L$ -फंक्शन $L_{I, \xi} \in \tilde{I}[[\Gamma_\infty]]$ के अस्तित्व को स्थापित करता है, जहाँ:

$I$ एक रेसिडुअल रिप्रेजेंटेशन से जुड़ी एक प्रिमिटिव ब्रांच है।
$\xi$ ही-चरों (Hecke characters) का एक $p$ -adic परिवार है।
$\Gamma_\infty$ एक काल्पनिक द्वि-वर्ग क्षेत्र (imaginary quadratic field) $K$ के एंटीसाइक्लोटॉमिक विस्तार का गैलुआ समूह है।

यह फलन $L_{I, \xi}$ भार $k \geq 2$ के शास्त्रीय अंकगणितीय विशेषीकरण $\kappa$ पर बुरुंगले और मैग्रोन [Bur17, Mag22] द्वारा निर्मित $L_{f_\kappa, \xi_\kappa}$ का इंटरपोलेशन करता है। विशेष रूप से, एक अंकगणितीय मोर्फिज्म $\kappa$ के लिए, विशेषीकरण $L_{I, \xi}(\kappa)$ उपयुक्त रिंग में आइडियल्स के रूप में $L_{f_\kappa, \xi_\kappa}$ के बराबर होता है।

क्वाटरनियोनिक मॉड्यूलर फॉर्म्स का इंटीग्रल सिद्धांत:
यह शोध पत्र सर्रे-टेट एक्सपेंशन का उपयोग करके शिमुरा कर्व्स पर मॉड्यूलर फॉर्म्स के एक इंटीग्रल सिद्धांत को विकसित करता है। यह इनवर्स लिमिट मॉड्यूलर फॉर्म्स के सबमॉड्यूल $S^*_\infty$ को परिभाषित करता है और सिद्ध करता है कि ये मॉड्यूल इवासावा अल्जेब्रा (Iwasawa algebra) के ऊपर पावर सीरीज़ रिंग्स में इंजेक्टिव रूप से एम्बेड होते हैं। यह $\text{GL}_2$ मामले में $\Lambda$ -एडिक मॉड्यूलर फॉर्म्स के सिद्धांत के समान, क्वाटरनियन सेटिंग में इंटीग्रलिटी स्थितियों के अध्ययन के लिए एक ढांचा प्रदान करता है।

कंट्रोल थ्योरम और आइसोमोर्फिज्म:
लेखक एक कंट्रोल थ्योरम (थ्योरम 5.3) सिद्ध करते हैं जो कोहोमोलॉजी समूहों के इनवर्स लिमिट को एक विशिष्ट भार पर शास्त्रीय मॉड्यूलर फॉर्म्स के स्थान से जोड़ता है। इसके अलावा, वे $J^*$ -मॉड्यूल के लिए एक सटीक अनुक्रम (exact sequence) स्थापित करते हैं (थ्योरम 5.7) जो कोहोमोलॉजी को गैलुआ रिप्रेजेंटेशन के ऑर्डिनरी और नॉन-ऑर्डिनरी घटकों के अनुरूप भागों में विभाजित करता है, यह दिखाते हुए कि प्रासंगिक कोटिएंट रैंक 1 का फ्री मॉड्यूल है।

इंटरपोलेशन फॉर्मूला:
थ्योरम 6.3 स्पष्ट इंटरपोलेशन फॉर्मूला प्रदान करता है:
$(L_{I, \xi}(\kappa)) = (L_{f_\kappa, \xi_\kappa})$
$\tilde{I}[[\Gamma_\infty]]$ में आइडियल्स के रूप में। कोरोलरी 6.4 एंटीसाइक्लोटॉमिक ही-चरों के लिए इंटरपोलेशन गुणों का विवरण देता है, जो कॉम्प्लेक्स $L$ -फंक्शन के सेंट्रल क्रिटिकल वैल्यू के वर्ग से $p$ -adic $L$ -वैल्यू के संबंध को दर्शाता है।

4. सीमाएं और दावों की विनम्रता

लेखक स्पष्ट रूप से स्वीकार करते हैं कि उनका कार्य वाइल्स (Wiles) के $\Lambda$ -एडिक मॉड्यूलर फॉर्म्स के पूर्ण एनालॉग या ओटा [Oht95, थ्योरम 2.3.6] के पूर्ण क्वाटरनियन समकक्ष का निर्माण नहीं करता है।

लुप्त कंट्रोल थ्योरम: पेपर नोट करता है कि $S^*_\infty$ मॉड्यूल्स के लिए (जैसा कि [Hid93] और [Oht95] में है) एक पूर्ण कंट्रोल थ्योरम सिद्ध करने में असमर्थता है। यह $S^*_\infty$ को इवासावा अल्जेब्रा $\Lambda_O$ पर एक सीमित रैंक के फ्री मॉड्यूल के रूप में प्रदर्शित करने से रोकता है।
बाधाएं: ही-एक्शन (Hecke actions) और $T_x$ -एक्सपेंशन्स (सर्रे-टेट एक्सपेंशन) के बीच एक साफ संबंध का अभाव प्राथमिक बाधा के रूप में उद्धृत किया गया है। हालांकि ही-ऑपरेटरों के स्पष्ट विवरण मौजूद हैं, इगुसा टावर में विभिन्न बिंदुओं पर सर्रे-टेट एक्सपेंशन के साथ उनका इंटरैक्शन $U_p$ और $U_p^*$ के प्रभाव के तहत इंटीग्रलिटी के विश्लेषण को जटिल बनाता है।
दायरा: सिद्धांत केवल ऑर्डिनरी केस तक सीमित है। लेखक नोट करते हैं कि जबकि परफेक्टॉइड तकनीकों (जैसे [CHJ17]) ने ओटा के सिद्धांत को फाइनाइट स्लोप फैमिलीज़ तक विस्तारित किया है, उन्हें इस निर्माण के लिए आवश्यक विशिष्ट इंटीग्रलिटी स्थितियों के अनुकूल बनाना अभी भी कठिन है।

5. महत्व

यह शोध पत्र मुख्य रूप से अपने पद्धतिगत दृष्टिकोण और ग्रीनबर्ग सेल्मर ग्रुप्स (Greenberg Selmer groups) के अध्ययन में इसके संभावित अनुप्रयोग के कारण महत्व का दावा करता है।

भार 2 के साथ सीधा तुलना: अन्य हालिया $p$ -adic $L$ -फंक्शन निर्माणों (जैसे [JLZ21, LRZ25, Sev25]) के विपरीत, जो भार 2 के विशेषीकरण के साथ प्रत्यक्ष तुलना से बचते हैं, यह दृष्टिकोण मूल ओटा-हिडा दर्शन का पालन करते हुए सीधे भार 2 विशेषीकरण पर आधारित है।
हीगनर पॉइंट्स और सेल्मर ग्रुप्स: घोषित अंतिम लक्ष्य काल्पनिक द्वि-वर्ग क्षेत्र $K$ पर हिडा बिग गैलुआ रिप्रेजेंटेशन $T$ के लिए ग्रीनबर्ग सेल्मर ग्रुप $\text{Sel}(K, T)$ का अध्ययन करना है। शिमुरा कर्व्स (जहाँ $D > 1$ ) के साथ निर्माण हीगनर पॉइंट्स (या हीगनर साइकिल्स) का उपयोग करने की अनुमति देता है जो शिमुरा कर्व्स के टावर्स से जुड़े होते हैं। लेखक तर्क देते हैं कि $D > 1$ होने पर $\text{Sel}(K, T)$ के अध्ययन के लिए मॉड्यूलर कर्व्स (जहाँ $D=1$ है) पर हीगनर पॉइंट्स उपयुक्त नहीं हैं, जिससे इस विशिष्ट अंकगणितीय अनुप्रयोग के लिए क्वाटरनियन निर्माण आवश्यक हो जाता है।
पूरक ढांचा: इस कार्य को मौजूदा विधियों के पूरक के रूप में प्रस्तुत किया गया है, जो भार 2 में हीगनर पॉइंट्स के इंटरपोलेशन के लिए एक सीधा मार्ग प्रदान करता है, जिससे कास्टेला [Cas13, Cas20] के परिणामों का क्वाटरनियन एनालॉग मिल सकता है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र सर्रे-टेट एक्सपेंशन के माध्यम से ओटा के सिद्धांत का सामान्यीकरण करके क्वाटरनियन ऑर्डिनरी परिवारों के लिए एक बड़ा $p$ -adic $L$ -फंक्शन सफलतापूर्वक निर्मित करता है, जबकि यह ईमानदारी से स्वीकार करता है कि पूर्ण संरचनात्मक सिद्धांत (structural theory) के रूप में क्वाटरनियन $\Lambda$ -एडिक फॉर्म्स का एक पूर्ण $\Lambda$ -एडिक फॉर्म का निर्माण अभी भी एक खुला और कठिन प्रश्न बना हुआ है।