On quaternionic ordinary families of modular forms and $p$-adic $L$-functions

Titolo: Sulle famiglie ordinarie quaternioniche di forme modulari e funzioni L p-adiche
Autori: M. Longo, P. Magrone, E. R. Walchek
Data: 5 maggio 2026

1. Enunciazione del Problema

Il lavoro affronta la costruzione di una funzione L p-adica "grande" per algebre di quaternioni razionali indefinite, analoga alla teoria sviluppata per $\text{GL}_2$ da Castella [Cas20]. L'obiettivo principale è interpolare le funzioni L p-adiche associate alle specializzazioni classiche di una famiglia Hida di forme modulari su un'algebra di quaternioni.

Una difficoltà centrale identificata dagli autori è l'assenza di una normalizzazione canonica per il sollevamento di Jacquet–Langlands di una forma modulare ellittica su un'algebra di quaternioni. A differenza del caso $\text{GL}_2$, dove le forme proprie possono essere normalizzate ponendo il primo coefficiente di Fourier uguale a 1, il contesto quaternionico manca di uno sviluppo di Fourier diretto. Di conseguenza, definire il "corretto" sollevamento e stabilire proprietà integrali per famiglie di tali forme non è banale. Il lavoro mira a risolvere ciò combinando gli sviluppi di Serre–Tate con un'estensione della teoria delle famiglie ordinarie di Ohta al contesto quaternionico.

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio geometrico e aritmetico incentrato sulle curve di Shimura associate ad algebre di quaternioni indefinite di discriminante $D > 1$.

• Sviluppi di Serre–Tate: Seguendo il lavoro di Mori [Mor95, Mor11, Mor22] e di altri, gli autori utilizzano le coordinate di Serre–Tate per definire sviluppi in serie di potenze per le forme modulari quaternioniche. Questo sostituisce lo sviluppo di Fourier classico, che non è direttamente disponibile nel contesto quaternionico.
• Modelli Integrali e Torri di Igusa: La costruzione si basa sulla geometria delle curve di Shimura $X_m$ e dei loro luoghi ordinari. Gli autori lavorano con la torre di Igusa sulla fibra speciale di queste curve per definire trivializzazioni aritmetiche dei gruppi p-divisibili associati alle superfici abeliane con moltiplicazione quaternionica (QM).
• Generalizzazione della Teoria di Ohta: Il lavoro estende i risultati di Ohta [Oht93, Oht95, Oht99, Oht00] riguardanti le famiglie ordinarie di forme modulari al caso quaternionico. Ciò comporta:
  • La definizione di moduli di limiti inversi di forme modulari ordinarie ($S^*_\infty$) utilizzando gli sviluppi di Serre–Tate.
  • L'instaurazione della relazione tra questi moduli e gli spazi cotangenti di specifici quozienti delle Jacobiane delle curve di Shimura ($A_m, B_m, C_m$).
  • L'utilizzo della corrispondenza di Jacquet–Langlands per relazionare questi oggetti quaternionici ai loro corrispettivi in $\text{GL}_2$, sfruttando così risultati noti sulla riduzione semistabile e sui gruppi p-divisibili.
• Isomorfismo di Eichler–Shimura: Gli autori costruiscono una mappa iniettiva dal limite inverso dei gruppi di coomologia (in particolare il quoziente "ramificato" $B^*_\infty$) al modulo delle serie di potenze $J[[T_x]]$. Tale mappa è costruita tramite lo sviluppo di Serre–Tate delle forme differenziali sulla deformazione universale delle superfici abeliane con moltiplicazione quaternionica.

3. Contributi e Risultati Chiave

Costruzione della Grande Funzione L p-adica:
Il risultato principale (Teorema 6.3) stabilisce l'esistenza di una grande funzione L p-adica $L_{I, \xi} \in \tilde{I}[[\Gamma_\infty]]$, dove:

• $I$ è un ramo primitivo di una famiglia Hida associata a una rappresentazione residua.
• $\xi$ è una famiglia p-adica di caratteri di Hecke.
• $\Gamma_\infty$ è il gruppo di Galois dell'estensione anticyclotomica di un campo quadratico immaginario $K$.

La funzione $L_{I, \xi}$ interpola le funzioni L p-adiche $L_{f_\kappa, \xi_\kappa}$ costruite da Burungale e Magrone [Bur17, Mag22] nelle specializzazioni aritmetiche classiche $\kappa$ di peso $k \geq 2$. Nello specifico, per un morfismo aritmetico $\kappa$, la specializzazione $L_{I, \xi}(\kappa) coincide con$L_{f_\kappa, \xi_\kappa}$ (a meno di fattori espliciti) come ideali nell'anello appropriato.

Teoria Integrale delle Forme Modulari Quaternioniche:
Il lavoro sviluppa una teoria integrale delle forme modulari sulle curve di Shimura utilizzando gli sviluppi di Serre–Tate. Definisce sottomoduli $S^*_\infty$ di limiti inversi di forme modulari e dimostra che tali moduli si immergono in modo iniettivo negli anelli di serie di potenze sull'algebra di Iwasawa. Ciò fornisce un quadro per studiare le condizioni di integralità nel contesto quaternionico, analogo alla teoria delle forme modulari $\Lambda$-adiche nel caso $\text{GL}_2$.

Teorema di Controllo e Isomorfismo:
Gli autori dimostrano un teorema di controllo (Teorema 5.3) che relaziona il limite inverso dei gruppi di coomologia allo spazio delle forme modulari classiche a un peso specifico. Inoltre, stabiliscono una successione esatta di moduli $J^*$ (Teorema 5.7) che decompone la coomologia in parti corrispondenti alle componenti ordinarie e non ordinarie della rappresentazione di Galois, mostrando che il quoziente rilevante è libero di rango 1.

Formula di Interpolazione:
Il Teorema 6.3 fornisce la formula di interpolazione esplicita:
$$(L_{I, \xi}(\kappa)) = (L_{f_\kappa, \xi_\kappa})$$
come ideali in $\tilde{I}[[\Gamma_\infty]]$. Il Corollario 6.4 dettaglia ulteriormente le proprietà di interpolazione per i caratteri di Hecke anticyclotomici, relazionando il quadrato del valore L p-adico al valore critico centrale della funzione L complessa.

4. Limitazioni e Modestia delle Affermazioni

Gli autori riconoscono esplicitamente che il loro lavoro non costituisce un analogo completo della teoria delle forme modulari $\Lambda$-adiche di Wiles o un corrispettivo quaternionico completo del Teorema 2.3.6 di Ohta [Oht95].

• Mancanza di un Teorema di Controllo Completo: Il lavoro nota l'impossibilità di dimostrare un teorema di controllo completo per i moduli $S^*_\infty$ (come in [Hid93] e [Oht95]). Ciò impedisce di dimostrare che $S^*_\infty$ è un modulo libero di rango finito sull'algebra di Iwasawa $\Lambda_O$.
• Ostacoli: La mancanza di una connessione pulita tra le azioni di Hecke e gli sviluppi in $T_x$ (sviluppi di Serre–Tate) è citata come un ostacolo primario. Sebbene esistano descrizioni esplicite degli operatori di Hecke, l'interazione con lo sviluppo di Serre–Tate in punti diversi della torre di Igusa complica l'analisi dell'integralità sotto l'azione di $U_p$ e $U_p^*$.
• Ambito: La teoria è limitata al caso ordinario. Gli autori notano che, sebbene tecniche perfettoidi (ad es. [CHJ17]) abbiano esteso la teoria di Ohta alle famiglie di pendenza finita, l'adattamento di queste alle specifiche condizioni di integralità richieste per questa costruzione rimane difficile.

5. Significato

Il lavoro rivendica significato principalmente nel suo approccio metodologico e nella sua potenziale applicazione allo studio dei gruppi di Selmer di Greenberg.

• Confronto Diretto con Peso 2: A differenza di altre recenti costruzioni di famiglie p-adiche di funzioni L (ad es. [JLZ21, LRZ25, Sev25]) che evitano il confronto diretto con le specializzazioni di peso 2, questo approccio si basa direttamente sulle specializzazioni di peso 2 seguendo la filosofia originale Ohta–Hida.
• Punti di Heegner e Gruppi di Selmer: L'obiettivo ultimo dichiarato è lo studio del gruppo di Selmer di Greenberg $\text{Sel}(K, T)$ per la grande rappresentazione di Galois Hida $T$ su un campo quadratico immaginario $K$. La costruzione mediante curve di Shimura (con $D > 1$) permette l'uso di punti di Heegner (o cicli di Heegner) associati a torri di curve di Shimura. Gli autori sostengono che i punti di Heegner sulle curve modulari (il caso $D=1$) non sono adatti allo studio di $\text{Sel}(K, T)$ quando $D > 1$, rendendo necessaria la costruzione quaternionica per questa specifica applicazione aritmetica.
• Quadro Complementare: Il lavoro è presentato come complementare ai metodi esistenti, offrendo una via diretta per interpolare punti di Heegner in peso 2, il che potrebbe portare a un analogo quaternionico dei risultati di Castella [Cas13, Cas20].

In sintesi, il lavoro costruisce con successo una grande funzione L p-adica per famiglie ordinarie quaternioniche generalizzando la teoria di Ohta tramite sviluppi di Serre–Tate, ammettendo candidamente che una teoria strutturale completa delle forme quaternioniche $\Lambda$-adiche rimane un problema aperto e difficile.