On quaternionic ordinary families of modular forms and $p$-adic $L$-functions

Titel: Over Quaternionele Gewone Families van Modulaire Vormen en p-adische L-functies
Auteurs: M. Longo, P. Magrone, E. R. Walchek
Datum: 5 mei 2026

1. Probleemstelling

Het artikel behandelt de constructie van een "grote" p-adische L-functie voor indefiniete rationale quaternionalen algebra's, analoog aan de theorie die voor $\text{GL}_2$ is ontwikkeld door Castella [Cas20]. Het primaire doel is het interpoleren van p-adische L-functies die geassocieerd zijn met klassieke specialisaties van een Hida-familie van modulaire vormen op een quaternionalen algebra.

Een centrale moeilijkheid die door de auteurs wordt geïdentificeerd, is het ontbreken van een canonieke normalisatie voor de Jacquet–Langlands-lifting van een elliptische modulaire vorm naar een quaternionalen algebra. In tegenstelling tot het $\text{GL}_2$-geval, waar eigenvormen genormaliseerd kunnen worden door de eerste Fourier-coëfficiënt op 1 te stellen, ontbreekt in de quaternionele setting een directe Fourier-ontwikkeling. Bijgevolg is het niet-triviaal om de "correcte" lifting te definiëren en integraal eigenschappen voor families van dergelijke vormen vast te stellen. Het artikel tracht dit op te lossen door Serre–Tate-ontwikkelingen te combineren met een uitbreiding van Ohta's theorie van gewone families naar de quaternionele setting.

2. Methodologie

De auteurs hanteren een geometrische en arithmetische aanpak die centraal staat rond Shimura-curven geassocieerd met indefiniete quaternionalen algebra's met discriminant $D > 1$.

• Serre–Tate-ontwikkelingen: In navolging van het werk van Mori [Mor95, Mor11, Mor22] en anderen, gebruiken de auteurs Serre–Tate-coördinaten om machtreeksontwikkelingen te definiëren voor quaternionele modulaire vormen. Dit vervangt de klassieke Fourier-ontwikkeling, die in de quaternionele context niet direct beschikbaar is.
• Integrale modellen en Igusa-torens: De constructie is gebaseerd op de geometrie van Shimura-curven $X_m$ en hun gewone loci. De auteurs werken met de Igusa-toren boven de speciale vezel van deze curven om arithmetische trivialisaties te definiëren van p-divisibele groepen die geassocieerd zijn met quaternionale vermenigvuldiging (QM) abelse oppervlakken.
• Generalisatie van Ohta's theorie: Het artikel breidt resultaten van Ohta [Oht93, Oht95, Oht99, Oht00] met betrekking tot gewone families van modulaire vormen uit naar het quaternionele geval. Dit omvat:
  • Het definiëren van modules van inverse limieten van gewone modulaire vormen ($S^*_\infty$) met behulp van Serre–Tate-ontwikkelingen.
  • Het vaststellen van de relatie tussen deze modules en de cotangentieruimten van specifieke quotiënten van Jacobianen van Shimura-curven ($A_m, B_m, C_m$).
  • Het benutten van de Jacquet–Langlands-correspondentie om deze quaternionele objecten te relateren aan hun $\text{GL}_2$-tegenhangers, waardoor bekende resultaten over semistabele reductie en p-divisibele groepen kunnen worden benut.
• Eichler–Shimura-isomorfisme: De auteurs construeren een injectieve afbeelding van de inverse limiet van cohomologiegroepen (specifiek het "geramificeerde" quotiënt $B^*_\infty$) naar de module van machtreeksen $J[[T_x]]$. Deze afbeelding wordt geconstrueerd via de Serre–Tate-ontwikkeling van differentiaalvormen op de universele deformatie van QM-abelse oppervlakken.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

Constructie van de grote p-adische L-functie:
Het hoofdresultaat (Stelling 6.3) stelt de existentie vast van een grote p-adische L-functie $L_{I, \xi} \in \tilde{I}[[\Gamma_\infty]]$, waarbij:

• $I$ een primitieve tak is van een Hida-familie die is bevestigd aan een residuale representatie.
• $\xi$ een p-adische familie van Hecke-karakters is.
• $\Gamma_\infty$ de Galois-groep is van de anticyclotomische uitbreiding van een imaginair kwadratisch lichaam $K$.

De functie $L_{I, \xi}$ interpoleert de p-adische L-functies $L_{f_\kappa, \xi_\kappa}$ die zijn geconstrueerd door Burungale en Magrone [Bur17, Mag22] bij klassieke arithmetische specialisaties $\kappa$ van gewicht $k \geq 2$. Specifiek komt voor een arithmetische morfisme $\kappa$ de specialisatie $L_{I, \xi}(\kappa)$ overeen met $L_{f_\kappa, \xi_\kappa}$ (op expliciete factoren na) als idealen in de geschikte ring.

Integraal theorie van quaternionele modulaire vormen:
Het artikel ontwikkelt een integraal theorie van modulaire vormen op Shimura-curven met behulp van Serre–Tate-ontwikkelingen. Het definieert submodule $S^*_\infty$ van inverse limieten van modulaire vormen en bewijst dat deze modules injectief in machtreeksenringen over de Iwasawa-algebra worden ingebed. Dit biedt een kader voor het bestuderen van integraliteitsvoorwaarden in de quaternionele setting, analoog aan de theorie van $\Lambda$-adische modulaire vormen in het $\text{GL}_2$-geval.

Controlestelling en Isomorfisme:
De auteurs bewijzen een controlestelling (Stelling 5.3) die de inverse limiet van cohomologiegroepen relateert aan de ruimte van klassieke modulaire vormen bij een specifiek gewicht. Bovendien stellen zij een exacte rij van $J^*$-modules vast (Stelling 5.7) die de cohomologie decomposeert in delen die corresponderen met de gewone en niet-gewone componenten van de Galois-representatie, en tonen zij aan dat het relevante quotiënt vrij is van rang 1.

Interpolatieformule:
Stelling 6.3 biedt de expliciete interpolatieformule:
$$(L_{I, \xi}(\kappa)) = (L_{f_\kappa, \xi_\kappa})$$
als idealen in $\tilde{I}[[\Gamma_\infty]]$. Corollarium 6.4 beschrijft verder de interpolatie-eigenschappen voor anticyclotomische Hecke-karakters, en relateert het kwadraat van de p-adische L-waarde aan de centrale kritieke waarde van de complexe L-functie.

4. Beperkingen en Bescheidenheid van Aanspraken

De auteurs erkennen uitdrukkelijk dat hun werk geen volledig analoog vormt van Wiles' theorie van $\Lambda$-adische modulaire vormen, noch een volledig quaternioneel tegenhanger van Ohta's [Oht95, Stelling 2.3.6].

• Ontbrekende controlestelling: Het artikel noteert het onvermogen om een volledige controlestelling te bewijzen voor de modules $S^*_\infty$ (zoals in [Hid93] en [Oht95]). Dit verhindert het aantonen dat $S^*_\infty$ een vrije module van eindige rang is over de Iwasawa-algebra $\Lambda_O$.
• Obstakels: Het ontbreken van een schone connectie tussen Hecke-acties en $T_x$-ontwikkelingen (Serre–Tate-ontwikkelingen) wordt aangehaald als een primair obstakel. Hoewel expliciete beschrijvingen van Hecke-operatoren bestaan, maakt de interactie met de Serre–Tate-ontwikkeling op verschillende punten in de Igusa-toren de analyse van integraliteit onder de werking van $U_p$ en $U_p^*$ ingewikkeld.
• Reikwijdte: De theorie is beperkt tot het gewone geval. De auteurs merken op dat hoewel perfectoïde technieken (bijv. [CHJ17]) Ohta's theorie hebben uitgebreid naar families met eindige helling, het aanpassen hiervan aan de specifieke integraliteitsvoorwaarden die voor deze constructie vereist zijn, moeilijk blijft.

5. Betekenis

Het artikel claimt voornamelijk betekenis in zijn methodologische aanpak en zijn potentiële toepassing op het bestuderen van Greenberg-Selmer-groepen.

• Directe vergelijking met gewicht 2: In tegenstelling tot andere recente constructies van p-adische families van L-functies (bijv. [JLZ21, LRZ25, Sev25]) die een directe vergelijking met specialisaties van gewicht 2 vermijden, bouwt deze aanpak direct voort op specialisaties van gewicht 2, in lijn met de oorspronkelijke Ohta–Hida-filosofie.
• Heegner-punten en Selmer-groepen: Het uiteindelijke doel dat wordt gesteld, is het bestuderen van de Greenberg-Selmer-groep $\text{Sel}(K, T)$ voor de Hida-grote Galois-representatie $T$ over een imaginair kwadratisch lichaam $K$. De constructie met behulp van Shimura-curven (met $D > 1$) maakt het gebruik mogelijk van Heegner-punten (of Heegner-cycli) die zijn bevestigd aan torens van Shimura-curven. De auteurs betogen dat Heegner-punten op modulaire curven (het geval $D=1$) niet geschikt zijn voor het bestuderen van $\text{Sel}(K, T)$ wanneer $D > 1$, waardoor de quaternionele constructie noodzakelijk is voor deze specifieke arithmetische toepassing.
• Complementair kader: Het werk wordt gepresenteerd als complementair aan bestaande methoden, en biedt een directe weg naar het interpoleren van Heegner-punten in gewicht 2, wat kan leiden tot een quaternioneel analoog van resultaten van Castella [Cas13, Cas20].

Kortom, het artikel construeert succesvol een grote p-adische L-functie voor quaternionele gewone families door Ohta's theorie te generaliseren via Serre–Tate-ontwikkelingen, terwijl het eerlijk toegeeft dat een volledige structurele theorie van quaternionele $\Lambda$-adische vormen een open en moeilijk probleem blijft.