On quaternionic ordinary families of modular forms and $p$-adic $L$-functions

Título: Sobre Famílias Ordinárias Quaternionicas de Formas Modulares e Funções L p-ádicas
Autores: M. Longo, P. Magrone, E. R. Walchek
Data: 5 de maio de 2026

1. Declaração do Problema

O artigo aborda a construção de uma função L p-ádica "grande" para álgebras de quaternions racionais indefinidas, análoga à teoria desenvolvida para $\text{GL}_2$ por Castella [Cas20]. O objetivo principal é interpolar funções L p-ádicas associadas a especializações clássicas de uma família Hida de formas modulares sobre uma álgebra de quaternions.

Uma dificuldade central identificada pelos autores é a falta de uma normalização canônica para o levantamento de Jacquet–Langlands de uma forma modular elíptica para uma álgebra de quaternions. Diferentemente do caso $\text{GL}_2$, onde formas próprias podem ser normalizadas definindo o primeiro coeficiente de Fourier como 1, o contexto quaternionico carece de uma expansão de Fourier direta. Consequentemente, definir o "correto" levantamento e estabelecer propriedades integrais para famílias de tais formas é não trivial. O artigo busca resolver isso combinando expansões de Serre–Tate com uma extensão da teoria de Ohta sobre famílias ordinárias para o contexto quaternionico.

2. Metodologia

Os autores empregam uma abordagem geométrica e aritmética centrada em curvas de Shimura associadas a álgebras de quaternions indefinidas de discriminante $D > 1$.

• Expansões de Serre–Tate: Seguindo o trabalho de Mori [Mor95, Mor11, Mor22] e outros, os autores utilizam coordenadas de Serre–Tate para definir expansões em série de potências para formas modulares quaternionicas. Isso substitui a expansão de Fourier clássica, que não está diretamente disponível no contexto quaternionico.
• Modelos Integrais e Torres de Igusa: A construção depende da geometria das curvas de Shimura $X_m$ e de seus lugares ordinários. Os autores trabalham com a torre de Igusa sobre a fibra especial dessas curvas para definir trivializações aritméticas de grupos p-divisíveis associados a superfícies abelianas com multiplicação quaternionica (QM).
• Generalização da Teoria de Ohta: O artigo estende resultados de Ohta [Oht93, Oht95, Oht99, Oht00] sobre famílias ordinárias de formas modulares para o caso quaternionico. Isso envolve:
  • Definir módulos de limites inversos de formas modulares ordinárias ($S^*_\infty$) usando expansões de Serre–Tate.
  • Estabelecer a relação entre esses módulos e os espaços cotangentes de quocientes específicos de Jacobianas de curvas de Shimura ($A_m, B_m, C_m$).
  • Utilizar a correspondência de Jacquet–Langlands para relacionar esses objetos quaternionicos com seus homólogos em $\text{GL}_2$, aproveitando assim resultados conhecidos sobre redução semiestável e grupos p-divisíveis.
• Isomorfismo de Eichler–Shimura: Os autores constroem um mapa injetor do limite inverso de grupos de cohomologia (especificamente o quociente "ramificado" $B^*_\infty$) para o módulo de séries de potências $J[[T_x]]$. Este mapa é construído via a expansão de Serre–Tate de formas diferenciais na deformação universal de superfícies abelianas com multiplicação quaternionica.

3. Contribuições e Resultados Chave

Construção da Grande Função L p-ádica:
O resultado principal (Teorema 6.3) estabelece a existência de uma grande função L p-ádica $L_{I, \xi} \in \tilde{I}[[\Gamma_\infty]]$, onde:

• $I$ é um ramo primitivo de uma família Hida associada a uma representação residual.
• $\xi$ é uma família p-ádica de caracteres de Hecke.
• $\Gamma_\infty$ é o grupo de Galois da extensão antici cíclica de um corpo quadrático imaginário $K$.

A função $L_{I, \xi}$ interpola as funções L p-ádicas $L_{f_\kappa, \xi_\kappa}$ construídas por Burungale e Magrone [Bur17, Mag22] em especializações aritméticas clássicas $\kappa$ de peso $k \geq 2$. Especificamente, para um morfismo aritmético $\kappa$, a especialização $L_{I, \xi}(\kappa) coincide com$L_{f_\kappa, \xi_\kappa}$ (a menos de fatores explícitos) como ideais no anel apropriado.

Teoria Integral de Formas Modulares Quaternionicas:
O artigo desenvolve uma teoria integral de formas modulares sobre curvas de Shimura usando expansões de Serre–Tate. Define submódulos $S^*_\infty$ de limites inversos de formas modulares e prova que esses módulos se embutem injetivamente em anéis de séries de potências sobre a álgebra de Iwasawa. Isso fornece uma estrutura para estudar condições de integralidade no contexto quaternionico, análoga à teoria de formas modulares $\Lambda$-ádicas no caso $\text{GL}_2$.

Teorema de Controle e Isomorfismo:
Os autores provam um teorema de controle (Teorema 5.3) relacionando o limite inverso de grupos de cohomologia ao espaço de formas modulares clássicas em um peso específico. Além disso, estabelecem uma sequência exata de módulos $J^*$ (Teorema 5.7) decompondo a cohomologia em partes correspondentes aos componentes ordinários e não-ordinários da representação de Galois, mostrando que o quociente relevante é livre de posto 1.

Fórmula de Interpolação:
O Teorema 6.3 fornece a fórmula de interpolação explícita:
$$(L_{I, \xi}(\kappa)) = (L_{f_\kappa, \xi_\kappa})$$
como ideais em $\tilde{I}[[\Gamma_\infty]]$. O Corolário 6.4 detalha ainda mais as propriedades de interpolação para caracteres de Hecke antici cíclicos, relacionando o quadrado do valor L p-ádico ao valor crítico central da função L complexa.

4. Limitações e Modéstia das Afirmações

Os autores reconhecem explicitamente que seu trabalho não constitui um análogo completo da teoria de formas modulares $\Lambda$-ádicas de Wiles ou uma contraparte quaternionica completa ao Teorema 2.3.6 de Ohta [Oht95].

• Teorema de Controle Ausente: O artigo nota a incapacidade de provar um teorema de controle completo para os módulos $S^*_\infty$ (como em [Hid93] e [Oht95]). Isso impede a demonstração de que $S^*_\infty$ é um módulo livre de posto finito sobre a álgebra de Iwasawa $\Lambda_O$.
• Obstáculos: A falta de uma conexão limpa entre as ações de Hecke e as expansões $T_x$ (expansões de Serre–Tate) é citada como um obstáculo primário. Embora existam descrições explícitas dos operadores de Hecke, a interação com a expansão de Serre–Tate em diferentes pontos da torre de Igusa complica a análise da integralidade sob a ação de $U_p$ e $U_p^*$.
• Escopo: A teoria está restrita ao caso ordinário. Os autores notam que, embora técnicas perfoides (por exemplo, [CHJ17]) tenham estendido a teoria de Ohta para famílias de inclinação finita, adaptar essas técnicas às condições de integralidade específicas requeridas para esta construção permanece difícil.

5. Significado

O artigo reivindica significado principalmente em sua abordagem metodológica e em sua aplicação potencial ao estudo de grupos de Selmer de Greenberg.

• Comparação Direta com Peso 2: Ao contrário de outras construções recentes de famílias p-ádicas de funções L (por exemplo, [JLZ21, LRZ25, Sev25]) que evitam a comparação direta com especializações de peso 2, esta abordagem constrói diretamente sobre especializações de peso 2 seguindo a filosofia original de Ohta–Hida.
• Pontos de Heegner e Grupos de Selmer: O objetivo final declarado é o estudo do grupo de Selmer de Greenberg $\text{Sel}(K, T)$ para a grande representação de Galois Hida $T$ sobre um corpo quadrático imaginário $K$. A construção usando curvas de Shimura (com $D > 1$) permite o uso de pontos de Heegner (ou ciclos de Heegner) associados a torres de curvas de Shimura. Os autores argumentam que pontos de Heegner em curvas modulares (o caso $D=1$) não são adequados para estudar $\text{Sel}(K, T)$ quando $D > 1$, tornando a construção quaternionica necessária para esta aplicação aritmética específica.
• Estrutura Complementar: O trabalho é apresentado como complementar aos métodos existentes, oferecendo um caminho direto para interpolar pontos de Heegner em peso 2, o que poderia levar a um análogo quaternionico de resultados de Castella [Cas13, Cas20].

Em resumo, o artigo constrói com sucesso uma grande função L p-ádica para famílias ordinárias quaternionicas generalizando a teoria de Ohta via expansões de Serre–Tate, enquanto admite candidamente que uma teoria estrutural completa de formas quaternionicas $\Lambda$-ádicas permanece um problema aberto e difícil.