A Kolmogorov-Smirnov-Type Test for Dependently Double-Truncated Data
यह शोध पत्र दोहरी-खंडित (double-truncated) जीवनकाल डेटा के पैरामीट्रिक वितरण परिवारों के लिए एक कोलमोगोरोव-स्मिरनोव-प्रकार का परीक्षण प्रस्तावित करता है, जो निर्भरता को समझाने के लिए कोपुला मॉडलों का उपयोग करता है और सिमुलेशन तथा जर्मन उद्यमों के जीवनकाल के एक अनुप्रयोग के माध्यम से अपनी प्रभावशीलता को प्रदर्शित करता है जो आयु-सजातीय क्लोजर हज़ार्ड (age-homogeneous closure hazard) की परिकल्पना को खारिज करता है।
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गायब समय का रहस्य
कल्पना कीजिए कि आप एक जासूस हैं जो यह पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि किसी विशिष्ट प्रकार की वस्तु आमतौर पर कितने समय तक चलती है। शायद यह एक बल्ब हो, एक स्मार्टफोन हो, या यहाँ तक कि कोई व्यवसाय हो। सांख्यिकी (statistics) की दुनिया में, इसे "जीवनकाल" (lifespans) का अध्ययन करना कहा जाता है। लेकिन इसमें एक पेंच है: आपको हर वस्तु के मरने का इंतज़ार करने की ज़रूरत नहीं है यह देखने के लिए कि वह कितनी लंबी जीवित रही। आपको समय के एक स्नैपशॉट (झलक) को देखना होगा।
यहीं पर "ट्रंकेशन" (truncation/काट-छाँट) काम आता है। इसे एक ऐसे कैमरे की तरह सोचें जो केवल उन लोगों की तस्वीरें लेता है जो पहले से ही एक विशिष्ट कमरे में खड़े हैं। यदि आप केवल उन लोगों की तस्वीर लेते हैं जो वर्तमान में एक प्रतीक्षा कक्ष (waiting room) में हैं, तो आप उन सभी को चूक जाते हैं जो अभी तक आए नहीं हैं (लेफ्ट ट्रंकेशन) और उन सभी को भी जो पहले ही जा चुके हैं (राइट ट्रंकेशन)। वास्तविक जीवन में, यह हमेशा होता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 2014 में बंद होने वाले व्यवसायों का अध्ययन करते हैं, तो आप केवल उन्हीं को देखते हैं जो 2014 में मौजूद रहने के लिए पर्याप्त पुराने थे। आप उन लोगों को चूक जाते हैं जो 2015 में शुरू हुए, और आप उन्हें भी चूक जाते हैं जो 2010 में बंद हो गए।
आमतौर पर, सांख्यिकीविद यह मान लेते हैं कि किसी चीज़ का कब शुरू होना इस बात से कोई लेना-देना नहीं है कि वह कितनी देर तक चलेगी। वे मानते हैं कि 1990 में स्थापित व्यवसाय के भी उतनी ही तेज़ी से बंद होने की संभावना है जितना कि 2010 में स्थापित व्यवसाय की। लेकिन वास्तविक दुनिया में, चीजें इतनी सरल नहीं होती हैं। जीवन प्रत्याशा समय के साथ बदलती है, और जिस उम्र में आप कुछ शुरू करते है, वह वास्तव में इस बात को प्रभावित कर सकती है कि वह कितने समय तक जीवित रहेगा। यह शोध पत्र इस पेचीदा समस्या का समाधान करता है कि क्या एक जीवनकाल एक अनुमानित पैटर्न का पालन करता है जब शुरुआत का समय और अंत का समय गुप्त रूप से एक-दूसरे से जुड़े होते हैं, जैसे दो नर्तक जो हमेशा तालमेल में चलते हैं।
द्वि-खंडित डेटा (Double-Truncated Data) का नृत्य
एनी-मैरी टोपार्कस और राफेल वीसबाक, जो रोस्टॉक विश्वविद्यालय के सांख्यिकीविद हैं, ने इस डांस-फ्लोर के रहस्य को सुलझाने के लिए एक नया उपकरण बनाने का निर्णय लिया। उन्होंने एक "कोलमोगोरोव-स्मिर्नोव-टाइप टेस्ट" (Kolmogorov-Smirnov-Type Test) बनाया, जो एक फैंसी तरीका है यह कहने का कि उन्होंने यह मापने के लिए एक अत्यंत संवेदनशील रूलर (पैमाना) बनाया है कि एक सैद्धांतिक अनुमान वास्तविक डेटा के बिखराव के साथ कितनी अच्छी तरह फिट बैठता है।
उनका मुख्य काम एक विशिष्ट अनुमान का परीक्षण करना था: क्या उद्यमों (enterprises) का जीवनकाल एक "एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन" (exponential distribution) का पालन करता है? सरल शब्दों में, एक एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन यह सुझाव देता है कि कुछ बंद होने का जोखिम स्थिर रहता है। यह एक रेडियोधर्मी परमाणु की तरह है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वह कितना पुराना है; अगले सेकंड में उसके क्षय (decay) होने की संभावना हमेशा एक समान रहती है। यदि व्यवसायों के लिए यह सच होता, तो इसका मतलब होता कि 20 साल पुरानी कंपनी के भी कल ही दिवालिया होने की उतनी ही संभावना है जितनी कि 1 साल पुरानी कंपनी की।
हालाँकि, लेखकों को संदेह था कि यह पूरी कहानी नहीं है। वे जानते थे कि वास्तविक दुनिया में, "ट्रंकेशन की आयु" (जब अध्ययन शुरू होता है) और "जीवनकाल" (व्यवसाय कितने समय तक चलता है) अक्सर एक-दूसरे पर निर्भर होते हैं। इस संबंध को मॉडल करने के लिए, उन्होंने "कोपुला" (copula) नामक एक गणितीय उपकरण का उपयोग किया, विशेष रूप से "फार्ली-गुम्बेल-मॉर्गनस्टर्न" (FGM) कोपुला। आप कोपुला को एक गोंद के रूप में सोच सकते हैं जो दो अलग-अलग प्रायिकता वक्रों (probability curves) को एक साथ चिपका देता है, जिससे वे तालमेल में हिल-डुल सकते हैं। FGM कोपुला विशेष है क्योंकि यह उन्हें एक साथ जोड़ सकता है चाहे वे एक ही दिशा में बढ़ रहे हों या विपरीत दिशाओं में।
जर्मन बिजनेस प्रयोग
अपने नए रूलर को परखने के लिए, लेखकों ने एक विशाल डेटासेट देखा: 55,279 जर्मन उद्यम। ये 1990 और 2013 के बीच स्थापित कंपनियाँ थीं, और अध्ययन ने देखा कि कौन सी कंपनियाँ 2014 और 2016 के बीच बंद हुईं। चूंकि डेटा में केवल वे कंपनियाँ शामिल थीं जो 2014 में जीवित थीं लेकिन 2016 तक बंद हो गईं, इसलिए डेटा "डबली ट्रंकेटेड" (दोहरी तरह से खंडित) था—शुरुआत और अंत दोनों तरफ से कटा हुआ।
शोधकर्ताओं ने अपना परीक्षण दो बार चलाया। पहले, उन्होंने माना कि शुरुआत की तारीख और जीवनकाल पूरी तरह से स्वतंत्र हैं (आसान संस्करण)। फिर, उन्होंने यह गणना करने के लिए अपने FGM कोपुला का उपयोग करके परीक्षण फिर से चलाया कि कैसे पुरानी कंपनियाँ नई कंपनियों की तुलना में अलग व्यवहार कर सकती हैं।
परिणाम: घड़ी स्थिर नहीं है
परिणाम स्पष्ट और निर्णायक थे। जब लेखकों ने अपने डेटा की तुलना "एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन" (इस विचार कि बंद होने का जोखिम समय के साथ स्थिर रहता है) से की, तो टेस्ट स्टैटिस्टिक बहुत बड़ा था। वास्तव में, यह इतना बड़ा था कि इसने सिमुलेशन के माध्यम से गणना किए गए क्रिटिकल वैल्यूज (महत्वपूर्ण मानों) को बहुत पीछे छोड़ दिया।
यह शोध पत्र स्पष्ट रूप से उस परिकल्पना को अस्वीकार करता है कि जर्मन उद्यमों का जीवनकाल निरंतर खतरा दर (constant hazard rate) वाले एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन का पालन करता है। दूसरे शब्दों में, डेटा साबित करता है कि व्यवसाय बंद होने का जोखिम हर उम्र में एक समान नहीं होता है। "आयु-समरूप समापन खतरा" (यह विचार कि आयु मायने नहीं रखती) स्पष्ट रूप से गलत था।
लेखकों ने यह भी पाया कि शुरुआत की तारीख और जीवनकाल के बीच निर्भरता वास्तविक थी। उन्होंने लगभग 0.023 का "केंडल का ताऊ" (Kendall's tau) निकाला, जो सुनने में छोटा लग सकता है, लेकिन पेपर पुष्टि करता है कि यह सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है। यह सकारात्मक निर्भरता जीवन प्रत्याशा के लिए एक नकारात्मक समय रुझान (negative time trend) का सुझाव देती है: जैसे-जैसे समय बीता, इन व्यवसायों के अपेक्षित जीवनकाल में वास्तव में कमी आई।
उन्होंने यह कैसे किया (परदे के पीछे का जादू)
आप सोच सकते हैं कि उन्होंने इतनी सटीकता के साथ इसकी गणना कैसे की। लेखकों ने केवल अनुमान नहीं लगाया; उन्होंने एक कठोर गणितीय इंजन बनाया। उन्होंने "फंक्शनल डेल्टा मेथड" और "डॉन्सकर-क्लास आर्गुमेंट्स" का उपयोग किया। यदि यह शब्द आपको अजीब लग रहे हैं, तो इसे इस तरह सोचें कि यह इस तथ्य को संभालने का एक तरीका है कि उनका डेटा एक आदर्श, चिकनी रेखा नहीं था बल्कि 55,000 व्यक्तिगत बिंदुओं का एक ऊबड़-खाबड़, टेढ़ा-मेढ़ा ढेर था।
उन्होंने एक एल्गोरिदम (एल्गोरिदम 1) विकसित किया जो ग्राफ पर विशिष्ट "इंटरसेक्शन पॉइंट्स" (प्रतिच्छेदन बिंदु) और "प्रोजेक्शंस" की जाँच करके नंबरों को प्रोसेस कर सकता था। समय के हर संभव बिंदु की जाँच करने के बजाय (जिसमें अनंत समय लगता), उनके चतुर गणित ने दिखाया कि उन्हें अपने अनुमान और वास्तविकता के बीच सबसे बड़े अंतर को खोजने के लिए केवल सीमित स्थानों की जाँच करने की आवश्यकता है।
यह पता लगाने के लिए कि क्या उनके परिणाम वास्तव में महत्वपूर्ण थे या केवल एक इत्तेफाक, उन्हें "क्रिटिकल वैल्यू" को सिम्युलेट करना था। चूंकि इस जटिल, निर्भर डेटा के लिए कोई सरल सूत्र नहीं था, इसलिए उन्होंने 1,000 बार कंप्यूटर सिमुलेशन चलाया, विभिन्न "ब्राउनियन ब्रिजेस" (एक प्रकार का रैंडम वॉक) उत्पन्न किए ताकि यह देखा जा सके कि यदि एक्सपोनेंशियल अनुमान सत्य होता तो टेस्ट स्टैटिस्टिक कैसा दिखता। वास्तविक डेटा इस सिम्युलेटेड रेंज से इतना बाहर था कि अस्वीकृति निर्विवाद थी।
मुख्य निष्कर्ष
यह शोध पत्र केवल यह नहीं कहता कि "हमें एक पैटर्न मिला।" यह कहता है, "हमने गणितीय रूप से सिद्ध किया है कि जर्मन उद्यमों के लिए व्यवसाय विफलता के निरंतर जोखिम का सरल विचार गलत है।" लेखक सुझाव देते हैं कि इस अस्वीकृति का कारण संभवतः समय के साथ व्यावसायिक वातावरण की बदलती प्रकृति है, न कि केवल कंपनियों के शुरू होने का रैंडम वितरण।
हालांकि यह शोध पत्र जर्मन व्यवसायों पर केंद्रित है, लेकिन उन्होंने जो उपकरण बनाया है वह सांख्यिकीविदों के लिए किसी भी प्रकार के जीवनकाल डेटा के बारे में सिद्धांतों का परीक्षण करने का एक शक्तिशाली नया तरीका है जहाँ शुरुआत और अंत के समय आपस में जुड़े होते हैं। यह एक याद दिलाता है कि डेटा की दुनिया में, चीजें शायद ही कभी स्वतंत्र होती हैं, और कभी-कभी, भविष्य को समझने का सबसे अच्छा तरीका यह स्वीकार करना होता है कि अतीत और वर्तमान एक साथ नृत्य कर रहे हैं।
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