📊 statistics

A Kolmogorov-Smirnov-Type Test for Dependently Double-Truncated Data

Dit artikel stelt een Kolmogorov-Smirnov-type toets voor voor parametrische distributiefamilies van dubbel afgeknotte levensduurgegevens, waarbij copula-modellen worden gebruikt om afhankelijkheid te verklaren en de effectiviteit ervan wordt aangetoond door middel van simulaties en een toepassing op de levensduur van Duitse ondernemingen die de hypothese van een leeftijdshomogene afsluitingshazard verwerpt.

Oorspronkelijke auteurs: Anne-Marie Toparkus, Rafael Weissbach

Gepubliceerd 2026-07-22

📖 7 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Anne-Marie Toparkus, Rafael Weissbach

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Het Mysterie van de Ontbrekende Tijd

Stel je voor dat je een detective bent die probeert uit te zoeken hoe lang een specifiek type object normaal gesproken meegaat. Misschien is het een gloeilamp, een smartphone of zelfs een bedrijf. In de wereld van de statistiek wordt dit bestudeerd als "levensduur". Maar er is een addertje onder het gras: je kunt niet simpelweg wachten tot elk object sterft om te zien hoe lang het heeft geleefd. Je moet naar een momentopname van de tijd kijken.

Dit is waar "truncatie" (afkapbaarheid) om de hoek komt kijken. Denk aan een camera die alleen foto's maakt van mensen die al in een specieke kamer staan. Als je alleen mensen fotografeert die momenteel in een wachtkamer zitten, mis je iedereen die nog niet is gearriveerd (linker-truncatie) en iedereen die al is vertrokken (rechter-truncatie). In het echte leven gebeurt dit voortdurend. Als je bijvoorbeeld bedrijven bestudeert die in 2014 zijn gesloten, zie je alleen de bedrijven die oud genoeg waren om in 2014 nog te bestaan. Je mist de bedrijven die in 2015 zijn gestart, en je mist de bedrijven die in 2010 zijn gesloten.

Meestal gaan statistici ervan uit dat wanneer iets begon niets te maken heeft met hoe lang het zal duren. Ze nemen aan dat een bedrijf dat in 1990 is opgericht, net zo waarschijnlijk snel failliet gaat als een bedrijf dat in 2010 is opgericht. Maar in de echte wereld is het zelden zo eenvoudig. De levensverwachting verandert in de loop van de tijd, en de leeftijd waarop je iets begint, kan de overlevingskans daadwerkelijk beïnvloeden. Dit artikel behandelt het lastige probleem van het testen of een levensduur een voorspelbaar patroon volgt wanneer de starttijd en de eindtijd geheim met elkaar verbonden zijn, zoals twee dansers die altijd synchroon bewegen.

De Dans van de Dubbel-getrunceerde Data

Anne-Marie Toparkus en Rafael Weißbach, statistici van de Universiteit van Rostock, besloten een nieuw instrument te bouwen om dit dansvloermysterie op te lossen. Ze creëerden een "Kolmogorov-Smirnov-type test", wat een chique manier is om te zeggen dat ze een supergevoelig liniaal hebben gebouwd om te meten hoe goed een theoretische gok past bij de rommelige realiteit van de data.

Hun belangrijkste taak was het testen van een specifieke gok: volgen de levensduur van ondernemingen een "exponentiële verdeling"? In gewone mensentaal suggereert een exponentiële verdeling dat het risico op sluiting constant is. Het is als een radioactief atoom: het maakt niet uit hoe oud het is; de kans dat het in de volgende seconde vervalt, blijft altijd hetzelfde. Als dit waar zou zijn voor bedrijven, zou dit betekenen dat een 20 jaar oud bedrijf morgen net zo waarschijnlijk failliet gaat als een bedrijf van 1 jaar oud.

De auteurs vermoedden echter dat dit niet het hele verhaal was. Ze wisten dat in de echte wereld de "leeftijd bij truncatie" (wanneer de studie begint) en de "levensduur" (hoe lang het bedrijf duurt) vaak afhankelijk van elkaar zijn. Om deze verbinding te modelleren, gebruikten ze een wiskundig hulpmiddel genaamd een "copula", specifiek de Farlie-Gumbel-Morgenstern (FGM) copula. Je kunt een copula zien als een lijm die twee aparte waarschijnlijkheidscurven aan elkaar plakt, waardoor ze synchroon kunnen bewegen. De FGM-copula is speciaal omdat hij ze aan elkaar kan plakken, of ze nu in dezelfde richting of in tegenovergestelde richtingen bewegen.

Het Duitse Bedrijfsexperiment

Om hun nieuwe liniaal op de proef te stellen, keken de auteurs naar een enorme dataset: 55.279 Duitse ondernemingen. Dit waren bedrijven die tussen 1990 en 2013 werden opgericht, en de studie keek naar welke van deze bedrijven hun deuren sloten tussen 2014 en 2016. Omdat de data alleen bedrijven bevat die in 2014 nog bestonden maar vóór 2016 sloten, was de data "dubbel getrunceerd" — afgekapt aan zowel het begin als het einde.

De onderzoekers voerden hun test twee keer uit. Eerst namen ze aan dat de startdatum en de levensduur totaal onafhankelijk waren (de "makkelijke" versie). Daarna voerden ze de test opnieuw uit met hun FGM-copula om rekening te houden met het feit dat oudere bedrijven zich anders kunnen gedragen dan nieuwere bedrijven.

Het Vonnis: De Klok is Niet Constant

De resultaten waren duidelijk en beslissend. Toen de auteurs hun data vergeleken met de "exponentiële verdeling" (het idee dat het risico op sluiting constant is over de tijd), was de teststatistiek enorm groot. Sterker nog, deze was zo groot dat hij de kritieke waarden berekend via simulaties ruimschoots overschreed.

Het artikel verwerpt expliciet de hypothese dat de levensduur van Duitse ondernemingen een exponentiële verdeling met een constante hazard rate volgt. Met andere woorden: de data bewijzen dat het risico dat een bedrijf sluit niet hetzelfde is op elke leeftijd. De "leeftijd-homogene sluitingshazard" (het idee dat leeftijd er niet toe doet) was duidelijk onjuist.

De auteurs ontdekten ook dat de afhankelijkheid tussen de startdatum en de levensduur echt was. Ze berekenden een "Kendall's tau" van ongeveer 0,023, wat klein klinkt, maar het artikel bevestigt dat dit statistisch significant is. Deze positieve afhankelijkheid suggereert een negatieve tijdtrend voor de levensverwachting: naarmate de tijd vorderde, nam de verwachte levensduur van deze bedrijven feitelijk af.

Hoe Ze Het Deden (De Magie Achter het Gordijn)

Je vraagt je misschien af hoe ze dit met zulke precisie konden berekenen. De auteurs gokten niet zomaar; ze bouwden een rigoureuze wiskundige machine. Ze gebruikten een methode genaamd de "functionele delta-methode" en "Donsker-klasse argumenten". Als dat als wartaal klinkt, zie het dan als een manier om om te gaan met het feit dat hun data geen perfecte, gladde lijn was, maar een grillige, hobbelige bende van 55.000 individuele punten.

Ze ontwikkelden een algoritme (Algoritme 1) dat de cijfers kon verwerken door specifieke "snijpunten" en "projecties" op een grafiek te controleren. In plaats van elk mogelijk punt in de tijd te controleren (wat eeuwig zou duren), toonde hun slimme wiskunde aan dat ze slechts een eindig aantal plaatsen hoefden te controleren om het grootste verschil tussen hun gok en de realiteit te vinden.

Om te bepalen of hun resultaten daadwerkelijk significant waren of slechts een toevalstreffer, moesten ze de "kritieke waarde" berekenen. Omdat er geen eenvoudige formule was voor deze complexe, afhankelijke data, draaiden ze een computersimulatie van 1.000 keer, waarbij ze willekeurige "Brownian bridges" (een type willekeurige wandeling) genereerden om te zien hoe de teststatistiek eruit zou moeten zien als de exponentiële gok waar zou zijn. De echte data lag zo ver buiten dit gesimuleerde bereik dat de verwerping onontkoombaar was.

De Conclusie

Dit artikel zegt niet alleen "we hebben een patroon gevonden". Het zegt: "We hebben wiskundig bewezen dat het eenvoudige idee van een constant risico op bedrijfsfalen onjuist is voor Duitse ondernemingen." De auteurs suggereren dat de reden voor deze verwerping waarschijnlijk ligt in de veranderende aard van het bedrijfsleven in de loop van de tijd, in plaats van enkel in de willekeurige verdeling van wanneer bedrijven zijn gestart.

Hoewel het artikel zich richt op Duitse bedrijven, is het instrument dat ze hebben gebouwd een krachtige nieuwe manier voor statistici om theorieën over elke vorm van levensduurdata te testen waarbij de start- en eindtijden aan elkaar gelinkt zijn. Het is een herinnering aan het feit dat zaken in de wereld van data zelden onafhankelijk zijn, en dat soms de beste manier om de toekomst te begrijpen is door toe te geven dat het verleden en het heden samen dansen.

Technische Samenvatting: Een Kolmogorov-Smirnov-type Test voor Afhankelijke Dubbel Getrunceerde Data

Probleemstelling
Het artikel behandelt de uitdaging van het testen van de 'goodness-of-fit' voor een parametrische distributiefamilie van levensduur ( $X$ ) wanneer de data onderhevig is aan dubbele truncatie (zowel links als rechts) en waarbij het truncatiemechanisme afhankelijk is van de levensduur. In standaard overlevingsanalyse wordt vaak de onafhankelijkheid tussen de variabele van belang en de truncatietijd aangenomen. Echter, in demografische en economische contexten (zoals de levensduur van ondernemingen) vertoont de levensverwachting vaak niet-stationair gedrag, wat een afhankelijkheid creëert tussen de levensduur en de leeftijd waarop de eenheid de studie binnenkomt (truncatieleeftijd, $T$ ). De bestaande literatuur behandelt voornamelijk niet-parametrische bijdragen voor onafhankelijke truncatie of specifieke parametrische modellen, maar een rigoureuze niet-parametrische test voor de distributie van $X$ onder afhankelijke dubbele truncatie ontbrak.

Methodologie
De auteurs stellen een Kolmogorov-Smirnov (KS) type teststatistiek voor die is aangepast voor de bivariate setting van afhankelijke dubbele truncatie.

Modelkader:
- De populatie bestaat uit eenheden die zijn geboren binnen een tijdsvenster van lengte $G$ .
- Levensduur $X$ en truncatieleeftijd $T$ worden gemodelleerd met een gezamenlijke distributie $F_\theta(x, t) = C_\vartheta(F^X_\theta(x), F_T(t))$ , waarbij $C_\vartheta$ een copula is (specifiek de Farlie-Gumbel-Morgenstern (FGM) copula in het hoofdvoorbeeld) die de afhankelijkheidsstructuur vastlegt via parameter $\vartheta$ .
- Observaties zijn beperkt tot een parallellogram $D = \{(x, t) : 0 < t \le x \le t+s, t \le G\}$ , dat de studieperiode $s$ volgt op de geboorteperiode.
Constructie van de Teststatistiek:
- De test vergelijkt de empirische distributie van de geobserveerde getrunceerde steekproef met de theoretische conditionele distributie $F^{obs}_\theta$ .
- De statistiek is gedefinieerd als:
  $\sqrt{M_n} \frac{1}{\sqrt{\hat{\alpha}_{\hat{\theta}_n}}} \sup_{(x,t) \in S} \left| \hat{P}_{n,D}([0, x] \times [0, t]) - \hat{\alpha}_{\hat{\theta}_n} F^{obs}_{\hat{\theta}_n}(x, t) \right|$
  waarbij $M_n$ het aantal geobserveerde eenheden is, $\hat{\theta}_n$ een consistente schatter is voor de parameters (inclusief de afhankelijkheidsparameter), en $\hat{\alpha}$ de geschatte waarschijnlijkheid van observatie is.
- Berekening: De auteurs leiden een algoritme af (Algoritme 1) dat de berekening van de supremum naar een eindig aantal operaties reduceert. De maximale afwijking wordt geëvalueerd op de geobserveerde punten, snijpunten van de empirische en theoretische grenzen, projecties op de randen van het steunveld $D$ en specifieke hoekpunten.
Asymptotische Theorie:
- Het artikel maakt gebruik van Donsker-klasse argumenten en de functionele delta-methode om de asymptotische distributie van de teststatistiek onder de nulhypothese ( $H_0$ ) af te leiden.
- Het limietproces blijkt een Gaussisch proces $H_{P_{\theta_0}}$ te zijn, een modificatie van een Brownian bridge. Dit proces houdt rekening met de schatting van zowel de distributieparameters ( $\theta$ ) als de observatiekans (wat effectief de willekeurige steekproefomvang $M_n$ afhandelt).
- De covariantiefunctie van dit limietproces wordt expliciet afgeleid, wat de simulatie van kritieke waarden mogelijk maakt.
Bepaling van Kritieke Waarden:
- Omdat de asymptotische distributie afhankelijk is van de onbekende parameters, worden kritieke waarden berekend via simulatie (Algoritme 2). Dit omvat het genereren van Gaussische vectoren op basis van de afgeleide covariantie-matrix over een rooster van het steunveld $D$ .

Belangrijkste Bijdragen

Test voor Afhankelijke Truncatie: Het artikel biedt de eerste KS-type goedheid-van-passing test die specifiek is ontworpen voor afhankelijke dubbel getrunceerde data, waarmee het de aanname van onafhankelijkheid overstijgt die prevalent is in de voorafgaande literatuur.
Algoritmische Implementatie: Het biedt een computationeel uitvoerbaar algoritme om de teststatistiek te berekenen door een eindige verzameling punten te identificeren waar de supremum optreedt, waarbij eerdere univariate en onafhankelijke bivariate methoden zijn aangepast aan het parallellogramvormige steunveld van dubbele truncatie.
Asymptotische Afleiding: De auteurs leiden rigoureus de limietdistributie af van de samengestelde teststatistiek (waarbij parameters worden geschat), waarbij zij aantonen dat deze convergeert naar een specifiek Gaussisch proces en voorzien in de noodzakelijke covariantiestructuur voor inferentie.
Toepassing op Werkelijke Data: De methodologie wordt toegepast op een grote dataset van 55.279 Duitse levensduur van ondernemingen (opgericht 1990–2013, gesloten 2014–2016).

Resultaten

Simulatie en Toepassing: De auteurs pasten de test toe op Duitse ondernemingsdata om te controleren of de levensduur een exponentiële distributie volgt.
- Onder de aanname van onafhankelijkheid (Product Copula) was de teststatistiek 1,651, en onder afhankelijkheid (FGM Copula) was deze 1,6917.
- De gesimuleerde kritieke waarden op het 99%-niveau waren ongeveer 0,3558 (onafhankelijkheid) en 0,2914 (afhankelijkheid).
Verwerping van Hypothese: In beide gevallen overschreed de teststatistiek de kritieke waarden aanzienlijk, wat leidde tot een duidelijke verwerping van de exponentiële distributiehypothese.
Interpretatie: De auteurs merken op dat hoewel de verwerping theoretisch voort zou kunnen komen uit de aanname van een uniforme verdeling voor de oprichtingsdata (geboortes), de voorafgaande literatuur suggereert dat een homogeen Poisson-proces voor oprichtingen een uniforme $T$ oplevert. Daarom is de verwerping waarschijnlijk gedreven door de ongepastheid van de exponentiële distributie voor de levensduur van ondernemingen, met name gezien de geobserveerde negatieve tijdtrend in de levensverwachting (positieve afhankelijkheid tussen de leeftijd bij aanvang van de studie en de levensduur).

Betekenis en Claims
Het artikel claimt dat de primaire bijdrage het mogelijk maken is van een rigoureuze goedheid-van-passing test voor parametrische families in de aanwezigheid van afhankelijke dubbele truncatie, een scenario dat veel voorkomt in de demografie en economie maar voorheen moeilijk niet-parametrisch te testen was.

Theoretische Bescheidenheid: De auteurs merken op dat de theoretische vereisten minimaal zijn; zij voegen hoofdzakelijk de eindigheid van de invloedfunctie $\phi_{\theta_0}$ (Aanname A5) toe aan de standaard parametrische analyse-aannames.
Praktisch Nut: De toepassing laat zien dat het negeren van afhankelijkheid (zoals gedaan in eerdere studies van deze dataset) tot misleidende conclusies kan leiden. De test slaagt erin te detecteren dat de "leeftijd-homogene sluitingshazard" (exponentiële distributie) wordt verworpen wanneer afhankelijkheid correct wordt gemodelleerd.
Beperkingen: De auteurs erkennen dat voor kleine steekproeven de kracht en het werkelijke niveau van de test een verdere simulatiestudie vereisen. Zij merken ook op dat de huidige computationele methode (Cholesky-decompositie) een kubische complexiteit heeft, hoewel snellere alternatieven bestaan. Het artikel claimt niet alle problemen met truncatie op te lossen (bijv. censurering is niet volledig geïntegreerd), maar richt zich op de specifieke kloof van afhankelijke dubbele truncatie.