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A Kolmogorov-Smirnov-Type Test for Dependently Double-Truncated Data

Este artículo propone una prueba de tipo Kolmogorov-Smirnov para familias de distribuciones paramétricas de datos de vida con doble truncamiento, utilizando modelos de cópula para dar cuenta de la dependencia y demostrando su efectividad mediante simulaciones y una aplicación a la vida de las empresas alemanas que rechaza la hipótesis de un riesgo de cierre homogéneo por edad.

Autores originales: Anne-Marie Toparkus, Rafael Weissbach

Publicado 2026-07-22

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CC BY 4.0

Autores originales: Anne-Marie Toparkus, Rafael Weissbach

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

El misterio del tiempo perdido

Imagine que es un detective tratando de averiguar cuánto suele durar un tipo específico de objeto. Tal vez sea una bombilla, un teléfono inteligente o incluso una empresa. En el mundo de la estadística, esto se llama estudiar las "vidas útiles" (o esperanzas de vida). Pero hay un inconveniente: no puede simplemente esperar a que cada objeto muera para ver cuánto vivió. Tiene que observar una instantánea en el tiempo.

Aquí es donde entra la "truncación". Piense en ello como una cámara que solo toma fotos de personas que ya están paradas en una habitación específica. Si solo fotografía a las personas que están actualmente en una sala de espera, se pierde a todos los que aún no han llegado (truncación a la izquierda) y a todos los que ya se han ido (truncación a la derecha). En la vida real, esto sucede todo el tiempo. Por ejemplo, si estudia las empresas que cerraron en 2014, solo verá las que ya eran lo suficientemente viejas como para estar presentes en 2014. Se pierde las que comenzaron en 2015 y las que cerraron en 2010.

Normalmente, los estadísticos asumen que cuándo algo comenzó no tiene nada que ver con cuánto tiempo durará. Asumen que una empresa fundada en 1990 tiene las mismas probabilidades de cerrar rápidamente que una fundada en 2010. Pero en el mundo real, las cosas rara vez son tan sencillas. La esperanza de vida cambia con el tiempo, y la edad en la que se comienza algo puede influir en cuánto tiempo sobrevive. Este artículo aborda el complicado problema de probar si una vida útil sigue un patrón predecible cuando el tiempo de inicio y el tiempo de finalización están secretamente conectados, como dos bailarines que siempre se mueven en sincronía.

La danza de los datos con doble truncación

Anne-Marie Toparkus y Rafael Weißbach, estadísticos de la Universidad de Rostock, decidieron construir una nueva herramienta para resolver este misterio de la pista de baile. Crearon una "Prueba de tipo Kolmogorov-Smirnov", que es una forma elegante de decir que construyeron una regla súper sensible para medir qué tan bien se ajusta una suposición teórica a la realidad desordenada de los datos.

Su tarea principal era probar una suposición específica: ¿las vidas útiles de las empresas siguen una "distribución exponencial"? En lenguaje sencillo, una distribución exponencial sugiere que el riesgo de que algo cierre es constante. Es como un átomo radiactivo: no importa qué tan viejo sea, la probabilidad de que se desintegre en el siguiente segundo siempre es la misma. Si esto fuera cierto para las empresas, significaría que una empresa de 20 años tiene las mismas probabilidades de quebrar mañana que una de 1 año.

Sin embargo, los autores sospechaban que esta no era toda la historia. Sabían que la "edad de truncación" (cuando comienza el estudio) y la "vida útil" (cuánto dura la empresa) a menudo dependen entre sí. Para modelar esta conexión, utilizaron una herramienta matemática llamada "cópula", específicamente la cópula Farlie-Gumbel-Morgenstern (FGM). Puede pensar en una cópula como un pegamento que une dos curvas de probabilidad separadas, permitiéndoles oscilar en sincronía. La cópula FGM es especial porque puede unirlas ya sea que se muevan en la misma dirección o en direcciones opuestas.

El experimento empresarial alemán

Para poner a prueba su nueva regla, los autores analizaron un conjunto masivo de datos: 55.279 empresas alemanas. Estas fueron empresas fundadas entre 1990 y 2013, y el estudio observó cuáles cerraron sus puertas entre 2014 y 2016. Debido a que los datos solo incluían empresas que estaban vivas en 2014 pero cerraron para 2016, los datos estaban "doblemente truncados": recortados tanto al principio como al final.

Los investigadores realizaron su prueba dos veces. Primero, asumieron que la fecha de inicio y la vida útil eran totalmente independientes (la versión "fácil"). Luego, realizaron la prueba nuevamente utilizando su cópula FGM para tener en cuenta el hecho de que las empresas más antiguas podrían comportarse de manera diferente a las más nuevas.

El veredicto: El reloj no es constante

Los resultados fueron claros y decisivos. Cuando los autores compararon sus datos contra la "distribución exponencial" (la idea de que el riesgo de cierre es constante en el tiempo), el estadístico de la prueba fue enorme. De hecho, fue tan grande que superó con creces los valores críticos calculados mediante simulaciones.

El artículo rechaza explícitamente la hipótesis de que las vidas útiles de las empresas alemanas siguen una distribución exponencial con una tasa de riesgo constante. En otras palabras, los datos demuestran que el riesgo de que una empresa cierre no es el mismo a cualquier edad. El "riesgo de cierre homogéneo por edad" (la idea de que la edad no importa) era claramente erróneo.

Los autores también encontraron que la dependencia entre la fecha de inicio y la vida útil era real. Calcularon un "tau de Kendall" de aproximadamente 0.023, lo cual suena pequeño, pero el artículo confirma que es estadísticamente significativo. Esta dependencia positiva sugiere una tendencia temporal negativa para la esperanza de vida: a medida que pasaba el tiempo, la esperanza de vida esperada de estas empresas en realidad disminuyó.

Cómo lo hicieron (La magia detrás de la cortina)

Usted podría preguntarse cómo calcularon esto con tal precisión. Los autores no solo adivinaron; construyeron un motor matemático riguroso. Utilizaron un método llamado "método delta funcional" y "argumentos de clase de Donsker". Si eso suena a jerga, piense en ello como una forma de manejar el hecho de que sus datos no eran una línea perfecta y suave, sino un caos irregular y accidentado de 55.000 puntos individuales.

Desarrollaron un algoritmo (Algoritmo 1) que podía procesar los números verificando "puntos de intersección" específicos y "proyecciones" en un gráfico. En lugar de verificar cada posible punto en el tiempo (lo que tomaría una eternidad), su ingeniosa matemática demostró que solo necesitaban verificar un número finito de puntos para encontrar la mayor diferencia entre su suposición y la realidad.

Para determinar si sus resultados eran realmente significativos o solo una casualidad, tuvieron que simular el "valor crítico". Dado que no existía una fórmula simple para estos datos complejos y dependientes, ejecutaron una simulación por computadora 1.000 veces, generando "puentes de Brownian" (un tipo de camino aleatorio) aleatorios para ver cómo debería verse el estadístico de la prueba si la suposición exponencial fuera cierta. Los datos reales estaban tan lejos de este rango simulado que el rechazo era innegable.

La conclusión

Este artículo no solo dice "encontramos un patrón". Dice: "Hemos demostrado matemáticamente que la idea simple de un riesgo constante de fracaso empresarial es errónea para las empresas alemanas". Los autores sugieren que la razón de este rechazo es probablemente la naturaleza cambiante del entorno empresarial a lo largo del tiempo, más que la distribución aleatoria de cuándo comenzaron las empresas.

Aunque el artículo se centra en las empresas alemanas, la herramienta que construyeron es una nueva y poderosa forma para que los estadísticos prueben teorías sobre cualquier tipo de datos de vida útil donde el inicio y el fin estén vinculados. Es un recordatorio de que, en el mundo de los datos, las cosas rara vez son independientes y, a veces, la mejor manera de entender el futuro es admitir que el pasado y el presente están bailando juntos.

Resumen Técnico: Una prueba de tipo Kolmogorov-Smirnov para datos con doble truncamiento dependiente

Planteamiento del problema
El artículo aborda el desafío de probar la bondad de ajuste de una familia de distribuciones paramétricas de vidas ( $X$ ) cuando los datos están sujetos a un doble truncamiento (tanto a la izquierda como a la derecha) y donde el mecanismo de truncamiento es dependiente de la vida misma. En el análisis de supervivencia estándar, se suele asumir la independencia entre la variable de interés y el tiempo de truncamiento. Sin embargo, en contextos demográficos y económicos (como la vida de las empresas), la esperanza de vida suele exhibir un comportamiento no estacionario, lo que crea una dependencia entre la vida y la edad a la que la unidad entra en el estudio (edad de truncamiento, $T$ ). La literatura existente cubre principalmente contribuciones no paramétricas para el truncamiento independiente o modelos paramétricos específicos, pero faltaba una prueba no paramétrica rigurosa para la distribución de $X$ bajo un doble truncamiento dependiente.

Metodología
Los autores proponen una estadística de prueba de tipo Kolmogorov-Smirnov (KS) adaptada para el escenario bivariante de truncamiento doble dependiente.

Marco del modelo:
- La población consiste en unidades nacidas dentro de una ventana de tiempo de longitud $G$ .
- La vida $X$ y la edad de truncamiento $T$ se modelan con una distribución conjunta $F_\theta(x, t) = C_\vartheta(F^X_\theta(x), F_T(t))$ , donde $C_\vartheta$ es una cópula (específicamente la cópula Farlie-Gumbel-Morgenstern (FGM) en el ejemplo principal) que captura la estructura de dependencia mediante el parámetro $\vartheta$ .
- Las observaciones están restringidas a un paralelogramo $D = \{(x, t) : 0 < t \le x \le t+s, t \le G\}$ , que representa el periodo de estudio $s$ tras el periodo de nacimiento.
Construcción de la estadística de la prueba:
- La prueba compara la distribución empírica de la muestra truncada observada contra la distribución condicional teórica $F^{obs}_\theta$ .
- La estadística se define como:
  $\sqrt{M_n} \frac{1}{\sqrt{\hat{\alpha}_{\hat{\theta}_n}}} \sup_{(x,t) \in S} \left| \hat{P}_{n,D}([0, x] \times [0, t]) - \hat{\alpha}_{\hat{\theta}_n} F^{obs}_{\hat{\theta}_n}(x, t) \right|$
  donde $M_n$ es el número aleatorio de unidades observadas, $\hat{\theta}_n$ es un estimador consistente para los parámetros (incluyendo el parámetro de dependencia) y $\hat{\alpha}$ es la probabilidad de observación estimada.
- Computación: Los autores derivan un algoritmo (Algoritmo 1) que reduce el cálculo del supremo a un número finito de operaciones. La desviación máxima se evalúa en los puntos observados, los puntos de intersección de los límites empírico y teórico, las proyecciones sobre los bordes del soporte $D$ y esquinas específicas.
Teoría asintótica:
- El artículo utiliza argumentos de clases de Donsker y el método delta funcional para derivar la distribución asintótica de la estadística de la prueba bajo la hipótesis nula ( $H_0$ ).
- El proceso límite se muestra como un proceso gaussiano $H_{P_{\theta_0}}$ , que es una modificación de un puente de Brownian. Este proceso tiene en cuenta la estimación de los parámetros de la distribución ( $\theta$ ) y la probabilidad de observación (que maneja efectivamente el tamaño de muestra aleatorio $M_n$ ).
- La función de covarianza de este proceso límite se deriva explícitamente, permitiendo la simulación de valores críticos.
Determinación de los valores críticos:
- Dado que la distribución asintótica depende de los parámetros desconocidos, los valores críticos se calculan mediante simulación (Algoritmo 2). Esto implica generar vectores gaussianos basados en la matriz de covarianza derivada sobre una rejilla del soporte $D$ .

Contribuciones clave

Prueba de truncamiento dependiente: El artículo proporciona la primera prueba de bondad de ajuste de tipo KS diseñada específicamente para datos de doble truncamiento dependiente, yendo más allá de la suposición de independencia prevalente en la literatura previa.
Implementación algorítmica: Ofrece un algoritmo computacionalmente factible para calcular la estadística de la prueba identificando un conjunto finito de puntos donde ocurre el supremo, adaptando métodos previos univariantes y bivariantes independientes al soporte de paralelogramo del doble truncamiento.
Derivación asintótica: Los autores derivan rigurosamente la distribución límite de la estadística compuesta (donde se estiman los parámetros), estableciendo su convergencia a un proceso gaussiano específico y proporcionando la estructura de covarianza necesaria para la inferencia.
Aplicación a datos reales: La metodología se aplica a un gran conjunto de datos de 55,279 vidas de empresas alemanas (fundadas entre 1990–2013, cerradas entre 2014–2016).

Resultados

Simulación y aplicación: Los autores aplicaron la prueba a los datos de empresas alemanas para verificar si las vidas siguen una distribución exponencial.
- Bajo la suposición de independencia (Cópula de Producto), la estadística de la prueba fue 1.651, y bajo dependencia (Cópula FGM), fue 1.6917.
- Los valores críticos simulados al nivel del 99% fueron aproximadamente 0.3558 (independencia) y 0.2914 (dependencia).
Rechazo de la hipótesis: En ambos casos, la estadística de la prueba excedió significativamente los valores críticos, lo que llevó a un claro rechazo de la hipótesis de la distribución exponencial.
Interpretación: Los autores señalan que, aunque el rechazo podría derivarse teóricamente de la suposición de una distribución uniforme para las fechas de fundación, la literatura previa sugiere que un proceso de Poisson homogéneo para las fundaciones produce una $T$ uniforme. Por lo tanto, el rechazo es probablemente impulsado por la inapropiación de la distribución exponencial para las vidas de las empresas, particularmente dado la tendencia negativa observada en la tendencia temporal de la esperanza de vida (dependencia positiva entre la edad al inicio del estudio y la vida).

Significancia y alegatos
El artículo sostiene que su principal contribución es permitir una prueba rigurosa de bondad de ajuste para familias paramétricas en presencia de doble truncamiento dependiente, un escenario común en demografía y economía que anteriormente era difícil de probar de forma no paramétrica.

Modestia teórica: Los autores señalan que los requisitos teóricos son mínimos, añadiendo principalmente la finitud de la función de influencia $\phi_{\theta_0}$ (Suposición A5) a los supuestos estándar de análisis paramétrico.
Utilidad práctica: La aplicación demuestra que ignorar la dependencia (como se hizo en estudios previos de este conjunto de datos) puede conducir a conclusiones erróneas. La prueba detecta con éxito que el "riesgo de cierre homogéneo en el tiempo" (distribución exponencial) es rechazado cuando la dependencia se modela adecuadamente.
Limitaciones: Los autores reconocen que para muestras pequeñas, el poder y el nivel real de la prueba requerirían un estudio de simulación adicional. También señalan que el método computacional actual (descomposición de Cholesky) tiene una complejidad cúbica, aunque existen alternativas más rápidas. El artículo no pretende resolver todos los problemas de truncamiento (por ejemplo, el censado no está totalmente integrado), sino que se centra en el vacío específico del doble truncamiento dependiente.