A Kolmogorov-Smirnov-Type Test for Dependently Double-Truncated Data

Das Rätsel der verschwundenen Zeit

Stellen Sie sich vor, Sie sind ein Detektiv, der herauszufinden versucht, wie lange ein bestimmter Gegenstand normalerweise hält. Vielleicht ist es eine Glühbirne, ein Smartphone oder sogar ein Unternehmen. In der Welt der Statistik nennt man das die Untersuchung von „Lebensdauern“. Aber es gibt einen Haken: Man kann nicht einfach warten, bis jeder einzelne Gegenstand stirbt, um zu sehen, wie lange er gelebt hat. Man muss eine Momentaufnahme der Zeit betrachten.

Hier kommt die „Trunkierung“ (Abschneidung) ins Spiel. Denken Sie an eine Kamera, die nur Fotos von Menschen macht, die bereits in einem bestimmten Raum stehen. Wenn Sie nur Menschen fotografieren, die sich gerade in einem Wartezimmer befinden, verpassen Sie alle, die noch nicht angekommen sind (Links-Trunkierung/Left Truncation) und alle, die bereits gegangen sind (Rechts-Trunkierung/Right Truncation). Im wirklichen Leben passiert das ständig. Wenn Sie beispielsweise Unternehmen untersuchen, die im Jahr 2014 geschlossen wurden, sehen Sie nur diejenigen, die bereits alt genug waren, um im Jahr 2014 noch zu existieren. Sie verpassen diejenigen, die erst 2015 gegründet wurden, und diejenigen, die bereits 2010 geschlossen haben.

Normalerweise gehen Statistiker davon aus, dass der Zeitpunkt, wann etwas begann, nichts damit zu tun hat, wie lange es halten wird. Sie nehmen an, dass ein 1990 gegründetes Unternehmen genauso wahrscheinlich schnell schließen wird wie ein im Jahr 2010 gegründetes. Aber in der realen Welt ist es selten so einfach. Die Lebenserwartung ändert sich im Laufe der Zeit, und das Alter, in dem man etwas beginnt, kann tatsächlich beeinflussen, wie lange es überlebt. Diese Arbeit befasst sich mit dem kniffligen Problem, zu testen, ob eine Lebensdauer einem vorhersagbaren Muster folgt, wenn der Startzeitpunkt und der Endzeitpunkt geheim miteinander verbunden sind – wie zwei Tänzer, die immer synchron sich bewegen.

Der Tanz der doppelt trunkierten Daten

Anne-Marie Toparkus und Rafael Weißbach, Statistiker an der Universität Rostock, beschlossen, ein neues Werkzeug zu entwickeln, um dieses Tanzflächen-Rätsel zu lösen. Sie erschufen einen „Kolmogorow-Smirnow-Typ-Test“, was eine schicke Art zu sagen ist, dass sie ein supersensibles Lineal gebaut haben, um zu messen, wie gut eine theoretische Vermutung zur unordentlichen Realität der Daten passt.

Ihre Hauptaufgabe war es, eine spezifische Vermutung zu testen: Folgen die Lebensdauern von Unternehmen einer „Exponentialverteilung“? Auf einfachem Deutsch ausgedrückt: Eine Exponentialverteilung legt nahe, dass das Risiko, dass etwas untergeht, konstant ist. Es ist wie bei einem radioaktiven Atom: Es spielt keine Rolle, wie alt es ist; die Chance, dass es im nächsten Moment zerfällt, bleibt immer gleich. Wäre dies für Unternehmen wahr, würde dies bedeuten, dass ein 20 Jahre altes Unternehmen genauso wahrscheinlich morgen pleitegeht wie ein einjähriges Unternehmen.

Die Autoren vermuteten jedoch, dass dies nicht die ganze Geschichte ist. Sie wussten, dass in der realen Welt das „Alter bei der Trunkierung“ (wann die Studie beginnt) und die „Lebensdauer“ (wie lange das Unternehmen besteht) oft voneinander abhängig sind. Um diese Verbindung zu modellieren, verwendeten sie ein mathematisches Werkzeug namens „Copula“, speziell die Farlie-Gumbel-Morgenstern (FGM) Copula. Man kann sich eine Copula wie einen Kleber vorstellen, der zwei separate Wahrscheinlichkeitskurven zusammenklebt und es ihnen ermöglicht, synchron zu wackeln. Die FGM-Copula ist besonders, weil sie sie zusammenkleben kann, egal ob sie sich in die gleiche oder in die entgegengeste Richtung bewegen.

Das deutsche Unternehmensexperiment

Um ihr neues Lineal auf die Probe zu stellen, betrachteten die Autoren einen massiven Datensatz: 55.279 deutsche Unternehmen. Dies waren Unternehmen, die zwischen 1990 und 2013 gegründet wurden, und die Studie untersuchte, welche davon zwischen 2014 und 2016 ihre Türen schlossen. Da die Daten nur Unternehmen enthielten, die im Jahr 2014 noch existierten, aber bis 2016 geschlossen hatten, waren die Daten „doppelt trunkiert“ – sowohl am Anfang als auch am Ende abgeschnitten.

Die Forscher führten ihren Test zweimal durch. Zuerst nahmen sie an, dass das Startdatum und die Lebensdauer völlig unabhängig sind (die „einfache Version“). Dann führten sie den Test erneut unter Verwendung ihrer FGM-Copula durch, um der Tatsache Rechnung zu tragen, dass ältere Unternehmen sich möglicherweise anders verhalten als neuere.

Das Urteil: Die Uhr ist nicht konstant

Die Ergebnisse waren klar und eindeutig. Als die Autoren ihre Daten gegen die „Exponentialverteilung“ (die Idee, dass das Risiko des Schließens über die Zeit konstant ist) prüften, war die Teststatistik riesig. Tatsächlich war sie so groß, dass sie die durch Simulationen berechneten kritischen Werte weit überstieg.

Die Arbeit weist die Hypothese explizit ab, dass die Lebensdauern deutscher Unternehmen einer Exponentialverteilung mit einer konstanten Hazard-Rate folgen. Mit anderen Worten: Die Daten beweisen, dass das Risiko eines Unternehmensexitus nicht in jedem Alter gleich ist. Die „altershomogene Schließungsrate“ (die Idee, dass das Alter keine Rolle spielt) war offensichtlich falsch.

Die Autoren fanden auch heraus, dass die Abhängigkeit zwischen dem Startdatum und der Lebensdauer real war. Sie berechneten ein „Kendalls Tau“ von etwa 0,023, was zwar klein klingt, aber das Paper bestätigt, dass es statistisch signifikant ist. Diese positive Abhängigkeit deutet auf einen negativen Zeittrend der Lebenserwartung hin: Im Laufe der Zeit sank die erwartete Lebensdauer dieser Unternehmen tatsächlich.

Wie sie es machten (Die Magie hinter dem Vorhang)

Man könnte sich fragen, wie sie dies mit einer solchen Präzision berechnet haben. Die Autoren haben nicht einfach geraten; sie bauten einen rigorosen mathematischen Motor. Sie verwendeten eine Methode namens „funktionale Delta-Methode“ und „Donsker-Klassen-Argumente“. Wenn das nach Kauderwelsch klingt, denken Sie daran, dass dies eine Art ist, mit der Tatsache umzugehen, dass ihre Daten keine perfekte, glatte Linie waren, sondern ein zackiges, unebenes Chaos aus 55.000 einzelnen Punkten.

Sie entwickelten einen Algorithmus (Algorithmus 1), der in der Lage war, die Zahlen zu verarbeiten, indem er spezifische „Schnittpunkte“ und „Projektionen“ auf einem Graphen überprüfte. Anstatt jeden möglichen Zeitpunkt in der Zeit zu prüfen (was ewig dauern würde), zeigte ihre kluge Mathematik, dass sie nur eine endliche Anzahl von Stellen prüfen mussten, um den größten Unterschied zwischen ihrer Vermutung und der Realität zu finden.

Um herauszufinden, ob ihre Ergebnisse tatsächlich signifikant oder nur ein Zufall waren, mussten sie den „kritischen Wert“ simulieren. Da es keine einfache Formel für diese komplexen, abhängigen Daten gab, ließen sie 1.000 Computersimulationen laufen und generierten dabei zufällige „Brownsche Brücken“ (eine Art Random Walk), um zu sehen, wie die Teststatistik aussehen sollte, wenn die Exponential-Vermutung wahr wäre. Die realen Daten lagen so weit außerhalb dieses simulierten Bereichs, dass die Ablehnung unbestreitbar war.

Das Fazit

Dieses Paper sagt nicht nur: „Wir haben ein Muster gefunden.“ Es sagt: „Wir haben mathematisch bewiesen, dass die einfache Idee eines konstanten Risikos des Scheiterns von Unternehmen für deutsche Betriebe falsch ist.“ Die Autoren legen nahe, dass der Grund für diese Ablehnung wahrscheinlich in der sich ändernden Natur des Geschäftsumfelds über die Zeit liegt und weniger in der zufälligen Verteilung der Unternehmensgründungen.

Obwohl sich das Paper auf deutsche Unternehmen konzentriert, ist das von ihnen entwickelte Werkzeug ein leistungsstarkes neues Instrument für Statistiker, um Theorien über jede Art von Lebensdauerdaten zu testen, bei denen Start- und Endzeiten miteinander verknüpft sind. Es ist eine Erinnerung daran, dass in der Welt der Daten Dinge selten unabhängig sind, und dass manchmal der beste Weg, die Zukunft zu verstehen, darin besteht, zuzugeben, dass Vergangenheit und Gegenwart gemeinsam tanzen.