The Mellin's transforms of $\dfrac{1}{\operatorname{arctanh} x}$ and $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}\,\operatorname{arctanh} x}$

तकनीकी सारांश: $1/\text{arctanh } x$ और $1/(\sqrt{1-x^2}\text{arctanh } x)$ के मेलिन रूपांतरण (Mellin Transforms)

समस्या विवरण
यह कार्य $(0, 1)$ अंतराल पर सघन रूप से समर्थित (compactly supported) माने जाने वाले दो विशिष्ट फलनों के मेलिन रूपांतरों की जांच करता है:
$$\Phi_1(s) = \int_0^1 \frac{x^{s-1}}{\text{arctanh } x} \, dx \quad \text{और} \quad \Phi_2(s) = \int_0^1 \frac{x^{s-1}}{\sqrt{1-x^2}\text{arctanh } x} \, dx$$
ये रूपांतर $\frac{\zeta(2n+1)}{\pi^{2n+1}}$ और $\frac{\beta(2n)}{\pi^{2n}}$ की अंकगणितीय प्रकृति से आंतरिक रूप से जुड़े हुए हैं। पूर्व शोध (उद्धृत [2], [3]) ने सम बहुपदों (even polynomials) को शामिल करते हुए इन अनुपातों के लिए समाकल निरूपण (integral representations) स्थापित किए थे। हालाँकि, एक अंतराल शेष था जो विषम पूर्णांकों (odd integers) पर इन रूपांतरों के मूल्यांकन से संबंधित था (जो इंटीग्रैंड में $x$ की सम घातों के अनुरूप है)। जबकि सम पूर्णांकों पर मानों का पूर्व में अध्ययन किया गया था, विषम पूर्णांक मामले उन अपूर्ण समाकलों (improper integrals) की ओर ले जाते हैं जिन्हें मानक समता तर्क (parity arguments) का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है (क्योंकि इंटीग्रैंड विषम फलन हैं), जिसके लिए एक नए विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण की आवश्यकता है।

कार्यप्रणाली
यह शोध संयोजन संबंधी विश्लेषण (combinatorial analysis), श्रेणी विस्तार (series expansion), और जटिल विश्लेषण तकनीकों, विशेष रूप से कॉंटूर इंटीग्रेशन (contour integration) का उपयोग करता है।

1. संयोजन और श्रेणी दृष्टिकोण (अनुभाग 1 और 6):

   • लेखक हाइपरबोलिक फलनों के मूलों से संबंधित विशिष्ट बहुपदों $P_n(x)$ और $Q_n(x)$ को टेलर विस्तार के गुणांक प्राप्त करने के लिए परिभाषित करते हैं।
   • $x = \tanh u$ प्रतिस्थापित करके, मूल समाकलों को $\tanh$, $\cosh$, और $\ln u$ वाले $(0, \infty)$ पर समाकलों में परिवर्तित किया जाता है।
   • द्विपद विस्तार (binomial expansions) और ज्यामितीय श्रेणियों का उपयोग डायरिचलेट एटा फलन ($\eta'$) और डायरिचलेट बीटा फलन ($\beta'$) के डेरिवेटिव वाले योगों को व्यक्त करने के लिए किया जाता है।
   • अनुभाग 6 में $\Phi_1(s)$ और $\Phi_2(s)$ को $\sqrt{1-x^2}$ और $1/\sqrt{1-x^2}$ के द्विपद विस्तारों के माध्यम से युग्मित प्रणालियों के रूप में स्थापित किया गया है, जिससे बीटा मानों के योग को ज़ेटा मानों की श्रेणियों और इसके विपरीत व्यक्त करने की अनुमति मिलती है।

2. कॉंन्टूर इंटीग्रेशन (अनुभाग 2 और 3):

   • विषम पूर्णांकों पर इन समाकलों का कठोरता से मूल्यांकन करने के लिए (जो $\int_0^\infty \frac{\sinh^{2q+1} z \ln z}{\cosh^n z} dz$ के रूप में समाकलों के अनुरूप हैं), लेखक कॉम्प्लेक्स प्लेन में एक आयताकार कॉंन्टूर (rectangular contour) का उपयोग करते हैं।
   • पिछले कार्यों के विपरीत, जिन्होंने सम फलनों को $(-\infty, \infty)$ तक विस्तारित करके संभाला था, यह कार्य इंटीग्रैंड की विषम प्रकृति को संबोधित करता है। विधि में $[-R, R] \times [0, i\pi]$ के चारों ओर $z^2 f_{q,n}(z)$ को एकीकृत करना और कॉशी के अवशेष प्रमेय (Cauchy's Residue Theorem) लागू करना शामिल है।
   • इंटीग्रैंड के ध्रुवों (poles) की पहचान की जाती है, और अवशेषों (residues) की गणना कॉशी के अवशेष सूत्र और $\ln^2 z$ के डेरिवेटिव का उपयोग करके की जाती है।
   • यह तकनीक $\zeta'$ और $\beta'$ के मानों के साथ-साथ लॉगरिदमिक पदों ($\ln \pi, \ln 2$) सहित क्लोज्ड-फॉर्म अभिव्यक्तियों को उत्पन्न करती है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

• स्पष्ट क्लोज्ड-फॉर्म अभिव्यक्तियाँ: यह शोध $\Phi_1(2n+1)$ और $\Phi_2(2n+1)$ के लिए स्पष्ट सूत्र व्युत्पन्न करता है। इन्हें ऋणात्मक पूर्णांकों पर एटा और बीटा फलनों के डेरिवेटिव (जैसे, $\eta'(-2i-1)$ और $\beta'(-2i)$) के परिमित रैखिक संयोजनों के रूप में व्यक्त किया गया है।
  • उदाहरण: $\int_0^1 \frac{x^2}{\text{arctanh } x} dx = \frac{4}{3}\eta'(-1) + \frac{8}{3}\eta'(-3)$।
• अपूर्ण समाकलों का मूल्यांकन: यह कार्य $\int_0^\infty \frac{\sinh^{2q+1} z \ln z}{\cosh^n z} dz$ और $\int_0^\infty \frac{\sinh^{2q} z}{z \cosh^n z} dz$ जैसे समाकलों के मूल्यांकन के लिए एक व्यवस्थित विधि प्रदान करता है। ये परिणाम $\zeta'$, $\beta'$ मानों, बर्नौली संख्याओं और यूलर संख्याओं के संदर्भ में प्रस्तुत किए गए हैं।
• शून्य संयोजन पहचान (Vanishing Combinatorial Identities): अनुभाग 4 उन फलनों के विशिष्ट वर्गों की पहचान करता है जिनके संयोजन गुणांक कुछ पूर्णांक तर्कों के लिए शून्य हो जाते हैं, जो अवशेष गणनाओं को सरल बनाने के लिए महत्वपूर्ण हैं।
• एसिम्प्टोटिक विश्लेषण (Asymptotic Analysis): यह शोध $s \to 1^+$ के रूप में $\Phi_1(s)$ और $\Phi_2(s)$ के लिए सीमाएँ और एसिम्प्टोटिक विस्तार स्थापित करता है, जिसमें स्थिरांक $C_1$ और $C_2$ को $\zeta'(2)$, $\beta'(1)$ और लॉगरिदमिक पदों के रूप में व्यक्त किया गया है।
• अपरिमेयता अनुमानों का पुनर्गठन: अनुभाग 6.3 में, लेखक $\frac{\zeta(2n+1)}{\pi^{2n+1}}$ और $\frac{\beta(2n)}{\pi^{2n}}$ के अपरिमेयता से संबंधित अनुमानों को पुनर्गठित करते हैं। यह दिखाया गया है कि इन अनुपातों की अपरिमेयता तब सिद्ध होती है जब $1/\text{arctanh } x$ और $1/(\sqrt{1-x^2}\text{arctanh } x)$ के टेलर विस्तार के गुणांकों से जुड़ी विशिष्ट अनंत श्रेणियाँ इस तरह से परिमेय संख्याओं का विस्तार नहीं करती हैं कि $\pi$ को निरूपित किया जा सके।

महत्व और दावे

शोध तीन प्राथमिक योगदानों का दावा करता है:

1. अंकगणितीय अंतर्दृष्टि: यह $\zeta(2n+1)/\pi^{2n+1}$ और $\beta(2n)/\pi^{2n}$ की अंकगणितीय प्रकृति से गहराई से जुड़े मेलिन रूपांतरों का अध्ययन करता है, जो समता बाधाओं के कारण पहले अनसुलझे रहे विषम पूर्णांक तर्कों तक पिछले परिणामों का विस्तार करता है।
2. समाकलों पर नए दृष्टिकोण: यह उन समाकलों पर नए दृष्टिकोण प्रदान करता है जिन्हें ब्लैगुचिन (Blaguschine), एडमचिक (Adamchik) और अन्य के कार्यों में अनदेखा किया जा सकता था, विशेष रूप से वे जिनमें हाइपरबोलिक साइन की विषम घातों को लॉगरिदमिक पदों के साथ जोड़ा गया है।
3. विश्लेषणात्मक उपकरण: यह जटिल विश्लेषण तकनीकों (विशेष रूप से विषम इंटीग्रैंड के लिए कॉंन्टूर इंटीग्रेशन विधि) को विकसित करता है जो गैर-तुच्छ (non-trivial) पहचान प्रदान करते हैं जो संयोजन विज्ञान (combinatorics) और हाइपरबोलिक समाकल के मूल्यांकन में उपयोगी हैं।

लेखक नोट करते हैं कि जबकि सम पूर्णांकों पर परिणाम ज्ञात थे, विषम पूर्णांकों पर व्युत्पत्ति के लिए एक अलग विधि की आवश्यकता थी क्योंकि यदि इसे सरलता से लागू किया जाए तो समता तर्क (parity arguments) शून्य परिणाम देते हैं। एल-फंक्शन्स (L-functions) के डेरिवेटिव वाले व्युत्पन्न क्लोज्ड-फॉर्म अभिव्यक्तियाँ संबंधित हाइपरबोलिक समाकलों और उपरोक्त अनुपातों के अंकगणितीय गुणों के अध्ययन के लिए नए विश्लेषणात्मक उपकरण प्रदान करती हैं।