The Mellin's transforms of $\dfrac{1}{\operatorname{arctanh} x}$ and $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}\,\operatorname{arctanh} x}$

기술 요약: $1/\text{arctanh } x$ 및 $1/(\sqrt{1-x^2}\text{arctanh } x)$의 멜린 변환

문제 정의
본 연구는 $(0, 1)$ 구간에서 유한한 지지(compactly supported)를 갖는 것으로 간주되는 두 특정 함수에 대한 멜린 변환을 조사한다:
$$\Phi_1(s) = \int_0^1 \frac{x^{s-1}}{\text{arctanh } x} \, dx \quad \text{및} \quad \Phi_2(s) = \int_0^1 \frac{x^{s-1}}{\sqrt{1-x^2}\text{arctanh } x} \, dx$$
이 변환들은 $\frac{\zeta(2n+1)}{\pi^{2n+1}}$ 및 $\frac{\beta(2n)}{\pi^{2n}}$의 산술적 성질과 본질적으로 연결되어 있다. 기존 연구([2], [3]으로 인용됨)는 짝수 다항식을 포함하는 이 비율들에 대한 적분 표현을 확립하였다. 그러나 홀수 정수(피적분 함수의 $x$의 짝수 차수에 대응)에서의 이 변환들을 평가하는 데 있어 공백이 존재했다. 짝수 정수에서의 값은 이전에 연구되었으나, 홀수 정수의 경우는 피적분 함수가 기함수(odd function)이기 때문에 표준적인 기함수/우함수 성질(parity arguments)로는 해결할 수 없는 이상 적분(improper integrals)을 초래하므로 새로운 분석적 접근법이 필요하다.

방법론
본 논문은 조합론적 분석, 급수 전개, 그리고 복소해석학적 기법, 구체적으로는 경로 적분(contour integration)의 결합을 채택한다.

1. 조합론적 및 급수적 접근 (섹션 1 및 6):

   • 저자는 쌍곡선 함수의 근과 관련된 특정 다항식 $P_n(x)$와 $Q_n(x)$를 정의하여 테일러 전개의 계수를 도출한다.
   • $x = \tanh u$를 대입함으로써, 원래의 적분을 $\tanh, \cosh, \ln u$를 포함하는 $(0, \infty)$ 상의 적분으로 변환한다.
   • 이항 전개와 기하급수를 활용하여, 이 적분들을 디리클레 에타 함수($\eta'$) 및 디리클레 베타 함수($\beta'$)의 미분값을 포함하는 합으로 표현한다.
   • 섹션 6에서는 $\sqrt{1-x^2}$ 및 $1/\sqrt{1-x^2}$의 이항 전개를 통해 $\Phi_1(s)$와 $\Phi_2(s)$ 사이의 결합된 체계를 구축하며, 이를 통해 베타 값들의 합을 제타 값들의 급수로, 또는 그 반대로 표현할 수 있게 한다.

2. 경로 적분 (섹션 2 및 3):

   • 홀수 정수(이는 $\int_0^\infty \frac{\sinh^{2q+1} z \ln z}{\cosh^n z} dz$ 형태의 적분에 대응함)를 엄밀하게 평가하기 위해, 저자는 복소평면에서의 직사각형 경로를 활용한다.
   • 도메인을 $(-\infty, \infty)$로 확장하여 우함수를 다루었던 이전 연구들과 달리, 본 연구는 피적분 함수의 기함수적 특성을 다룬다. 이 방법은 $[-R, R] \times [0, i\pi]$ 주위의 직사각형에 $z^2 f_{q,n}(z)$를 적분하고 코시의 유수 정리(Cauchy's Residue Theorem)를 적용하는 과정을 포함한다.
   • 피적분 함수의 극(poles)을 식별하고, 코시의 적분 공식과 $\ln^2 z$의 미분을 사용하여 유수(residues)를 계산한다.
   • 이 기법은 리만 제타 함수($\zeta'$) 및 디리클레 베타 함수($\beta'$)의 미분값과 로그 항($\ln \pi, \ln 2$)을 포함하는 폐형식(closed-form) 표현을 산출한다.

주요 기여 및 결과

• 명시적 폐형식 표현: 본 논문은 $\Phi_1(2n+1)$ 및 $\Phi_2(2n+1)$에 대한 명시적인 공식들을 도출한다. 이들은 음의 정수에서의 에타 및 베타 함수의 미분값(예: $\eta'(-2i-1)$ 및 $\beta'(-2i)$)에 대한 유한 선형 결합으로 표현된다.
  • 예시: $\int_0^1 \frac{x^2}{\text{arctanh } x} dx = \frac{4}{3}\eta'(-1) + \frac{8}{3}\eta'(-3)$.
• 이상 적분의 평가: $\int_0^\infty \frac{\sinh^{2q+1} z \ln z}{\cosh^n z} dz$ 및 $\int_0^\infty \frac{\sinh^{2q} z}{z \cosh^n z} dz$ 형태의 적분을 평가하는 체계적인 방법을 제공한다. 이러한 결과들은 $\zeta', \beta'$ 값, 베르누이 수, 오일러 수로 표현된다.
• 소멸하는 조합 항등식: 섹션 4에서는 특정 정수 인자에서 0이 되는 조합 계수를 가진 함수 클래스를 식별하며, 이는 유수 계산을 단순화하는 데 중요하다.
• 점근 분석: $s \to 1^+$일 때 $\Phi_1(s)$와 $\Phi_2(s)$에 대한 경계 및 점근 전개를 설정하며, 상수 $C_1$과 $C_2$는 $\zeta'(2), \beta'(1)$ 및 로그 항들로 표현된다.
• 무리성 추측의 재정식화: 섹션 6.3에서 저자는 $\frac{\zeta(2n+1)}{\pi^{2n+1}}$ 및 $\frac{\beta(2n)}{\pi^{2n}}$의 무리성에 관한 추측을 재정식화한다. 이러한 비율의 무리성은 $1/\text{arctanh } x$와 $1/(\sqrt{1-x^2}\text{arctanh } x)$의 테일러 전개 계수를 포함하는 특정 무한 급수가 $\pi$를 표현할 수 있는 방식으로 유리수를 생성하지 않는다면 성립함을 보여준다.

의의 및 주장
본 논문은 세 가지 주요 기여를 주장한다:

1. 산술적 통찰: $\zeta(2n+1)/\pi^{2n+1}$ 및 $\beta(2n)/\pi^{2n}$의 산술적 성질과 깊이 연관된 멜린 변환을 연구하며, 패리티 제약으로 인해 이전에 다뤄지지 않았던 홀수 정수 인자에 대한 기존 결과를 확장한다.
2. 적분에 대한 새로운 관점: Blagouchine, Adamchik 등의 연구에서 간과되었을 수 있는, 특히 로그 항과 결합된 홀수 차수의 쌍곡선 사인(hyperbolic sine)을 포함하는 적분에 대한 새로운 관점을 제공한다.
3. 분석적 도구: 조합론 및 쌍곡선 적분 평가에 유용한 비자명한 항등식을 산출하는 복소해석학적 기법(특히 홀수 피적분 함수를 위한 경로 적분법)을 개발한다.

저자는 짝수 정수에서의 결과는 알려져 있었으나, 홀수 정수에서의 도출은 패리티 논리가 적용될 경우 자명한 0을 반환하기 때문에 별도의 방법이 필요했음을 언급한다. 도출된 L-함수의 미분을 포함하는 폐형식 표현들은 관련 쌍곡선 적분 및 앞서 언급한 비율들의 산술적 성질을 연구하는 데 유용한 새로운 분석적 도구를 제공한다.