The Mellin's transforms of $\dfrac{1}{\operatorname{arctanh} x}$ and $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}\,\operatorname{arctanh} x}$

技術要約：$1/\text{arctanh } x$ および $1/(\sqrt{1-x^2}\text{arctanh } x)$ のメリン変換

問題提起
本研究は、区間 $(0, 1)$ 上でコンパクトに支持されていると見なされる以下の2つの特定の関数に関するメリン変換を調査するものである：
$$\Phi_1(s) = \int_0^1 \frac{x^{s-1}}{\text{arctanh } x} \, dx \quad \text{および} \quad \Phi_2(s) = \int_0^1 \frac{x^{s-1}}{\sqrt{1-x^2}\text{arctanh } x} \, dx$$
これらの変換は、比 $\frac{\zeta(2n+1)}{\pi^{2n+1}}$ および $\frac{\beta(2n)}{\pi^{2n}}$ の算術的性質と密接に関連している。先行研究（[2], [3]として引用）では、偶関数を用いたこれらの比の積分表示が確立されている。しかし、これらの変換を奇数整数（被積分関数の $x$ の偶数次に対応）において評価することについては、空白が残されていた。偶数整数における値は以前に研究されていたが、奇数整数の場合は、被積分関数が奇関数であるために標準的なパリティ（奇偶性）の議論では解決できない不適切積分となるため、新たな解析的手法を必要とする。

手法
本論文では、組合せ論的解析、級数展開、および複素解析手法、特に留数計算を用いた複素積分を組み合わせて用いる。

1. 組合せ論および級数によるアプローチ（セクション1および6）：

   • 著者は、双曲線関数の根に関連する特定の多項式 $P_n(x)$ および $Q_n(x)$ を定義し、テイラー展開の係数を導出する。
   • $x = \tanh u$ を代入することで、元の積分を $\tanh, \cosh, \ln u$ を含む $(0, \infty)$ 上の積分へと変換する。
   • 二項展開および幾何級数を利用して、これらの積分をディリクレのエータ関数 ($\eta'$) およびディリクレのベータ関数 ($\beta'$) の微分を含む和として表現する。
   • セクション6では、$\sqrt{1-x^2}$ および $1/\sqrt{1-x^2}$ の二項展開を通じて、$\Phi_1(s)$ と $\Phi_2(s)$ を結びつける結合系を確立し、ベータ値の和をゼータ値の級数として、あるいはその逆に表現することを可能にする。

2. 複素積分（セクション2および3）：

   • 奇数整数における積分（これは $\int_0^\infty \frac{\sinh^{2q+1} z \ln z}{\cosh^n z} dz$ の形式の積分に対応する）を厳密に評価するために、著者は複素平面上の長方形輪郭を利用する。
   • 偶関数を $(-\infty, \infty)$ に拡張して扱った先行研究とは異なり、本研究では被積分関数の奇関数性に適応する。この手法は、$z^2 f_{q,n}(z)$ を矩形領域 $[-R, R] \times [0, i\pi]$ に沿って積分し、コーシーの留数定理を適用することを含む。
   • 被積分関数の極を特定し、コーシーの積分公式と $\ln^2 z$ の微分を用いて留数を計算する。
   • この手法により、リーマンのゼータ関数の微分 ($\zeta'$) およびディリクレのベータ関数の微分 ($\beta'$)、ならびに対数項 ($\ln \pi, \ln 2$) を含む閉形式の表現が得られる。

主要な貢献および結果

• 明示的な閉形式の表現： 本論文は、$\Phi_1(2n+1)$ および $\Phi_2(2n+1)$ の明示的な公式を導出する。これらは、負の整数におけるエータ関数およびベータ関数の微分の有限線形結合として表現される（例：$\eta'(-2i-1)$ や $\beta'(-2i)$ など）。
  • 例： $\int_0^1 \frac{x^2}{\text{arctanh } x} dx = \frac{4}{3}\eta'(-1) + \frac{8}{3}\eta'(-3)$。
• 不適切積分の評価： 本研究は、$\int_0^\infty \frac{\sinh^{2q+1} z \ln z}{\cosh^n z} dz$ および $\int_0^\infty \frac{\sinh^{2q} z}{z \cosh^n z} dz$ の形式の積分を評価するための体系的な方法を提供する。これらの結果は、$\zeta', \beta'$ の値、ベルヌーイ数、およびオイラー数を用いて提示される。
• 消滅する組合せ恒等式： セクション4では、特定の整数引数に対して消滅する組合せ係数を持つ関数クラスを特定しており、これは留数計算の簡略化において極めて重要である。
• 漸近解析： 本論文は、$s \to 1^+$ における $\Phi_1(s)$ および $\Phi_2(s)$ の境界および漸近展開を確立し、定数 $C_1, C_2$ を $\zeta'(2), \beta'(1)$ および対数項を用いて表現する。
• 無理数性の予想の再定式化： セクション6.3において、著者は $\frac{\zeta(2n+1)}{\pi^{2n+1}}$ および $\frac{\beta(2n)}{\pi^{2n}}$ の無理数性に関する予想を再定式化する。これらの比の無理性は、$1/\text{arctanh } x$ および $1/(\sqrt{1-x^2}\text{arctanh } x)$ のテイラー展開の係数を含む特定の無限級数が、$\pi$ を表現する方法で有理数の集合を生成しない場合に成立することが示される。

意義および主張

著者は、主に3つの貢献を主張している：

1. 算術的洞察： $\zeta(2n+1)/\pi^{2n+1}$ および $\beta(2n)/\pi^{2n}$ の算術的性質に深く関連するメリン変換を研究し、パリティの制約によりこれまで対処されていなかった奇数整数引数の結果へと拡張した。
2. 積分への新しい視点： Blagouchine、Adamchik、およびその他の著者による研究で見落とされていた可能性のある、特に奇数次の双曲線正弦と対数項が組み合わさった積分に対して、新しい視点を提供する。
3. 解析的ツール： 組合せ論や双曲線積分の評価に有用な非自明な恒等式をもたらす、複素解析の手法（特に奇関数に対する複素積分法）を開発した。

著者は、偶数整数における結果は既知であるが、奇数整数における導出には、パリティの議論をそのまま適用すると自明なゼロになってしまうため、異なる手法が必要であったと述べている。導出されたL関数（L-function）の微分を含む閉形式の表現は、関連する双曲線積分や上述の比の算術的性質を研究するための新しい解析的ツールを提供するものである。