The Mellin's transforms of $\dfrac{1}{\operatorname{arctanh} x}$ and $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}\,\operatorname{arctanh} x}$

技术摘要：$1/\text{arctanh } x$ 与 $1/(\sqrt{1-x^2}\text{arctanh } x)$ 的梅林变换

问题陈述
本研究探讨了两个特定函数在区间 $(0, 1)$ 上作为紧支撑函数的梅林变换：
$$\Phi_1(s) = \int_0^1 \frac{x^{s-1}}{\text{arctanh } x} \, dx \quad \text{以及} \quad \Phi_2(s) = \int_0^1 \frac{x^{s-1}}{\sqrt{1-x^2}\text{arctanh } x} \, dx$$
这些变换与比值 $\frac{\zeta(2n+1)}{\pi^{2n+1}}$ 和 $\frac{\beta(2n)}{\pi^{2n}}$ 的算术性质有着本质的联系。先前的研究（引用为 [2], [3]）已经建立了涉及偶多项式的这些比值的积分表示。然而，在奇整数（对应于被积函数中 $x$ 的偶次幂）的评估方面仍存在空白。虽然偶整数的值此前已有研究，但奇整数的情况会导致无法通过标准奇偶性论证来解决的广义积分（因为被积函数是奇函数），因此需要一种新的分析方法。

方法论
本文结合了组合分析、级数展开以及复分析技术，特别是围道积分。

1. 组合与级数方法（第 1 节与第 6 节）：

   • 作者定义了与双曲函数根相关的特定多项式 $P_n(x)$ 和 $Q_n(x)$，以导出泰勒展开的系数。
   • 通过代入 $x = \tanh u$，将原始积分转化为涉及 $\tanh$、$\cosh$ 和 $\ln u$ 的 $(0, \infty)$ 上的积分。
   • 利用二项式展开和几何级数将这些积分表示为涉及狄利克雷 $\eta$ 函数导数 ($\eta'$) 和狄利克雷 $\beta$ 函数 ($\beta'$) 的和。
   • 第 6 节通过 $\sqrt{1-x^2}$ 和 $1/\sqrt{1-x^2}$ 的二项式展开，建立了通过 $\Phi_1(s)$ 和 $\Phi_2(s)$ 进行耦合的系统，从而允许将 $\beta$ 值的和表示为 $\zeta$ 值的级数，反之亦然。

2. 围道积分（第 2 节与第 3 节）：

   • 为了严格评估奇整数处的积分（对应于形式为 $\int_0^\infty \frac{\sinh^{2q+1} z \ln z}{\cosh^n z} dz$ 的积分），作者在复平面内使用了矩形围道。
   • 不同于以往处理通过将定义域扩展到 $(-\infty, \infty)$ 来处理偶函数的著作，本工作处理了被积函数的奇函数性质。该方法涉及对矩形区域 $[-R, R] \times [0, i\pi]$ 内的 $z^2 f_{q,n}(z)$ 进行积分，并应用柯西留数定理。
   • 识别了被积函数的极点，并使用柯西积分公式和 $\ln^2 z$ 的导数计算了留数。
   • 该技术产生了包含黎曼 $\zeta$ 函数导数 ($\zeta'$)、狄利克雷 $\beta$ 函数导数 ($\beta'$) 以及对数项 ($\ln \pi, \ln 2$) 的闭合形式表达式。

主要贡献与结果

• 显式闭合形式表达式： 本文推导了 $\Phi_1(2n+1)$ 和 $\Phi_2(2n+1)$ 的显式公式。这些公式表示为 $\eta$ 函数和 $\beta$ 函数在负整数处导数的有限线性组合（例如，$\eta'(-2i-1)$ 和 $\beta'(-2i)$）。
  • 示例： $\int_0^1 \frac{x^2}{\text{arctanh } x} dx = \frac{4}{3}\eta'(-1) + \frac{8}{3}\eta'(-3)$。
• 广义积分的评估： 本工作提供了一种系统的方法来评估形式为 $\int_0^\infty \frac{\sinh^{2q+1} z \ln z}{\cosh^n z} dz$ 和 $\int_0^\infty \frac{\sinh^{2q} z}{z \cosh^n z} dz$ 的积分。这些结果以 $\zeta'$、$\beta'$ 值、伯努利数和欧拉数的形式呈现。
• 消失的组合恒等式： 第 4 节识别了一类具有特定组合系数且在某些整数参数下消失的函数，这对于简化留数计算至关重要。
• 渐近分析： 本文建立了 $\Phi_1(s)$ 和 $\Phi_2(s)$ 在 $s \to 1^+$ 时的界限和渐近展开，其中常数 $C_1$ 和 $C_2$ 由 $\zeta'(2)$、$\beta'(1)$ 及对数项表示。
• 无理数猜想的重新表述： 在第 6.3 节中，作者重新表述了关于 $\frac{\zeta(2n+1)}{\pi^{2n+1}}$ 和 $\frac{\beta(2n)}{\pi^{2n}}$ 无理性的猜想。研究表明，如果涉及 $1/\text{arctanh } x$ 和 $1/(\sqrt{1-x^2}\text{arctanh } x)$ 的泰勒展开系数的特定无穷级数不会以允许 $\pi$ 被表示的方式覆盖有理数，则上述比值的无理性成立。

意义与主张
本文声称有三个主要贡献：

1. 算术洞察： 它深入研究了与 $\zeta(2n+1)/\pi^{2n+1}$ 和 $\beta(2n)/\pi^{2n}$ 的算术性质密切相关的梅林变换，将之前的研究扩展到了由于奇偶性限制而此前未被处理的奇整数参数。
2. 积分的新视角： 它为可能在 Blagochine、Adamchik 等人的著作中被忽视的积分提供了新视角，特别是那些涉及奇次双曲正弦与对数项结合的积分。
3. 分析工具： 它开发了复分析技术（特别是针对奇函数的围道积分法），这些技术产生了在组合学和评估双曲积分方面有用的非平凡恒等式。

作者指出，虽然偶整数的结果是已知的，但奇整数处的推导需要一种截然不同的方法，因为如果直接应用奇偶性参数，会导致得到平凡的零。所推导出的涉及 L 函数导数的闭合形式表达式，为研究相关的双曲积分及上述比值的算术性质提供了新的分析工具。