A proof of Spence's formula using the reciprocity law for Dedekind sums

एक बड़ी तस्वीर: गिनती करने का एक नया तरीका

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक बड़ी संख्या है, मान लीजिए $n$। अब, "विशेष संख्याओं" के एक क्लब की कल्पना करें जो $n$ से छोटी हैं और उनके साथ एक बहुत ही विशिष्ट संबंध रखती हैं: उनका $n$ के साथ कोई भी सामान्य गुणनखंड (common factor) नहीं है (गणितज्ञ इन्हें "सह-अभाज्य" या coprime कहते हैं)।

यदि आप इन विशेष संख्याओं को सबसे छोटी से सबसे बड़ी संख्या के क्रम में सूचीबद्ध करते हैं, तो आपको एक अनुक्रम (sequence) प्राप्त होता है: $a_1, a_2, a_3, \dots$।

1963 में, एडवर्ड स्पेंस नामक एक गणितज्ञ ने एक जादुई सूत्र (formula) की खोज की। यह सूत्र आपको इन संख्याओं के योग की गणना करने की अनुमति देता है, लेकिन एक ट्विस्ट के साथ: आप प्रत्येक संख्या को उसकी पंक्ति में उसके स्थान से गुणा करते हैं।

• पहली संख्या ($a_1$) लें और उसे 1 से गुणा करें।
• दूसरी संख्या ($a_2$) लें और उसे 2 से गुणा करें।
• यह पूरी सूची के लिए करें और उन सभी को जोड़ दें।

स्पेंस ने पाया कि यह कुल योग यादृच्छिक (random) नहीं है; यह $n$ के आकार और इसमें मौजूद अभाज्य गुणनखंडों (prime factors) की संख्या के आधार पर एक सटीक पैटर्न का पालन करता है।

समस्या: स्पेंस ने इसे 1963 में सिद्ध किया था, और एक अन्य गणितज्ञ (लुसिएन वैन हैम) ने 1971 में एक अलग विधि (फूरियर विश्लेषण, जो एक ध्वनि तरंग को उसके सुरों में तोड़ने जैसा है) का उपयोग करके इसे फिर से सिद्ध किया।

इस शोध पत्र का लक्ष्य: स्टीवन ब्राउन इसी सूत्र को तीसरी बार सिद्ध करना चाहते हैं, लेकिन एक पूरी तरह से अलग उपकरण का उपयोग करके: डेडेकिंड योग (Dedekind sums) और उनका "पारस्परिकता नियम" (Reciprocity Law)।

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काम करने के उपकरण (The Tools of the Trade)

ब्राउन के प्रमाण को समझने के लिए, हमें उन तीन मुख्य उपकरणों को समझना होगा जिनका वे उपयोग करते हैं, जिन्हें वे एक रेसिपी के अवयवों (ingredients) की तरह मानते हैं।

1. "फ़िल्टर" (सह-अभाज्य क्लब)

ब्राउन विशेष संख्याओं की सूची ($a_1$ से $a_{\phi(n)}$) को देखकर शुरुआत करते हैं। उन्हें तुरंत क्रम में लाने की कोशिश करने के बजाय, वे एक गणितीय "फ़िल्टर" (जिसे फलन $\theta_n$ कहा जाता है) का उपयोग करते हैं।

• उपमा: कल्पना कीजिए कि आपके पास मिश्रित कंचों (marbles) की एक बाल्टी है। आप केवल लाल वाले कंचों को गिनना चाहते हैं। एक-एक करके उन्हें छाँटने के बजाय, आप बाल्टी को एक छलनी से गुजारते हैं जो केवल लाल कंचों को ही गुजरने देती है। यह फलन $\theta_n$ उस छलनी की तरह कार्य करता है, जो अभी उनके विशिष्ट क्रम की चिंता किए बिना एक निश्चित बिंदु तक कितने वैध अंक मौजूद हैं, उन्हें गिनता है।

2. "आंशिक भाग" (बचे हुए अंश/The Leftover Crumbs)

गणित में, जब आप किसी संख्या को विभाजित करते हैं, तो आपको एक पूर्ण संख्या और एक "आंशिक भाग" (बचा हुआ हिस्सा) प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, $7 \div 3 = 2$ और शेष $1/3$ है।
ब्राउन मुख्य रूप से इन्हीं "बचे हुए अंशों" पर ध्यान केंद्रित करते हैं। वे एक विशेष संकेत $((x))$ का उपयोग करते हैं, जो यह मापता है कि कोई संख्या निकटतम अर्ध-पूर्णांक (half-integer) से कितनी दूर है।

• उपमा: एक घड़ी के बारे में सोचें। "आंशिक भाग" वह है जहाँ सुई संख्याओं के बीच में होती है। ब्राउन इन स्थितियों की समरूपता (symmetry) में रुचि रखते हैं। वे एक...