A proof of Spence's formula using the reciprocity law for Dedekind sums

「デデキント和の相互法則を用いたスペンスの公式の証明」テクニカル・サマリー

問題設定
本論文は、与えられた整数 $n$ と互いに素な整数の重み付き和の評価を扱う。具体的には、$n > 1$ を整数とし、$0 < a_1 < a_2 < \dots < a_{\phi(n)} < n$ を $n$ と互いに素な $n$ 未満の正の整数を昇順に並べたものとする。目的は、以下の和を計算することである：
$$\sum_{j=1}^{\phi(n)} j a_j$$
この公式は、1963年にエドワード・スペンスによって最初に確立され、その後1971年にリュシアン・ヴァン・ハムによるフーリエ解析を用いて再証明された。本論文は、デデキント和の理論を用いて、これとは異なる第3の証明を提供することを目的としている。

手法
著者であるスティーブン・ブラウンは、解析的数論の手法、特にデデキンド和とメビウスの反転公式の性質を活用した手法を用いている。証明は以下の論理的ステップを経て進行する：

1. 計数関数による再定式化：
   順序付けられたインデックス $j$ について和をとる代わりに、著者は $x$ 以下の $n$ と互いに素な整数の個数を数える関数 $\theta_n(x)$ を用いて、対象となる和を書き換える。これにより、明示的な順序への参照なしに、互いに素な整数の集合 $U(n)$ 上の和として表現することが可能になる：
   $$\sum_{j=1}^{\phi(n)} j a_j = \sum_{a \in U(n)} \theta_n(a) a$$

2. 分数部分による分解：
   $\theta_n(x) + \nu_n(x) = x\phi(n)/n$ （ここで $\nu_n(x)$ は分数部分 $\{x/d\}$ を含む）という恒等式を用いて、問題は分解される。$\nu_n(a)$ を含む項が孤立させられる。著者は、分数部分 $\{a/d\}$ を鋸歯関数 $((x)) = \{x\} - 1/2$ （非整数の場合）を用いて表現し、$\sum_{a \in U(n)} ((a/d)) = 0$ という性質を利用する。

3. デデキント和の導入：
   残りの項には、鋸歯関数の積を含む、約数 $d_1, d_2$ にわたる二重和が含まれる。この構造は、古典的なデデキント和 $s(b, a)$ の線形結合として特定される。式は以下のように変換される：
   $$S(n) = n \sum_{d_1|n} \sum_{d_2|n} \mu(d_1)\mu(d_2) s\left(\frac{n}{d_1}, \frac{n}{d_2}\right)$$

4. 相互法則の適用：
   証明の核心は、和の対称性とデデキントの相互法則を利用することにある。項 $s(b, a)$ と $s(a, b)$ をグループ化することにより、著者は相互法則を適用する：
   $$ s