A proof of Spence's formula using the reciprocity law for Dedekind sums

《利用德德金和的互反律证明 Spence 公式》技术摘要

问题陈述
本文旨在解决与给定整数 $n$ 互质的整数的加权和评估问题。具体而言，设 $n > 1$ 为一个整数，令 $0 < a_1 < a_2 < \dots < a_{\phi(n)} < n$ 为小于 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数，并按升序排列。目标是计算如下求和式：
$$\sum_{j=1}^{\phi(n)} j a_j$$
该公式最初由 Edward Spence 于 1963 年建立，随后由 Lucien Van Hamme 于 1971 年利用傅里叶分析进行了重新证明。本文旨在利用德德金和（Dedekind sums）理论提供第三种不同的证明方法。

方法论
作者 Steven Brown 采用了一种植根于解析数论的方法，特别是利用了德德金和的性质和莫比乌斯反演公式（Möbius inversion formula）。证明过程通过以下逻辑步骤进行：

1. 通过计数函数进行重构：
   作者不再对有序索引 $j$ 进行求和，而是利用函数 $\theta_n(x)$ 将目标和进行重写，其中 $\theta_n(x)$ 计算小于或等于 $x$ 且与 $n$ 互质的整数个数。这使得求和可以基于互质集合 $U(n)$ 进行，而无需显式引用其排序：
   $$\sum_{j=1}^{\phi(n)} j a_j = \sum_{a \in U(n)} \theta_n(a) a$$

2. 利用分数部分进行分解：
   利用恒等式 $\theta_n(x) + \nu_n(x) = x\phi(n)/n$，其中 $\nu_n(x)$ 涉及分数部分 ${x/d}，将问题进行分解。通过分离出涉及 $\nu_n(a)$ 的项，作者利用锯齿函数 $((x)) = \{x\} - 1/2$（针对非整数）来表示分数部分 $\{a/d\}$，并利用性质 $\sum_{a \in U(n)} ((a/d)) = 0$。 3. **引入德德金和：** 剩余项涉及关于 $n$ 的约数 $d_1, d_2$ 的双重求和，其中包含锯齿函数的乘积。该结构被识别为经典德德金和 $s(b, a)$ 的线性组合。表达式被转化为： S(n) = n \sum_{d_1|n} \sum_{d_2|n} \mu(d_1)\mu(d_2) s\left(\frac{n}{d_1}, \frac{n}{d_2}\right) 4. **应用互反律：** 证明的核心利用了求和的对称性和**德德金互反律**。通过对项 $s(b, a)$ 和 $s(a, b)$ 进行分组，作者应用了互反公式： s