A proof of Spence's formula using the reciprocity law for Dedekind sums

기술적 요약: "데데킨트 합의 상호법칙을 이용한 스펜스의 공식 증명"

문제 정의
본 논문은 주어진 정수 $n$과 서로소인 정수들의 가중치 합을 구하는 문제를 다룬다. 구체적으로, $n > 1$인 정수에 대하여, $0 < a_1 < a_2 < \dots < a_{\phi(n)} < n$를 $n$과 서로소인 $n$ 미만의 양의 정수들을 오름차순으로 나열한 것이라 하자. 목표는 다음 합을 계산하는 것이다:
$$\sum_{j=1}^{\phi(n)} j a_j$$
이 공식은 1963년 에드워드 스펜스(Edward Spence)에 의해 처음 확립되었으며, 이후 1971년 루시엔 반 함(Lucien Van Hamme)이 푸리에 해석을 사용하여 재증명하였다. 본 논문은 데데킨트 합(Dedekind sums) 이론을 활용하여 이와 구별되는 세 번째의 독자적인 증명을 제공하는 것을 목적으로 한다.

방법론
저자 스티븐 브라운(Steven Brown)은 해석적 정수론에 뿌리를 둔 방법을 사용하며, 특히 데데킨트 합과 뫼비우스 반전 공식(Möbius inversion formula)의 성질을 활용한다. 증명은 다음과 같은 논리적 단계를 거쳐 진행된다:

1. 계수 함수를 통한 재구성:
   저자는 순서가 지정된 인덱스 $j$에 대해 합을 구하는 대신, $x$보다 작거나 같으면서 $n$과 서로소인 정수의 개수를 세는 함수 $\theta_n(x)$를 사용하여 대상 합을 재작성한다. 이를 통해 명시적인 순서 참조 없이 $U(n)$(서로소 정수 집합)에 대한 합으로 표현할 수 있다:
   $$\sum_{j=1}^{\phi(n)} j a_j = \sum_{a \in U(n)} \theta_n(a) a$$

2. 소수 부분(Fractional Parts)을 이용한 분해:
   $\theta_n(x) + \nu_n(x) = x\phi(n)/n$이라는 항등식을 사용하여, 여기서 $\nu_n(x)$는 $\{x/d\}$를 포함한다. 이 식을 통해 문제는 분해된다. $\nu_n(a)$를 포함하는 항이 격리된다. 저자는 톱니 함수(sawtooth function) $((x)) = \{x\} - 1/2$ (정수가 아닌 경우)를 이용하여 소수 부분 $\{a/d\}$를 표현하며, $\sum_{a \in U(n)} ((a/d)) = 0$이라는 성질을 활용한다.

3. 데데킨트 합의 도입:
   남은 항은 톱니 함수의 곱을 포함하는 $n$의 약수 $d_1, d_2$에 대한 이중 합을 포함한다. 이 구조는 고전적인 데데킨트 합 $s(b, a)$의 선형 결합으로 식별된다. 식은 다음과 같이 변환된다:
   $$S(n) = n \sum_{d_1|n} \sum_{d_2|n} \mu(d_1)\mu(d_2) s\left(\frac{n}{d_1}, \frac{n}{d_2}\right)$$

4. 상호법칙의 적용:
   증명의 핵심은 합의 대칭성과 **데데킨트 상호법칙(Dedekind reciprocity law)**을 이용하는 것이다. 저자는 $s(b, a)$와 $s(a, b)$ 항들을 그룹화함으로써 상호법칙을 적용한다:
   $$ s