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Conditional Upper Bounds for Large Deviations and Moments of the Riemann Zeta Function

रीमान परिकल्पना (Riemann Hypothesis) को मानते हुए, यह शोध पत्र क्रिटिकल लाइन पर रीमान ज़ेटा फंक्शन के लार्ज डेविएशन (large deviations) के लिए एक सशर्त ऊपरी सीमा स्थापित करता है, जो बदले में यह सिद्ध करता है कि इसके $2k$ -मोमेंट्स $C_k(\log T)^{k^2}$ द्वारा सीमित हैं, जिससे साउंडारराजन और हार्पर की तकनीकों को संयोजित करने वाली एक पुनरावर्ती योजना (recursive scheme) के माध्यम से हार्पर के एक ज्ञात परिणाम को पुनः प्राप्त किया जाता है।

मूल लेखक: Louis-Pierre Arguin, Emma Bailey, Asher Roberts

प्रकाशित 2026-04-29

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Louis-Pierre Arguin, Emma Bailey, Asher Roberts

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ इस शोध पत्र का सरल भाषा और रोज़मर्रा के उदाहरणों के साथ विवरण दिया गया है।

मुख्य चित्र: "अनिश्चित पर्वत"

कल्पना कीजिए कि रीमान ज़ेटा फलन (Riemann Zeta function), $\zeta(s)$ , एक विशाल, ऊबड़-खाबड़ पर्वत श्रृंखला है जो अनंत तक फैली हुई है। गणितज्ञ "क्रिटिकल लाइन" (critical line) नामक एक विशिष्ट, रहस्यमय स्थान पर इस पर्वत की "ऊंचाई" में रुचि रखते हैं।

आमतौर पर, यदि आप इस रेखा पर चलते हैं, तो पर्वत की ऊंचाई धीरे-धीरे घटती-बढ़ती रहती है, जैसे कि लहरदार पहाड़ियाँ। इसे सेलबर्ग के सेंट्रल लिमिट थ्योरम (Selberg's Central Limit Theorem) नामक एक प्रसिद्ध नियम द्वारा वर्णित किया गया है, जो कहता है कि ये उतार-चढ़ाव एक मानक बेल कर्व (Gaussian distribution) की तरह व्यवहार करते हैं। अधिकांश समय, पर्वत एक सामान्य ऊंचाई पर होता है।

हालाँकि, कभी-कभी पर्वत एक भयानक, असंभव दिखने वाली चोटी के रूप में ऊपर की ओर उछल जाता है। इन्हें "लार्ज डेविएशन" (large deviations) कहा जाता है। यह शोध पत्र एक सरल प्रश्न पूछता है: ये विशाल उछाल कितनी बार होते हैं, और वे कितने ऊंचे हो सकते हैं?

मुख्य खोज: एक सशर्त सुरक्षा जाल (A Conditional Safety Net)

लेखक इन उछालों के बारे में एक नया नियम सिद्ध करते हैं, लेकिन एक बड़े "यदि" के साथ: यदि रीमान हाइपोथीसिस (Riemann Hypothesis) सत्य है।

रीमान हाइपोथीसिस गणित की सबसे प्रसिद्ध अनसुलझी समस्याओं में से एक है। यह एक मास्टर की (master key) की तरह है जो, यदि फिट बैठ जाए, तो अभाज्य संख्याओं (prime numbers) की वास्तविक संरचना को खोल सकती है। लेखक इस धारणा के साथ काम करते हैं कि यह चाबी काम करती है।

उन्होंने क्या पाया:
उन्होंने एक निश्चित ऊंचाई के उछाल को देखने की संभावना (probability) की गणना की।

उदाहरण: कल्पना कीजिए कि आप समुद्र में लहर कितनी ऊंची उठेगी, इस पर दांव लगा रहे हैं। आप जानते हैं कि औसत लहर 1 मीटर की है। कभी-कभी आपको 2 मीटर की लहर मिलती है। लेखकों ने 100 मीटर की "सुनामी" लहर मिलने की संभावना की गणना की।
परिणाम: उन्होंने पाया कि ये विशाल उछाल अविश्वसनीय रूप से दुर्लभ हैं। आप जिस ऊंचे उछाल की तलाश कर रहे हैं, वह जितना अधिक होगा, उसके होने की संभावना उतनी ही तेजी से (exponentially) कम होती जाएगी। उन्होंने एक सख्त "अपर बाउंड" (upper bound) प्रदान किया, जो इस तरह है जैसे कि एक छत लगाना कि लहर कितनी ऊंची हो सकती है, और वह ऊंचाई कितनी बार प्राप्त कर सकती है।

उन्होंने यह कैसे किया: "रिकर्सिव लैडर" (The Recursive Ladder)

इसके पीछे का गणित जटिल है, लेकिन लेखकों ने एक चतुर रणनीति का उपयोग किया जिसे वे "रिकर्सिव स्कीम" (recursive scheme) कहते हैं।

उदाहरण:
कल्पना कीजिए कि आप एक बहुत ऊँची, फिसलन भरी सीढ़ी चढ़ने की कोशिश कर रहे हैं ताकि देख सकें कि क्या आप गगनचुंबी इमारत के शीर्ष तक पहुँच सकते हैं।

समस्या: यदि आप पूरी सीढ़ी को एक साथ देखते हैं, तो यह बहुत अधिक फिसलन भरी और अप्रत्याशित है।
समाधान: लेखकों ने सीढ़ी को छोटे, प्रबंधनीय चरणों (चेकपॉइंट्स) में तोड़ दिया।
"अच्छी घटनाएँ" (Good Events): उन्होंने "अच्छी घटनाओं" को उन चरणों के रूप में परिभाषित किया जहाँ चढ़ने वाला एक सुरक्षित, संकीले गलियारे के भीतर रहता है। यदि चढ़ने वाला हर एक चरण पर गलियारे के भीतर रहता है, तो वह सुरक्षित है।
गणना: उन्होंने प्रत्येक विशिष्ट चरण पर गलियारे से बाहर गिरने की संभावना की गणना की। प्रत्येक चरण पर गिरने के सूक्ष्म जोखिमों को जोड़कर, उन्होंने सिद्ध किया कि एक विशाल, खतरनाक ऊंचाई तक पहुँचने का कुल जोखिम नगण्य है।

उन्होंने इसके लिए एक "रैंडम वॉक" (random walk) मॉडल का उपयोग किया। कल्पना कीजिए कि एक नशे में धुत व्यक्ति सीढ़ियाँ चढ़ रहा है। आमतौर पर, वह थोड़ा इधर-उधर भटकता है। लेखों ने सिद्ध किया कि भले ही यह व्यक्ति एक बहुत ऊंचे ढलान पर ऊपर जाने की कोशिश कर रहा हो (एक लार्ज डेविएशन), फिर भी उनके रास्ते से गिरने के बिना पथ पर बने रहने की संभावना एक बहुत ही विशिष्ट, अनुमानित सूत्र द्वारा नियंत्रित होती है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है: "मोमेंट्स" (The Moments)

गणित में, "मोमेंट्स" (moments) किसी फलन के औसत व्यवहार को मापने का एक तरीका हैं। इसे एक कार की औसत गति की गणना करने जैसा समझें, लेकिन केवल गति के बजाय, आप कार की गति की "ऊर्जा" की गणना कर रहे हैं।

संबंध: लेखकों ने दिखाया कि दुर्लभ उछालों (large deviations) के बारे में उनका नया नियम स्वतः ही ज़ेटा फलन (Zeta function) की "ऊर्जा" (moments) पर एक सीमा सिद्ध करता है।
परिणाम: उन्होंने उस सीमा की पुष्टि की जो पहले केवल छोटे नंबरों के लिए अनुमानित या सिद्ध की गई थी। उन्होंने दिखाया कि बहुत बड़ी संख्याओं के लिए भी, ज़ेटा फलन की "ऊर्जा" विस्फोट नहीं करती; यह एक अनुमानित सीमा के भीतर रहती है, बशर्ते रीमान हाइपोथीसिस सत्य हो।

"शॉर्ट इंटरवल" बोनस

यह शोध पत्र इस बात पर भी संक्षेप में चर्चा करता है कि क्या होता है यदि आप पर्वत को बहुत छोटी दूरी (एक "शॉर्ट इंटरवल") पर देखते हैं।

उदाहरण: यदि आप पर्वत के एक बहुत छोटे हिस्से को ज़ूम इन करके देखते हैं, तो क्या यह अलग दिखता है?
परिणाम: उन्होंने दिखाया कि इन छोटे, ज़ूम किए गए दृश्यों में भी, पर्वत उन्हीं सुरक्षा नियमों का पालन करता है। स्पाइक्स (spikes) इसलिए अधिक जंगली नहीं हो जाते क्योंकि आप मानचित्र के एक छोटे से हिस्से को देख रहे हैं।

सारांश

सरल शब्दों में:

धारणा: लेखक मानते हैं कि रीमान हाइपोथीसिस सत्य है।
लक्ष्य: वे जानना चाहते थे कि रीमान ज़ेटा फलन कितनी बार विशाल, रिकॉर्ड तोड़ने वाले मानों तक पहुँचता है।
विधि: उन्होंने समस्या को छोटे चरणों की एक श्रृंखला (एक रिकर्सिव लैडर) में तोड़ दिया और फलन के सुरक्षित पथ से "गिरने" की संभावना की गणना की।
निष्कर्ष: उन्होंने सिद्ध किया कि ये विशाल उछाल अत्यंत दुर्लभ हैं। उछाल जितना ऊंचा होगा, उसके होने की संभावना उतनी ही कम होगी, जो एक बहुत ही विशिष्ट गणितीय सूत्र का पालन करती है। यह फलन की औसत "ऊर्जा" पर सीमाओं की भी पुष्टि करता है।

उन्होंने किसी नए भौतिक नियम या चिकित्सा उपचार की खोज नहीं की; उन्होंने बस एक गणितीय रहस्य के चारों ओर एक मजबूत, अधिक सटीक घेरा बनाया है, यह दिखाते हुए कि ज़ेटा फलन का पागलपन (wildness) कितनी दूर तक फैल सकता है इससे पहले कि वह असंभव हो जाए।

यहाँ अरगिन (Arguin), बेली (Bailey), और रॉबर्ट्स (Roberts) के शोध पत्र "Conditional Upper Bounds for Large Deviations and Moments of the Riemann Zeta Function" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र क्रिटिकल लाइन $\text{Re}(s) = 1/2$ पर रीमान ज़ेटा फलन, $\zeta(s)$ , के बड़े मानों के वितरण को संबोधित करता है। विशेष रूप से, यह निम्नलिखित के लिए सटीक ऊपरी सीमा (upper bounds) स्थापित करने का प्रयास करता है:

लार्ज डेविएशन (Large Deviations): उन $t \in [T, 2T]$ का मापन जहाँ $|\zeta(1/2 + it)|$ एक थ्रेशोल्ड $(\log T)^k$ (या समकक्ष $\log|\zeta(1/2+it)| > V$ जहाँ $V \sim k \log \log T$ ) से अधिक हो जाता है।
मोमेंट्स (Moments): $|\zeta(1/2+it)|$ के $2k$ -वें मोमेंट्स, जिन्हें $\frac{1}{T} \int_T^{2T} |\zeta(1/2+it)|^{2k} dt$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

संदर्भ (Context):

सेलबर्ग का सेंट्रल लिमिट थ्योरम (Selberg's Central Limit Theorem) यह स्थापित करता है कि निश्चित $v$ के लिए $\log|\zeta(1/2+it)|$ एक गाऊसीियन रैंडम वेरिएबल की तरह व्यवहार करता है जिसका वेरिएंस $\frac{1}{2}\log \log T$ है।
साउंडराराजन (Soundararajan, 2009) ने सिद्ध किया कि रीमान हाइपोथीसिस (RH) के तहत, लार्ज डेविएशन का मापन लगभग $(\log T)^{-k^2}$ होता है।
हार्पर (Harper, 2013) ने मोमेंट्स के लिए बाउंड को $\ll e^{O(k)} (\log T)^{k^2}$ तक और अधिक सटीक बनाया।
अंतराल (The Gap): जबकि छोटे $k$ ( $0 \le k \le 2$ ) के लिए अनकंडीशनल बाउंड मौजूद हैं, बड़े $k$ के लिए हार्पर के सटीक मोमेंट बाउंड्स को विस्तारित करना और RH के तहत पूर्ण रेंज $V \sim k \log \log T$ के लिए सटीक लार्ज डेविएशन अनुमान स्थापित करना एक खुला प्रश्न बना हुआ था। इन बाउंड्स में प्रयुक्त होने वाले अनुकूलतम स्थिरांक (optimal constant) के बारे में कीटिंग-स्नेथ कंजेक्चर (Keating-Snaith conjecture) द्वारा भविष्यवाणी की गई है, जिसमें $k \to \infty$ होने पर तेजी से घटने वाले अंकगणितीय और ज्यामितीय स्थिरांक ( $a_k g_k$ ) शामिल होते हैं।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक परिष्कृत संभाव्यता दृष्टिकोण (probabilistic approach) का उपयोग करते हैं जो साउंडराराजन के कंडीशनल पॉइंटवाइज बाउंड को [ABR20] में विकसित की गई एक रिकर्सिव स्कीम (recursive scheme) के साथ जोड़ता है।

A. साउंडराराजन का पॉइंटवाइज बाउंड (Soundararajan's Pointwise Bound)

यह प्रमाण प्रोपोज़िशन 1.3 (साउंडराराजन) पर निर्भर करता है, जो कहता है कि RH के तहत, एक पैरामीटर $x$ के लिए, $\log|\zeta(1/2+it)|$ एक डिरिचलेट पॉलिनोम के रियल पार्ट और एक शेष पद (remainder term) द्वारा सीमित है:
$\log |\zeta(1/2+it)| \le \text{Re} \sum_{n \le x} \frac{a(n)\Lambda(n)}{n^{\sigma+it}\log n} + \text{Error}$
चुनौती यह है कि $x$ को इतना बड़ा चुना जाए कि वह मोमेंट्स के मुख्य योगदान को पकड़ सके, जबकि डिरिचलेट पॉलिनोम पर नियंत्रण बनाए रखते हुए गाऊसीियन व्यवहार सिद्ध किया जा सके।

B. रिकर्सिव स्कीम (घटनाओं का विखंडन - Decomposition of Events)

मुख्य नवाचार "खराब" घटना $H = \{ \log|\zeta(1/2+i\tau)| > V \}$ को "अच्छी" घटनाओं $G_\ell$ के योग में विखंडित करना है।

चेकपॉइंट्स (Checkpoints): अंतराल $[T, 2T]$ का विश्लेषण चेकपॉइंट्स की एक श्रृंखला $T_\ell = T^{\beta_\ell}$ के माध्यम से किया जाता है, जहाँ $\beta_\ell$ तेजी से घटता है।
आंशिक योग (Partial Sums): प्रत्येक चेकपॉइंट पर, लेखक डिरिचलेट पॉलिनोम के आंशिक योग $S^{(j)}_\ell$ को परिभाषित करते हैं। इन आंशिक योगों को टाइम इंडेक्स $t_\ell = \log \log T_\ell$ वाले रैंडम वॉक के रूप में मॉडल किया गया है।
अच्छी घटनाएँ ( $G_\ell$ ): घटना $G_\ell$ आंशिक योगों को लक्ष्य मान $V$ के लीनियर इंटरपोलेशन के आसपास एक "ट्यूब" के भीतर रहने के लिए प्रतिबंधित करती है। विशेष रूप से, $S^{(j)}_\ell \in [L_\ell, U_\ell]$ , जहाँ बैरियर्स (barriers) हैं:
$L_\ell = \kappa \log \log T_\ell - c_\ell, \quad U_\ell = \kappa \log \log T_\ell + c_\ell$
यहाँ $\kappa = V / \log \log T$ ग्रेडिएंट है, और $c_\ell$ अनुमत उतार-चढ़ाव (fluctuations) या बैरियर की चौड़ाई को दर्शाता है।
बैरियर की चौड़ाई (Barrier Width): एक महत्वपूर्ण तकनीकी विकल्प चौड़ाई $c_\ell = \beta_\ell^{-\gamma}$ (जहाँ $\gamma = 1/25$ ) है। यह चौड़ाई $\ell$ बढ़ने के साथ कम होती जाती है, जो रैंडम वॉक को उस लीनियर ट्रेंड के करीब रहने के लिए मजबूर करती है जो $V$ तक पहुँचने के लिए आवश्यक है।

C. अनुमान तकनीकें (Estimation Techniques)

घटना $H \cap (G_{\ell-1} \setminus G_\ell)$ (अर्थात, वॉक स्टेप $\ell$ पर ट्यूब से बाहर निकल जाता है) को बाउंड करने के लिए, लेखक विश्लेषण को दो भागों में विभाजित करते हैं:

अपर बैरियर (Upper Barrier): यूनियन बाउंड और डिरिचलेट पॉलिनोम के इंक्रीमेंट्स के लिए गाऊसीियन टेल एस्टीमेट्स का उपयोग करके।
लोअर बैरियर (Lower Barrier - नवीनता): यह सबसे कठिन भाग है। लेखक डिरिचलेट योगों के बीच के अंतर (discrepancy) के विश्लेषण के माध्यम से $\log|\zeta|$ की टेल को आंशिक योगों से जोड़ने के लिए साउंडराराजन के बाउंड (प्रोपोज़िशन 1.3) का उपयोग करते हैं। वे स्टेप $\ell$ पर स्थिति पर कंडीशन करते हैं और दिखाते हैं कि यदि योग निचले बैरियर से नीचे गिर जाता है, तो ज़ेटा फंक्शन का शेष भाग कुल ऊंचाई $V$ तक पहुँचने के लिए पर्याप्त नहीं होगा। इसमें विभिन्न एब्स्किसा (abscissae) ( $\sigma_j$ बनाम $\sigma_m$ ) के बीच के अंतर का सावधानीपूर्वक विश्लेषण शामिल है।
डिरिचलेट पॉलिनोम के मोमेंट्स: प्रमाण गाऊसीियन व्यवहार को अनुमानित करने के लिए स्वतंत्र स्टीनहाइस रैंड वेरिएबल (रैंडम फेजेस) के साथ डिरिचलेट पॉलिनोम की तुलना करने वाले मोमेंट एस्टीमेट्स (परिशिष्ट A) का उपयोग करते हैं।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

कंडीशनल लार्ज डेविएशन बाउंड: यह पेपर थ्योरम 1.1 को सिद्ध करता है, जो स्थापित करता है कि RH के तहत, $V \sim k \log \log T$ के लिए:
$\frac{1}{T} \text{meas} \{ t \in [T, 2T] : \log|\zeta(1/2+it)| > V \} \le C_k \frac{e^{-V^2 / \log \log T}}{\sqrt{\log \log T}}$
जहाँ $C_k = \exp(e^{ck})$ है। यह पुष्टि करता है कि गाऊसीियन उतार-चढ़ाव $V \sim k \log \log T$ की पूरी रेंज के लिए लार्ज डेविएशन रिजीम तक विस्तारित होते हैं।
शार्प मोमेंट बाउंड्स: लार्ज डेविएशन बाउंड को इंटीग्रेट करके, लेखक हार्पर के $2k$ -वें मोमेंट्स के लिए बाउंड प्राप्त करते हैं (कोरोलरी 1.2):
$\frac{1}{T} \int_T^{2T} |\zeta(1/2+it)|^{2k} dt \ll e^{eck} (\log T)^{k^2}$
यह $k \ge 2$ के लिए सत्य है (जो पहले $k < 2$ के लिए अनकंडीशनली और $k \ge 2$ के लिए कम सटीक स्थिरांकों के साथ कंडिशनली ज्ञात था)।
परिष्कृत रिकर्सिव स्कीम: यह पेपर साउंडराराजन के बाउंड का उपयोग करके "लोअर बैरियर" समस्या को अधिक प्रभावी ढंग से संभालने के माध्यम से [ABR20] योजना में सुधार करता है, जिससे बड़े $k$ को संभालना और डिरिचलेट पॉलिनोम ट्रंकेशन पर कड़ा नियंत्रण पाना संभव होता है।
शॉर्ट इंटरवल अनुप्रयोग: परिणामों को $(\log T)^\gamma$ लंबाई के लघु अंतराल (short intervals) तक विस्तारित किया गया है, जो इन अंतरालों में $|\zeta|$ के अधिकतम मान और इसके मोमेंट्स के लिए कंडीशनल अपर बाउंड प्रदान करते हैं (कोरोलरी 3.1 और 3.2)।

4. मुख्य परिणाम (Main Results)

थ्योरम 1.1: लार्ज मानों के मापन के लिए कंडीशनल अपर बाउंड प्रदान करता है। क्षय दर (decay rate) गाऊसीियन भविष्यवाणी $e^{-V^2 / \log \log T}$ से मेल खाती है, जो "गाऊसीियन टेल" व्यवहार की पुष्टि करती है।
कोरोलरी 1.2: मोमेंट बाउंड $\ll e^{O(k)} (\log T)^{k^2}$ स्थापित करता है। हालांकि स्थिरांक $C_k$ अभी तक कीटिंग-स्नेथ द्वारा अनुमानित अनुकूलतम $a_k g_k$ नहीं है (जो $k \to \infty$ होने पर 0 की ओर घटता है), $k$ पर इसकी एक्सपोनेंशियल डिपेंडेंस नियंत्रित है, और $\log T$ की पावर ठीक $k^2$ है।
कोरोलरी 3.1 और 3.2: इन बाउंड्स को लघु अंतरालों तक विस्तारित करते हैं, यह दिखाते हुए कि $(\log T)^\gamma$ लंबाई के अंतरालों में $|\zeta|$ का अधिकतम मान (लॉग फैक्टर्स के अपवाद के साथ) $(\log T)^{\sqrt{1+\gamma}}$ द्वारा सीमित है, RH के अधीन।

5. महत्व (Significance)

गाऊसीियन ह्यूरिस्टिक्स का सत्यापन: यह कार्य साक्ष्य प्रदान करता है कि $\log|\zeta|$ के लिए गाऊसीियन सेंट्रल लिमिट थ्योरम मजबूत है और लार्ज डेविएशन रिजीम तक विस्तारित होती है, जो ज़ेटा फंक्शन की अंकगणितीय प्रकृति को देखते हुए एक गैर-तुच्छ परिणाम है।
मोमेंट्स समस्या में प्रगति: यह रीमान हाइपोटिसिस के तहत ज्ञात मोमेंट बाउंड्स की सीमा को आगे बढ़ाता है। हालांकि अनुकूलतम स्थिरांक अभी भी मायावी है (जिसके लिए $T^{1/k^2}$ से $T^{1/k}$ की रेंज में अभाज्य संख्याओं के नियंत्रण की आवश्यकता है), यह पेपर इस अंतराल को महत्वपूर्ण रूप से कम करता है।
मेथोडोलॉजिकल प्रभाव: साउंडराराजन के बाउंड के साथ रिकर्सिव स्कीम $L$ -फंक्शन्स के चरम मानों का विश्लेषण करने के लिए एक शक्तिशाली नया टूलकिट प्रदान करती है। यह सुझाव देता है कि समान तकनीकों का उपयोग अन्य $L$ -फंक्शन्स के परिवारों के लिए शार्प लार्ज डेविएशन अनुमान प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।
लघु अंतराल (Short Intervals): लघु अंतरालों के लिए विस्तार ज़ेटा फंक्शन के स्थानीय व्यवहार को समझने के लिए महत्वपूर्ण है, जो ज़ेटा फंक्शन के अधिकतम मान के संबंध में फ्योडोरोव-हियरी-कीटिंग (Fyodorov-Hiary-Keating) अनुमान के लिए प्रासंगिक है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र रीमान ज़ेटा फंक्शन के विश्लेषणात्मक अंकगणित में एक महत्वपूर्ण कदम है, जो रीमान हाइपोथीसिस के अनुमान के तहत शास्त्रीय मोमेंट अनुमानों और लार्ज डेविएशन के अनुमानित व्यवहार के बीच के अंतर को सफलतापूर्वक पाटता है।