Conditional Upper Bounds for Large Deviations and Moments of the Riemann Zeta Function

1. Énoncé du problème

L'article traite de la distribution des grandes valeurs de la fonction zêta de Riemann, $\zeta(s)$, sur la ligne critique $\text{Re}(s) = 1/2$. Plus précisément, il vise à établir des bornes supérieures précises pour :

1. Les grandes déviations : La mesure de l'ensemble des $t \in [T, 2T]$ où $|\zeta(1/2 + it)|$ dépasse un seuil de l'ordre de $(\log T)^k$ (ou de manière équivalente, $\log|\zeta(1/2+it)| > V$ où $V \sim k \log \log T$).
2. Les moments : Les moments d'ordre $2k$ de $|\zeta(1/2+it)|$, définis par $\frac{1}{T} \int_T^{2T} |\zeta(1/2+it)|^{2k} dt$.

Contexte :

• Le théorème central limite de Selberg établit que $\log|\zeta(1/2+it)|$ se comporte comme une variable aléatoire gaussienne de variance $\frac{1}{2}\log \log T$ pour $v$ fixé.
• Soundararajan (2009) a prouvé que, sous l'hypothèse de Riemann (HR), la mesure des grandes déviations est approximativement $(\log T)^{-k^2}$.
• Harper (2013) a affiné la borne sur les moments à $\ll e^{O(k)} (\log T)^{k^2}$.
• Le fossé : Bien que des bornes inconditionnelles existent pour de petits $k$ ($0 \le k \le 2$), l'extension des bornes précises sur les moments de Harper à de plus grands $k$ et l'établissement d'estimations précises de grandes déviations pour toute la gamme de $V \sim k \log \log T$ sous HR restaient un défi ouvert. La constante optimale dans ces bornes est prédite par la conjecture de Keating-Snaith pour impliquer des constantes arithmétiques et géométriques ($a_k g_k$) qui décroissent rapidement lorsque $k \to \infty$.

2. Méthodologie

Les auteurs emploient une approche probabiliste sophistiquée combinant la borne ponctuelle conditionnelle de Soundararajan avec un schéma récursif précédemment développé dans [ABR20].

A. La borne ponctuelle de Soundararajan

La preuve repose sur la proposition 1.3 (Soundararajan), qui énonce que sous HR, pour un paramètre $x$, $\log|\zeta(1/2+it)|$ est borné par la partie réelle d'un polynôme de Dirichlet plus un terme d'erreur :
$$\log |\zeta(1/2+it)| \le \text{Re} \sum_{n \le x} \frac{a(n)\Lambda(n)}{n^{\sigma+it}\log n} + \text{Erreur}$$
Le défi consiste à choisir $x$ suffisamment grand pour capturer la contribution principale aux moments tout en maintenant le contrôle sur le polynôme de Dirichlet afin de prouver un comportement gaussien.

B. Le schéma récursif (Décomposition des événements)

L'innovation centrale est la décomposition de l'événement « mauvais » $H = \{ \log|\zeta(1/2+i\tau)| > V \}$ en une somme d'événements « bons » $G_\ell$.

1. Points de contrôle : L'intervalle $[T, 2T]$ est analysé à travers une séquence de points de contrôle $T_\ell = T^{\beta_\ell}$, où $\beta_\ell$ décroît de manière exponentielle.
2. Sommes partielles : À chaque point de contrôle, les auteurs définissent des sommes partielles $S^{(j)}_\ell$ du polynôme de Dirichlet. Ces sommes sont modélisées comme des marches aléatoires avec un indice de temps $t_\ell = \log \log T_\ell$.
3. Événements bons ($G_\ell$) : L'événement $G_\ell$ restreint les sommes partielles à rester dans un « tube » autour d'une interpolation linéaire de la valeur cible $V$. Plus précisément, $S^{(j)}_\ell \in [L_\ell, U_\ell]$, où les barrières sont :
   $$L_\ell = \kappa \log \log T_\ell - c_\ell, \quad U_\ell = \kappa \log \log T_\ell + c_\ell$$
   Ici, $\kappa = V / \log \log T$ est le gradient, et $c_\ell$ représente les fluctuations autorisées (largeur de la barrière).
4. Largeur de la barrière : Un choix technique critique est la largeur $c_\ell = \beta_\ell^{-\gamma}$ (avec $\gamma = 1/25$). Cette largeur se rétrécit à mesure que $\ell$ augmente, forçant la marche aléatoire à rester proche de la tendance linéaire requise pour atteindre la grande déviation $V$.

C. Techniques d'estimation

Pour borner la probabilité de l'événement $H \cap (G_{\ell-1} \setminus G_\ell)$ (c'est-à-dire que la marche sort du tube à l'étape $\ell$), les auteurs divisent l'analyse en :

• Barrière supérieure : Utilisation de bornes d'union et d'estimations de queue gaussienne pour les incréments des polynômes de Dirichlet.
• Barrière inférieure (La nouveauté) : C'est la partie la plus difficile. Les auteurs utilisent la borne de Soundararajan (proposition 1.3) pour relier la queue de $\log|\zeta|$ aux sommes partielles. Ils conditionnent sur la position à l'étape $\ell$ et montrent que si la somme descend en dessous de la barrière inférieure, la queue restante de la fonction zêta ne peut pas compenser pour atteindre la hauteur totale $V$. Cela implique une analyse minutieuse de la divergence entre différents abscisses ($\sigma_j$ vs $\sigma_m$) dans les sommes de Dirichlet.
• Moments des polynômes de Dirichlet : Les preuves utilisent des estimations de moments (Annexe A) comparant les polynômes de Dirichlet à des variables aléatoires de Steinhaus indépendantes (phases aléatoires) pour approximer un comportement gaussien.

3. Contributions clés

1. Borne conditionnelle de grande déviation : L'article prouve le théorème 1.1, établissant que sous HR, pour $V \sim k \log \log T$ :
   $$\frac{1}{T} \text{meas} \{ t \in [T, 2T] : \log|\zeta(1/2+it)| > V \} \le C_k \frac{e^{-V^2 / \log \log T}}{\sqrt{\log \log T}}$$
   où $C_k = \exp(e^{ck})$. Cela confirme que les fluctuations gaussiennes s'étendent au régime de grande déviation pour toute la gamme de $V \sim k \log \log T$.
2. Bornes précises sur les moments : En intégrant la borne de grande déviation, les auteurs retrouvent la borne de Harper pour les moments d'ordre $2k$ (Corollaire 1.2) :
   $$\frac{1}{T} \int_T^{2T} |\zeta(1/2+it)|^{2k} dt \ll e^{eck} (\log T)^{k^2}$$
   Cela vaut pour $k \ge 2$ (déjà connu pour $k < 2$ inconditionnellement et pour $k \ge 2$ conditionnellement mais avec des constantes moins précises).
3. Schéma récursif affiné : L'article améliore le schéma [ABR20] en traitant plus efficacement le problème de la « barrière inférieure » en utilisant la borne de Soundararajan, permettant des $k$ plus grands et un contrôle plus strict de la troncature du polynôme de Dirichlet.
4. Applications aux intervalles courts : Les résultats sont étendus à des intervalles courts de longueur $(\log T)^\gamma$, fournissant des bornes supérieures conditionnelles pour le maximum de $|\zeta|$ et ses moments dans ces intervalles (Corollaires 3.1 et 3.2).

4. Résultats principaux

• Théorème 1.1 : Fournit la borne supérieure conditionnelle pour la mesure des grandes valeurs. Le taux de décroissance correspond à la prédiction gaussienne $e^{-V^2 / \log \log T}$, confirmant le comportement de « queue gaussienne » même pour les grandes déviations.
• Corollaire 1.2 : Établit la borne sur les moments $\ll e^{O(k)} (\log T)^{k^2}$. Bien que la constante $C_k$ ne soit pas encore la constante optimale $a_k g_k$ prédite par Keating-Snaith (qui décroît vers 0 lorsque $k \to \infty$), la dépendance exponentielle en $k$ est contrôlée, et la puissance de $\log T$ est exactement $k^2$.
• Corollaires 3.1 et 3.2 : Étendent ces bornes aux intervalles courts, montrant que le maximum de $|\zeta|$ sur des intervalles de longueur $(\log T)^\gamma$ est borné par $(\log T)^{\sqrt{1+\gamma}}$ (à des facteurs logarithmiques près), conditionnellement à HR.

5. Importance

• Validation des heuristiques gaussiennes : Le travail fournit des preuves rigoureuses que le théorème central limite gaussien pour $\log|\zeta|$ est robuste et s'étend au régime de grande déviation, un résultat non trivial étant donné la nature arithmétique de la fonction zêta.
• Avancement du problème des moments : Il repousse la frontière des bornes de moments connues sous l'hypothèse de Riemann. Bien que la constante optimale reste insaisissable (nécessitant le contrôle des nombres premiers dans la plage de $T^{1/k^2}$ à $T^{1/k}$), cet article réduit considérablement le fossé.
• Impact méthodologique : Le schéma récursif combiné à la borne de Soundararajan offre une nouvelle boîte à outils puissante pour analyser les valeurs extrêmes des fonctions $L$. Il suggère que des techniques similaires pourraient être appliquées à d'autres familles de fonctions $L$ pour dériver des estimations précises de grandes déviations.
• Intervalles courts : L'extension aux intervalles courts est cruciale pour comprendre le comportement local de la fonction zêta, ce qui est pertinent pour la conjecture de Fyodorov-Hiary-Keating concernant le maximum de la fonction zêta.

En résumé, cet article représente une avancée significative dans la théorie analytique des nombres de la fonction zêta de Riemann, comblant avec succès le fossé entre les estimations classiques des moments et le comportement conjecturé des grandes déviations sous l'hypothèse de Riemann.