Conditional Upper Bounds for Large Deviations and Moments of the Riemann Zeta Function

1. Formulação do Problema

O artigo aborda a distribuição de valores grandes da função zeta de Riemann, $\zeta(s)$, sobre a linha crítica $\text{Re}(s) = 1/2$. Especificamente, busca estabelecer limites superiores precisos para:

1. Grandes Desvios: A medida do conjunto de $t \in [T, 2T]$ onde $|\zeta(1/2 + it)|$ excede um limiar da ordem de $(\log T)^k$ (ou equivalentemente, $\log|\zeta(1/2+it)| > V$ onde $V \sim k \log \log T$).
2. Momentos: Os momentos de ordem $2k$ de $|\zeta(1/2+it)|$, definidos como $\frac{1}{T} \int_T^{2T} |\zeta(1/2+it)|^{2k} dt$.

Contexto:

• Teorema do Limite Central de Selberg estabelece que $\log|\zeta(1/2+it)|$ comporta-se como uma variável aleatória Gaussiana com variância $\frac{1}{2}\log \log T$ para $v$ fixo.
• Soundararajan (2009) provou que, sob a Hipótese de Riemann (HR), a medida dos grandes desvios é aproximadamente $(\log T)^{-k^2}$.
• Harper (2013) refinou o limite sobre os momentos para $\ll e^{O(k)} (\log T)^{k^2}$.
• A Lacuna: Embora existam limites incondicionais para pequenos $k$ ($0 \le k \le 2$), estender os limites precisos de momentos de Harper para maiores $k$ e estabelecer estimativas precisas de grandes desvios para toda a faixa de $V \sim k \log \log T$ sob HR permanecia um desafio aberto. A constante ótima nestes limites é prevista pela conjectura de Keating-Snaith para envolver constantes aritméticas e geométricas ($a_k g_k$) que decaem rapidamente à medida que $k \to \infty$.

2. Metodologia

Os autores empregam uma abordagem probabilística sofisticada, combinando o limite pontual condicional de Soundararajan com um esquema recursivo desenvolvido anteriormente em [ABR20].

A. Limite Pontual de Soundararajan

A prova baseia-se na Proposição 1.3 (Soundararajan), que afirma que, sob HR, para um parâmetro $x$, $\log|\zeta(1/2+it)|$ é limitado pela parte real de um polinômio de Dirichle mais um termo de resto:
$$\log |\zeta(1/2+it)| \le \text{Re} \sum_{n \le x} \frac{a(n)\Lambda(n)}{n^{\sigma+it}\log n} + \text{Erro}$$
O desafio é escolher $x$ grande o suficiente para capturar a contribuição principal aos momentos, mantendo ao mesmo tempo o controle sobre o polinômio de Dirichlet para provar o comportamento Gaussiano.

B. O Esquema Recursivo (Decomposição de Eventos)

A inovação central é a decomposição do evento "ruim" $H = \{ \log|\zeta(1/2+i\tau)| > V \}$ em uma soma de eventos "bons" $G_\ell$.

1. Pontos de Checagem: O intervalo $[T, 2T]$ é analisado através de uma sequência de pontos de checagem $T_\ell = T^{\beta_\ell}$, onde $\beta_\ell$ decai exponencialmente.
2. Somas Parciais: Em cada ponto de checagem, os autores definem somas parciais $S^{(j)}_\ell$ do polinômio de Dirichlet. Estas somas são modeladas como passeios aleatórios com índice de tempo $t_\ell = \log \log T_\ell$.
3. Eventos Bons ($G_\ell$): O evento $G_\ell$ restringe as somas parciais a permanecerem dentro de um "tubo" ao redor de uma interpolação linear do valor alvo $V$. Especificamente, $S^{(j)}_\ell \in [L_\ell, U_\ell]$, onde as barreiras são:
   $$L_\ell = \kappa \log \log T_\ell - c_\ell, \quad U_\ell = \kappa \log \log T_\ell + c_\ell$$
   Aqui, $\kappa = V / \log \log T$ é o gradiente, e $c_\ell$ representa as flutuações permitidas (largura da barreira).
4. Largura da Barreira: Uma escolha técnica crítica é a largura $c_\ell = \beta_\ell^{-\gamma}$ (com $\gamma = 1/25$). Esta largura estreita à medida que $\ell$ aumenta, forçando o passeio aleatório a permanecer próximo da tendência linear necessária para atingir o grande desvio $V$.

C. Técnicas de Estimativa

Para limitar a probabilidade do evento $H \cap (G_{\ell-1} \setminus G_\ell)$ (ou seja, o passeio sai do tubo no passo $\ell$), os autores dividem a análise em:

• Barreira Superior: Usando limites de união e estimativas de cauda Gaussiana para os incrementos dos polinômios de Dirichlet.
• Barreira Inferior (A Novidade): Esta é a parte mais difícil. Os autores usam o limite de Soundararajan (Proposição 1.3) para relacionar a cauda de $\log|\zeta|$ às somas parciais. Eles condicionam a posição no passo $\ell$ e mostram que, se a soma cair abaixo da barreira inferior, o restante da cauda da função zeta não pode compensar para atingir a altura total $V$. Isso envolve uma análise cuidadosa da discrepância entre diferentes abscissas ($\sigma_j$ vs $\sigma_m$) nas somas de Dirichlet.
• Momentos de Polinômios de Dirichlet: As provas utilizam estimativas de momentos (Apêndice A) comparando polinômios de Dirichlet a variáveis aleatórias de Steinhaus independentes (fases aleatórias) para aproximar o comportamento Gaussiano.

3. Contribuições Principais

1. Limite Condicional de Grande Desvio: O artigo prova o Teorema 1.1, estabelecendo que, sob HR, para $V \sim k \log \log T$:
   $$\frac{1}{T} \text{med} \{ t \in [T, 2T] : \log|\zeta(1/2+it)| > V \} \le C_k \frac{e^{-V^2 / \log \log T}}{\sqrt{\log \log T}}$$
   onde $C_k = \exp(e^{ck})$. Isso confirma que as flutuações Gaussianas se estendem ao regime de grandes desvios para toda a faixa de $V \sim k \log \log T$.
2. Limites Precisos de Momentos: Ao integrar o limite de grandes desvios, os autores recuperam o limite de Harper para os momentos de ordem $2k$ (Corolário 1.2):
   $$\frac{1}{T} \int_T^{2T} |\zeta(1/2+it)|^{2k} dt \ll e^{eck} (\log T)^{k^2}$$
   Isso vale para $k \ge 2$ (anteriormente conhecido para $k < 2$ incondicionalmente e para $k \ge 2$ condicionalmente, mas com constantes menos precisas).
3. Esquema Recursivo Refinado: O artigo melhora o esquema [ABR20] ao lidar com o problema da "barreira inferior" de forma mais eficaz usando o limite de Soundararajan, permitindo maiores $k$ e controle mais rigoroso sobre o truncamento do polinômio de Dirichlet.
4. Aplicações em Intervalos Curtos: Os resultados são estendidos para intervalos curtos de comprimento $(\log T)^\gamma$, fornecendo limites superiores condicionais para o máximo de $|\zeta|$ e seus momentos nestes intervalos (Corolários 3.1 e 3.2).

4. Resultados Principais

• Teorema 1.1: Fornece o limite superior condicional para a medida de valores grandes. A taxa de decaimento corresponde à previsão Gaussiana $e^{-V^2 / \log \log T}$, confirmando o comportamento de "cauda Gaussiana" mesmo para grandes desvios.
• Corolário 1.2: Estabelece o limite de momentos $\ll e^{O(k)} (\log T)^{k^2}$. Embora a constante $C_k$ ainda não seja a ótima $a_k g_k$ prevista por Keating-Snaith (que decai para 0 à medida que $k \to \infty$), a dependência exponencial em $k$ é controlada, e a potência de $\log T$ é exatamente $k^2$.
• Corolário 3.1 e 3.2: Estendem estes limites para intervalos curtos, mostrando que o máximo de $|\zeta|$ em intervalos de comprimento $(\log T)^\gamma$ é limitado por $(\log T)^{\sqrt{1+\gamma}}$ (até fatores logarítmicos), condicionado à HR.

5. Significado

• Validação de Heurísticas Gaussianas: O trabalho fornece evidência rigorosa de que o Teorema do Limite Central Gaussiano para $\log|\zeta|$ é robusto e se estende ao regime de grandes desvios, um resultado não trivial dada a natureza aritmética da função zeta.
• Avanço no Problema dos Momentos: Empurra a fronteira dos limites de momentos conhecidos sob a Hipótese de Riemann. Embora a constante ótima permaneça elusiva (requerendo controle dos primos na faixa de $T^{1/k^2}$ a $T^{1/k}$), este artigo reduz significativamente a lacuna.
• Impacto Metodológico: O esquema recursivo combinado com o limite de Soundararajan oferece uma nova e poderosa caixa de ferramentas para analisar valores extremos de funções $L$. Sugere que técnicas semelhantes poderiam ser aplicadas a outras famílias de funções $L$ para derivar estimativas precisas de grandes desvios.
• Intervalos Curtos: A extensão para intervalos curtos é crucial para entender o comportamento local da função zeta, o que é relevante para a conjectura de Fyodorov-Hiary-Keating sobre o máximo da função zeta.

Em resumo, este artigo representa um passo significativo para a frente na teoria analítica dos números da função zeta de Riemann, conectando com sucesso a lacuna entre estimativas clássicas de momentos e o comportamento conjecturado de grandes desvios sob a suposição da Hipótese de Riemann.