Conditional Upper Bounds for Large Deviations and Moments of the Riemann Zeta Function

1. Enunciato del Problema

Il lavoro affronta la distribuzione dei grandi valori della funzione zeta di Riemann, $\zeta(s)$, sulla retta critica $\text{Re}(s) = 1/2$. Nello specifico, mira a stabilire limiti superiori precisi per:

1. Grandi Deviazioni: La misura dell'insieme di $t \in [T, 2T]$ per cui $|\zeta(1/2 + it)|$ supera una soglia dell'ordine di $(\log T)^k$ (o equivalentemente, $\log|\zeta(1/2+it)| > V$ dove $V \sim k \log \log T$).
2. Momenti: I momenti di ordine $2k$ di $|\zeta(1/2+it)|$, definiti come $\frac{1}{T} \int_T^{2T} |\zeta(1/2+it)|^{2k} dt$.

Contesto:

• Il Teorema del Limite Centrale di Selberg stabilisce che $\log|\zeta(1/2+it)|$ si comporta come una variabile casuale Gaussiana con varianza $\frac{1}{2}\log \log T$ per $v$ fissato.
• Soundararajan (2009) ha dimostrato che, sotto l'Ipotesi di Riemann (RH), la misura delle grandi deviazioni è approssimativamente $(\log T)^{-k^2}$.
• Harper (2013) ha affinato il limite sui momenti a $\ll e^{O(k)} (\log T)^{k^2}$.
• Il Divario: Sebbene esistano limiti incondizionati per piccoli $k$ ($0 \le k \le 2$), estendere i limiti precisi sui momenti di Harper a $k$ più grandi e stabilire stime precise sulle grandi deviazioni per l'intero intervallo di $V \sim k \log \log T$ sotto RH rimaneva una sfida aperta. La costante ottimale in questi limiti è prevista dalla congettura di Keating-Snaith come avente a che fare con costanti aritmetiche e geometriche ($a_k g_k$) che decadono rapidamente al tendere di $k \to \infty$.

2. Metodologia

Gli autori impiegano un approccio probabilistico sofisticato che combina il limite puntuale condizionato di Soundararajan con uno schema ricorsivo precedentemente sviluppato in [ABR20].

A. Limite Puntuale di Soundararajan

La dimostrazione si basa sulla Proposizione 1.3 (Soundararajan), che afferma che, sotto RH, per un parametro $x$, $\log|\zeta(1/2+it)|$ è limitato dalla parte reale di un polinomio di Dirichle più un termine di resto:
$$\log |\zeta(1/2+it)| \le \text{Re} \sum_{n \le x} \frac{a(n)\Lambda(n)}{n^{\sigma+it}\log n} + \text{Errore}$$
La sfida consiste nel scegliere $x$ sufficientemente grande da catturare il contributo principale ai momenti, mantenendo al contempo il controllo sul polinomio di Dirichlet per dimostrare il comportamento Gaussiano.

B. Lo Schema Ricorsivo (Decomposizione degli Eventi)

L'innovazione centrale è la decomposizione dell'evento "cattivo" $H = \{ \log|\zeta(1/2+i\tau)| > V \}$ in una somma di eventi "buoni" $G_\ell$.

1. Punti di Controllo: L'intervallo $[T, 2T]$ è analizzato attraverso una sequenza di punti di controllo $T_\ell = T^{\beta_\ell}$, dove $\beta_\ell$ decresce esponenzialmente.
2. Somme Parziali: Ad ogni punto di controllo, gli autori definiscono somme parziali $S^{(j)}_\ell$ del polinomio di Dirichlet. Queste somme sono modellate come cammini casuali con indice temporale $t_\ell = \log \log T_\ell$.
3. Eventi Buoni ($G_\ell$): L'evento $G_\ell$ vincola le somme parziali a rimanere all'interno di un "tubo" attorno a un'interpolazione lineare del valore target $V$. Nello specifico, $S^{(j)}_\ell \in [L_\ell, U_\ell]$, dove le barriere sono:
   $$L_\ell = \kappa \log \log T_\ell - c_\ell, \quad U_\ell = \kappa \log \log T_\ell + c_\ell$$
   Qui, $\kappa = V / \log \log T$ è il gradiente, e $c_\ell$ rappresenta le fluttuazioni ammesse (larghezza della barriera).
4. Larghezza della Barriera: Una scelta tecnica critica è la larghezza $c_\ell = \beta_\ell^{-\gamma}$ (con $\gamma = 1/25$). Questa larghezza si restringe all'aumentare di $\ell$, costringendo il cammino casuale a rimanere vicino alla tendenza lineare richiesta per raggiungere la grande deviazione $V$.

C. Tecniche di Stima

Per limitare la probabilità dell'evento $H \cap (G_{\ell-1} \setminus G_\ell)$ (cioè, il cammino esce dal tubo al passo $\ell$), gli autori dividono l'analisi in:

• Barriera Superiore: Utilizzando limiti di unione e stime della coda Gaussiana per gli incrementi dei polinomi di Dirichlet.
• Barriera Inferiore (La Novità): Questa è la parte più difficile. Gli autori utilizzano il limite di Soundararajan (Proposizione 1.3) per relazionare la coda di $\log|\zeta|$ alle somme parziali. Condizionano la posizione al passo $\ell$ e dimostrano che se la somma scende sotto la barriera inferiore, la coda rimanente della funzione zeta non può compensare per raggiungere l'altezza totale $V$. Ciò comporta un'attenta analisi della discrepanza tra diversi abscisse ($\sigma_j$ vs $\sigma_m$) nelle somme di Dirichlet.
• Momenti dei Polinomi di Dirichlet: Le dimostrazioni utilizzano stime dei momenti (Appendice A) confrontando i polinomi di Dirichlet con variabili casuali Steinhaus indipendenti (fasi casuali) per approssimare il comportamento Gaussiano.

3. Contributi Chiave

1. Limite Condizionato sulle Grandi Deviazioni: Il lavoro dimostra il Teorema 1.1, stabilendo che sotto RH, per $V \sim k \log \log T$:
   $$\frac{1}{T} \text{mis} \{ t \in [T, 2T] : \log|\zeta(1/2+it)| > V \} \le C_k \frac{e^{-V^2 / \log \log T}}{\sqrt{\log \log T}}$$
   dove $C_k = \exp(e^{ck})$. Ciò conferma che le fluttuazioni Gaussiane si estendono al regime delle grandi deviazioni per l'intero intervallo di $V \sim k \log \log T$.
2. Limiti Precisi sui Momenti: Integrando il limite sulle grandi deviazioni, gli autori recuperano il limite di Harper per i momenti di ordine $2k$ (Corollario 1.2):
   $$\frac{1}{T} \int_T^{2T} |\zeta(1/2+it)|^{2k} dt \ll e^{eck} (\log T)^{k^2}$$
   Questo vale per $k \ge 2$ (precedentemente noto per $k < 2$ incondizionatamente e per $k \ge 2$ condizionatamente ma con costanti meno precise).
3. Schema Ricorsivo Raffinato: Il lavoro migliora lo schema [ABR20] gestendo il problema della "barriera inferiore" in modo più efficace utilizzando il limite di Soundararajan, permettendo $k$ più grandi e un controllo più stretto sulla troncatura del polinomio di Dirichlet.
4. Applicazioni su Intervalli Brevi: I risultati sono estesi a intervalli brevi di lunghezza $(\log T)^\gamma$, fornendo limiti superiori condizionati per il massimo di $|\zeta|$ e i suoi momenti in questi intervalli (Corollari 3.1 e 3.2).

4. Risultati Principali

• Teorema 1.1: Fornisce il limite superiore condizionato per la misura dei grandi valori. Il tasso di decadimento corrisponde alla previsione Gaussiana $e^{-V^2 / \log \log T}$, confermando il comportamento della "coda Gaussiana" anche per grandi deviazioni.
• Corollario 1.2: Stabilisce il limite sui momenti $\ll e^{O(k)} (\log T)^{k^2}$. Sebbene la costante $C_k$ non sia ancora la $a_k g_k$ ottimale prevista da Keating-Snaith (che decade a 0 al tendere di $k \to \infty$), la dipendenza esponenziale da $k$ è controllata e la potenza di $\log T$ è esattamente $k^2$.
• Corollari 3.1 e 3.2: Estendono questi limiti agli intervalli brevi, mostrando che il massimo di $|\zeta|$ su intervalli di lunghezza $(\log T)^\gamma$ è limitato da $(\log T)^{\sqrt{1+\gamma}}$ (a meno di fattori logaritmici), condizionatamente a RH.

5. Significato

• Validazione delle Euristiche Gaussiane: Il lavoro fornisce prove rigorose che il Teorema del Limite Centrale Gaussiano per $\log|\zeta|$ è robusto e si estende al regime delle grandi deviazioni, un risultato non banale data la natura aritmetica della funzione zeta.
• Avanzamento del Problema dei Momenti: Spinge i confini dei limiti noti sui momenti sotto l'Ipotesi di Riemann. Sebbene la costante ottimale rimanga sfuggente (richiedendo il controllo dei primi nell'intervallo da $T^{1/k^2}$ a $T^{1/k}$), questo lavoro riduce significativamente il divario.
• Impatto Metodologico: Lo schema ricorsivo combinato con il limite di Soundararajan offre un nuovo potente insieme di strumenti per analizzare i valori estremi delle funzioni $L$. Suggerisce che tecniche simili potrebbero essere applicate ad altre famiglie di funzioni $L$ per derivare stime precise sulle grandi deviazioni.
• Intervalli Brevi: L'estensione agli intervalli brevi è cruciale per comprendere il comportamento locale della funzione zeta, che è rilevante per la congettura di Fyodorov-Hiary-Keating riguardante il massimo della funzione zeta.

In sintesi, questo lavoro rappresenta un passo significativo avanti nella teoria analitica dei numeri della funzione zeta di Riemann, colmando con successo il divario tra le stime classiche dei momenti e il comportamento congetturato delle grandi deviazioni sotto l'assunzione dell'Ipotesi di Riemann.