An Inverse Source Problem For a Time-Fractional Mixed Wave-Diffusion-Wave Equation in a Cylindrical Domain

तकनीकी सारांश: एक बेलनाकार डोमेन में एक टाइम-फ्रैक्शनल मिक्स्ड वेव-डिफ्यूजन-वेव समीकरण के लिए एक इनवर्स सोर्स समस्या

समस्या का निरूपण
यह शोध पत्र एक बेलनाकार डोमेन $\Omega$ के भीतर परिभाषित एक मिश्रित-प्रकार के फ्रैक्शनल वेव-डिफ्यूजन-वेव समीकरण के लिए एक इनवर्स सोर्स समस्या की जांच करता है। नियंत्रित समीकरण उन भौतिक प्रक्रियाओं को मॉडल करता है जहाँ प्रणाली विशिष्ट समय अंतरालों पर तरंग-समान (wave-like) और विसरण (diffusive) व्यवहारों के बीच संक्रमण करती है। विशेष रूप से, डोमेन को तीन टेम्पोरल क्षेत्रों ($\Omega_1, \Omega_2, \Omega_3$) में विभाजित किया गया है जो $T_1$ और $T_2$ समय बिंदुओं द्वारा अलग किए गए हैं।

नियंत्रित समीकरण प्रभाकर-कैपुटो (Prabhakar-Caputo) फ्रैक्शनल डेरिवेटिव $P CD^{\alpha, \beta, \gamma, \delta}_{at}$ का उपयोग करता है, जो एक तीन-पैरामीटर मिटेल-लेफ़र कर्नेल (Mittag-Leffler kernel) को शामिल करके शास्त्रीय कैपुटो डेरिवेटिव का सामान्यीकरण करता है। यह ऑपरेटर असामान्य परिवहन प्रक्रियाओं (anomalous transport processes), जैसे कि सरंध्र माध्यम (porous media) में गैस प्रवाह, में निहित जटिल मेमोरी प्रभावों और मल्टी-स्केल रिलैक्सेशन घटनाओं को मॉडल करने की अनुमति देता है। समीकरण का रूप इस प्रकार है:
$$P CD^{\alpha_i, \beta_i, \gamma_i, \delta}_{t_{i-1}t} u(t, r) - \Delta u(t, r) = f(r)$$
जहाँ फ्रैक्शनल ऑर्डर $\beta$ अंतरालों के माध्यम से बदलता है: $1 < \beta_1 \leq 2$ (तरंग-समान), $0 < \beta_2 \leq 1$ (विसरण), और $1 < \beta_3 \leq 2$ (तरंग-समान)। स्थानिक ऑपरेटर $\Delta$ ध्रुवीय निर्देशांकों (polar coordinates) में लैपलेसियन है।

इनवर्स समस्या का उद्देश्य अज्ञात युग्म $\{u(t, r), f(r)\}$ को निर्धारित करना है, जहाँ स्रोत पद $f(r)$ अज्ञात है और केवल स्थानिक चर पर निर्भर करता है। समस्या को निम्नलिखित द्वारा पूरक किया गया है:

• $t=0$ पर प्रारंभिक स्थितियाँ (initial conditions)।
• $r=0$ और $r=1$ पर सीमा स्थितियाँ (boundary conditions)।
• ट्रांसमिशन स्थितियाँ जो समाधान की निरंतरता और संक्रमण समय $T_1$ और $T_2$ पर फ्रैक्शनल डेरिवेटिव्स की विशिष्ट सीमाओं को सुनिश्चित करती हैं।
• एक अतिरिक्त अंतिम-समय मापन स्थिति $u(\xi, r) = \psi(r)$, जो एक निश्चित समय $\xi \in [T_1, T_2]$ के लिए है।

कार्यप्रणाली
लेखक समाधान का निर्माण करने के लिए 'सेपरेशन ऑफ वेरिएबल्स' (separation of variables) पद्धति का उपयोग करते हैं। स्थानिक घटक को स्टर्म-लिउविल (Sturm-Liouville) सिस्टम का उपयोग करके हल किया जाता है, जिससे प्रथम प्रकार के शून्य-क्रम बेसेल फलन (zero-order Bessel functions of the first kind), $J_0(\mu_k r)$, के रूप में आइगेनफंक्शंस प्राप्त होते हैं, जहाँ $\mu_k$ सीमा स्थितियों के मूल (roots) हैं।

टेम्पोरल घटकों को प्रत्येक मोड $k$ के लिए फ्रैक्शनल डिफरेंशियल समीकरणों के एक अनुक्रम में कम किया जाता है। इन समीकरणों के सामान्य समाधान द्विचर मिटेल-लेफ़र प्रकार के फलनों ($E_2$) का उपयोग करके व्यक्त किए जाते हैं, जो प्रभाकर फ्रैक्शनल इंटीग्रल और डेरिवेटिव ऑपरेटरों से स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं।

इनवर्स समस्या को हल करने के लिए, लेखक:

1. अज्ञात समाधान $u(t, r)$ और अज्ञात स्रोत $f(r)$ को फूरियर-बेसेल सीरीज़ विस्तार (Fourier-Bessel series expansions) के रूप में व्यक्त करते हैं।
2. प्रारंभिक, सीमा, ट्रांसमिशन और अंतिम-समय मापन स्थितियों को लागू करके सीरीज़ के अज्ञात गुणांकों के लिए रैखिक बीजगणितीय समीकरणों का एक निकाय व्युत्पन्न करते हैं।
3. अज्ञात गुणांकों ($A_{k}$) और स्रोत फलन के फूरियर-बेसेल गुणांकों ($f_k$) को स्पष्ट रूप से हल करने के लिए क्रेमर नियम (Cramer's rule) का उपयोग करते हैं।
4. समाधान की विशिष्टता (uniqueness) सुनिश्चित करने के लिए सिस्टम के डिटरमिनेंट ($\tilde{\Delta}_k$) का विश्लेषण करते हैं।

मुख्य परिणाम

• स्पष्ट विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व: शोध पत्र बेसेल फलनों और द्विचर मिटेल-लेफ़र फलनों वाले अनंत श्रृंखलाओं के संदर्भ में अज्ञात स्रोत फलन $f(r)$ और समाधान $u(t, r)$ के लिए स्पष्ट विश्लेषणात्मक सूत्र व्युत्पन्न करता है।
• अस्तित्व और विशिष्टता: लेखक यह सिद्ध करते हैं कि गुणांकों के समीकरणों का एक अद्वितीय समाधान होता है, बशर्ते कि मुख्य डिटरमिनेंट $\tilde{\Delta}_k$ गैर-शून्य हो। लेम्मा 4.1 दर्शाता है कि $\lim_{k \to \infty} \tilde{\Delta}_k = T_1 > 0$, जो यह सुनिश्चित करता है कि पर्याप्त बड़े $k$ के लिए डिटरमिनेंट गैर-शून्य है।
• समान अभिसरण (Uniform Convergence): अनंत श्रृंखला समाधान के समान अभिसरण का एक कठोर प्रमाण प्रदान किया गया है। द्विचर मिटेल-लेफ़र फलनों के स्पर्शोन्मुखी गुणों (asymptotic properties) और फूरियर-बेसेल गुणांकों के ह्रास दरों (decay rates) का उपयोग करते हुए (जो इनपुट डेटा $\phi(r)$ और $\psi(r)$ की सुगमता पर आधारित है), लेखक स्थापित करते हैं कि विशिष्ट नियमितता शर्तों के तहत (विशेष रूप से, यदि इनपुट फलन कम से कम 10 बार अवकलनीय हैं और कुछ सीमा लुप्त होने की शर्तों को पूरा करते हैं) श्रृंखला पूर्ण और समान रूप से अभिसरित होती है।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि यह बेलनाकार डोमेन में मिश्रित-प्रकार के फ्रैक्शनल इवोल्यूशन समीकरणों के लिए इनवर्स सोर्स समस्याओं को हल करने के लिए एक कठोर गणितीय ढांचा प्रदान करता है। प्राथमिक योगदान प्रभाकर फ्रैक्शनल डेरिवेटिव तक इन समस्याओं का विस्तार करना है, जो मानक कैपुटा या रीमान-लिउविल डेरिवेटिव की तुलना में मेमोरी प्रभावों को मॉडल करने के लिए अधिक लचीलापन प्रदान करता है।

लेखक समीकरण की "टाइम-स्विच्ड" प्रकृति को सफलतापूर्वक संभालने पर जोर देते हैं, जहाँ प्रणाली तरंग और विसरण शासन (regimes) के बीच संक्रमण करती है। यह कार्य प्रभाकर कर्नेल को शामिल करके और बेलनाकार ज्यामिति में परिणामी सीरीज़ समाधानों के अभिसरण को स्थापित करके, शास्त्रीय पैराबोलिक-हाइपरबोलिक समीकरणों और फ्रैक्शनल वेव-डिफ्यूजन सिस्टम पर पिछले अध्ययनों का सामान्यीकरण करता है। अध्ययन नए प्रयोगात्मक सेटअप या विशिष्ट संख्यात्मक सिमुलेशन का प्रस्ताव नहीं करता है बल्कि विश्लेषणात्मक समाधान के सैद्धांतिक अस्तित्व, विशिष्टता और अभिसरण पर केंद्रित है।