An Inverse Source Problem For a Time-Fractional Mixed Wave-Diffusion-Wave Equation in a Cylindrical Domain

Resumo Técnico: Um Problema de Fonte Inversa para uma Equação Mista de Onda-Difusão-Onda Fracionária no Tempo em um Domínio Cilíndrico

Formulação do Problema
Este artigo investiga um problema de fonte inversa para uma equação de onda-difusão-onda fracionária de tipo misto definida dentro de um domínio cilíndrico $\Omega$. A equação governante modela processos físicos onde o sistema transita entre comportamentos ondulatórios e difusivos em intervalos de tempo distintos. Especificamente, o domínio é partitionado em três regiões temporais ($\Omega_1, \Omega_2, \Omega_3$) separadas pelos instantes de tempo $T_1$ e $T_2$.

A equação governante envolve a derivada fracionária de Prabhakar-Caputo, denotada como $P CD^{\alpha, \beta, \gamma, \delta}_{at}$, que generaliza a derivada de Caputo clássica ao incorporar um núcleo de Mittag-Leffler com três parâmetros. Este operador permite a modelagem de efeitos de memória complexos e fenômenos de relaxação multiescala inerentes a processos de transporte anômalos, como o fluxo de gás em meios porosos. A equação assume a forma:
$$P CD^{\alpha_i, \beta_i, \gamma_i, \delta}_{t_{i-1}t} u(t, r) - \Delta u(t, r) = f(r)$$
onde a ordem fracionária $\beta$ varia entre os intervalos: $1 < \beta_1 \leq 2$ (ondulatório), $0 < \beta_2 \leq 1$ (difusivo) e $1 < \beta_3 \leq 2$ (ondulatório). O operador espacial $\Delta$ é o Laplaciano em coordenadas polares.

O problema inverso busca determinar o par de funções $\{u(t, r), f(r)\}$, onde o termo fonte $f(r)$ é desconhecido e depende apenas da variável espacial. O problema é suplementado com:

• Condições iniciais em $t=0$.
• Condições de contorno em $r=0$ e $r=1$.
• Condições de transmissão garantindo a continuidade da solução e limites específicos das derivadas fracionárias nos instantes de transição $T_1$ e $T_2$.
• Uma condição adicional de medição no tempo final $u(\xi, r) = \psi(r)$ para um tempo fixo $\xi \in [T_1, T_2]$.

Metodologia
Os autores empregam o método de separação de variáveis para construir a solução. O componente espacial é resolvido utilizando um sistema de Sturm-Liouville, produzindo autofunções na forma de funções de Bessel de primeira espécie de ordem zero, $J_0(\mu_k r)$, onde $\mu_k$ são as raízes das condições de contorno.

Os componentes temporais são reduzidos a uma sequência de equações diferenciais fracionárias para cada modo $k$. As soluções gerais para essas equações são expressas usando funções do tipo Mittag-Leffler bivariadas ($E_2$), que surgem naturalmente dos operadores de integral e derivada fracionária de Prabhakar.

Para resolver o problema inverso, os autores:

1. Expressam a solução desconhecida $u(t, r)$ e a fonte desconhecida $f(r)$ como expansões em séries de Fourier-Bessel.
2. Derivam um sistema de equações algébricas lineares para os coeficientes desconhecidos da série aplicando as condições iniciais, de contorno, de transmissão e de medição no tempo final.
3. Utilizam a regra de Cramer para resolver explicitamente os coeficientes desconhecidos ($A_{k}$) e os coeficientes de Fourier-Bessel da função fonte ($f_k$).
4. Analisam o determinante do sistema ($\tilde{\Delta}_k$) para garantir a unicidade da solução.

Resultados Chave

• Representação Analítica Explícita: O artigo deriva fórmulas analíticas explícitas para a função fonte desconhecida $f(r)$ e a solução $u(t, r)$ em termos de séries infinitas envolvendo funções de Bessel e funções de Mittag-Leffler bivariadas.
• Existência e Unicidade: Os autores provam que o sistema de equações para os coeficientes possui uma solução única, desde que o determinante principal $\tilde{\Delta}_k$ seja não nulo. O Lema 4.1 demonstra que $\lim_{k \to \infty} \tilde{\Delta}_k = T_1 > 0$, garantindo que o determinante seja não nulo para $k$ suficientemente grande.
• Convergência Uniforme: É fornecida uma prova rigorosa da convergência uniforme da solução em série infinita. Ao utilizar as propriedades assintóticas das funções de Mittag-Leffler bivariadas e as taxas de decaimento dos coeficientes de Fourier-Bessel (baseadas na suavidade dos dados de entrada $\phi(r)$ e $\psi(r)$), os autores estabelecem que a série converge absoluta e uniformemente sob condições específicas de regularidade (especificamente, se as funções de entrada forem diferenciáveis pelo menos 10 vezes e satisfizerem certas condições de anulação de contorno).

Significado e Afirmativas
O artigo afirma fornecer uma estrutura matemática rigorosa para a resolução de problemas de fonte inversa em equações de evolução fracionárias de tipo misto dentro de domínios cilíndricos. A contribuição primária reside na extensão desses problemas para a derivada fracionária de Prabhakar, que oferece maior flexibilidade na modelagem de efeitos de memória em comparação com as derivadas de Caputo ou Riemann-Liouville padrão.

Os autores enfatizam que sua abordagem lida com sucesso com a natureza "comutada no tempo" da equação, onde o sistema transita entre regimes de onda e difusão. O trabalho generaliza estudos anteriores sobre equações parabólico-hiperbólicas clássicas e sistemas de onda-difusão fracionários, incorporando o núcleo de Prabhakar mais complexo e estabelecendo a convergência das soluções em série resultantes em uma geometria cilíndrica. O estudo não propõe novos setups experimentais ou simulações numéricas específicas, mas foca na existência teórica, unicidade e convergência da solução analítica.