An Inverse Source Problem For a Time-Fractional Mixed Wave-Diffusion-Wave Equation in a Cylindrical Domain

Resumen Técnico: Un Problema de Fuente Inversa para una Ecuación de Onda-Difusión-Onda Mixta de Orden Fraccionario en un Dominio Cilíndrico

Formulación del Problema
Este artículo investiga un problema de fuente inversa para una ecuación de onda-difusión de tipo mixto de orden fraccionario definida dentro de un dominio cilíndrico $\Omega$. La ecuación gobernante modela procesos físicos donde el sistema transita entre comportamientos tipo onda y tipo difusión a lo largo de intervalos de tiempo distintos. Específicamente, el dominio se divide en tres regiones temporales ($\Omega_1, \Omega_2, \Omega_3$) separadas por los instantes de tiempo $T_1$ y $T_2$.

La ecuación gobernante involucra la derivada fraccionaria de Prabhakar-Caputo, denotada como $P CD^{\alpha, \beta, \gamma, \delta}_{at}$, que generaliza la derivada de Caputo clásica al incorporar un núcleo de Mittag-Leffler de tres parámetros. Este operador permite modelar efectos de memoria complejos y fenómenos de relajación multiescala inherentes a procesos de transporte anómalo, como el flujo de gas en medios porosos. La ecuación toma la forma:
$$P CD^{\alpha_i, \beta_i, \gamma_i, \delta}_{t_{i-1}t} u(t, r) - \Delta u(t, r) = f(r)$$
donde el orden fraccionario $\beta$ varía a través de los intervalos: $1 < \beta_1 \leq 2$ (tipo onda), $0 < \beta_2 \leq 1$ (difusivo) y $1 < \beta_3 \leq 2$ (tipo onda). El operador espacial $\Delta$ es el laplaciano en coordenadas polares.

El problema inverso busca determinar el par de funciones $\{u(t, r), f(r)\}$, donde el término fuente $f(r)$ es desconocido y depende únicamente de la variable espacial. El problema se complementa con:

• Condiciones iniciales en $t=0$.
• Condiciones de frontera en $r=0$ y $r=1$.
• Condiciones de transmisión que aseguran la continuidad de la solución y límites específicos de las derivadas fraccionarias en los tiempos de transición $T_1$ y $T_2$.
• Una condición adicional de medición en tiempo final $u(\xi, r) = \psi(r)$ para un tiempo fijo $\xi \in [T_1, T_2]$.

Metodología
Los autores emplean el método de separación de variables para construir la solución. El componente espacial se resuelve utilizando un sistema de Sturm-Liouville, obteniendo autofunciones en forma de funciones de Bessel de orden cero de la primera especie, $J_0(\mu_k r)$, donde $\mu_k$ son las raíces de las condiciones de frontera.

Los componentes temporales se reducen a una secuencia de ecuaciones diferenciales fraccionarias para cada modo $k$. Las soluciones generales para estas ecuaciones se expresan utilizando funciones de tipo Mittag-Leffler bivariadas ($E_2$), que surgen naturalmente de los operadores de integral y derivada fraccionaria de Prabhakar.

Para resolver el problema inverso, los autores:

1. Expresan la solución desconocida $u(t, r)$ y la fuente desconocida $f(r)$ como desarrollos en series de Fourier-Bessel.
2. Derivan un sistema de ecuaciones algebraicas lineales para los coeficientes desconocidos de la serie aplicando las condiciones iniciales, de frontera, de transmisión y de medición en tiempo final.
3. Utilizan la regla de Cramer para resolver explícitamente los coeficientes desconocidos ($A_{k}$) y los coeficientes de Fourier-Bessel de la función fuente ($f_k$).
4. Analizan el determinante del sistema ($\tilde{\Delta}_k$) para garantizar la unicidad de la solución.

Resultados Clave

• Representación Analítica Explícita: El artículo deriva fórmulas analíticas explícitas para la función fuente desconocida $f(r)$ y la solución $u(t, r)$ en términos de series infinitas que involucran funciones de Bessel y funciones de Mittag-Leffler bivariadas.
• Existencia y Unicidad: Los autores demuestran que el sistema de ecuaciones para los coeficientes tiene una solución única, siempre que el determinante principal $\tilde{\Delta}_k$ sea distinto de cero. El Lema 4.1 demuestra que $\lim_{k \to \infty} \tilde{\Delta}_k = T_1 > 0$, asegurando que el determinante sea distinto de cero para $k$ suficientemente grande.
• Convergencia Uniforme: Se proporciona una demostración rigurosa de la convergencia uniforme de la solución en serie infinita. Mediante el uso de las propiedades asintóticas de las funciones de Mittag-Leffler bivariadas y las tasas de decaimiento de los coeficientes de Fourier-Bessel (basadas en la suavidad de los datos de entrada $\phi(r)$ y $\psi(r)$), los autores establecen que la serie converge absoluta y uniformemente bajo condiciones de regularidad específicas (específicamente, si las funciones de entrada son diferenciables al menos 10 veces y satisfacen ciertas condiciones de anulación en la frontera).

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma proporcionar un marco matemático riguroso para resolver problemas de fuente inversa en ecuaciones de evolución fraccionarias de tipo mixto dentro de dominios cilíndricos. La contribución principal radica en la extensión de estos problemas a la derivada fraccionaria de Prabhakar, la cual ofrece mayor flexibilidad en el modelado de efectos de memoria en comparación con las derivadas estándar de Caputo o Riemann-Liouville.

Los autores enfatizan que su enfoque maneja con éxito la naturaleza de "conmutación temporal" de la ecuación, donde el sistema transita entre regímenes de onda y difusión. El trabajo generaliza estudios previos sobre ecuaciones parabólico-hiperbólicas clásicas y sistemas de onda-difusión fraccionarios al incorporar el núcleo de Prabhakar más complejo y establecer la convergencia de las soluciones en serie resultantes en una geometría cilíndrica. El estudio no propone nuevos montajes experimentales ni simulaciones numéricas específicas, sino que se centra en la existencia teórica, la unicidad y la convergencia de la solución analítica.