An Inverse Source Problem For a Time-Fractional Mixed Wave-Diffusion-Wave Equation in a Cylindrical Domain

Sintesi Tecnica: Un Problema di Sorgente Inversa per un'Equazione Mista Onda-Diffusione-Onda a Derivata Temporale Frazionaria in un Dominio Cilindrico

Formulazione del Problema
Questo articolo investiga un problema di sorgente inversa per un'equazione frazionaria mista onda-diffusione-onda definita all'interno di un dominio cilindrico $\Omega$. L'equazione governativa modella processi fisici in cui il sistema transita tra comportamenti di tipo ondulatorio e diffusivo in intervalli di tempo distinti. Nello specifico, il dominio è partizionato in tre regioni temporali ($\Omega_1, \Omega_2, \Omega_3$) separate dai punti temporali $T_1$ e $T_2$.

L'equazione governativa coinvolge la derivata frazionaria di Prabhakar-Caputo, indicata come $P CD^{\alpha, \beta, \gamma, \delta}_{at}$, che generalizza la derivata di Caputo classica incorporando un nucleo di Mittag-Leffler a tre parametri. Questo operatore consente di modellare effetti di memoria complessi e fenomeni di rilassamento multi-scala intrinseci ai processi di trasporto anomalo, come il flusso di gas in mezzi porosi. L'equazione assume la forma:
$$P CD^{\alpha_i, \beta_i, \gamma_i, \delta}_{t_{i-1}t} u(t, r) - \Delta u(t, r) = f(r)$$
dove l'ordine frazionario $\beta$ varia attraverso gli intervalli: $1 < \beta_1 \leq 2$ (tipo onda), $0 < \beta_2 \leq 1$ (diffusivo) e $1 < \beta_3 \leq 2$ (tipo onda). L'operatore spaziale $\Delta$ è l'operatore di Laplace in coordinate polari.

Il problema inverso mira a determinare la coppia di funzioni $\{u(t, r), f(r)\}$, dove il termine sorgente $f(r)$ è sconosciuto e dipende solo dalla variabile spaziale. Il problema è integrato con:

• Condizioni iniziali a $t=0$.
• Condizioni al contorno a $r=0$ e $r=1$.
• Condizioni di trasmissione che garantiscono la continuità della soluzione e limiti specifici delle derivate frazionarie nei tempi di transizione $T_1$ e $T_2$.
• Una condizione aggiuntiva di misura al tempo finale $u(\xi, r) = \psi(r)$ per un tempo fisso $\xi \in [T_1, T_2]$.

Metodologia
Gli autori impiegano il metodo di separazione delle variabili per costruire la soluzione. La componente spaziale è risolta utilizzando un sistema di Sturm-Liouville, producendo autofunzioni sotto forma di funzioni di Bessel di prima specie di ordine zero, $J_0(\mu_k r)$, dove $\mu_k$ sono le radici delle condizioni al contorno.

Le componenti temporali sono ridotte a una sequenza di equazioni differenziali frazionarie per ogni modo $k$. Le soluzioni generali per queste equazioni sono espresse utilizzando funzioni di tipo Mittag-Leffler bivariato ($E_2$), che sorgono naturalmente dagli operatori di integrale e derivata frazionaria di Prabhakar.

Per risolvere il problema inverso, gli autori:

1. Esprimono la soluzione sconosciuta $u(t, r)$ e la sorgente sconosciuta $f(r)$ come sviluppi in serie di Fourier-Bessel.
2. Derivano un sistema di equazioni algebriche lineari per i coefficienti incogniti della serie applicando le condizioni iniziali, al contorno, di trasmissione e di misura al tempo finale.
3. Utilizzano la regola di Cramer per risolvere esplicitamente i coefficienti incogniti ($A_{k}$) e i coefficienti di Fourier-Bessel della funzione sorgente ($f_k$).
4. Analizzano il determinante del sistema ($\tilde{\Delta}_k$) per garantire l'unicità della soluzione.

Risultati Chiave

• Rappresentazione Analitica Esplicita: L'articolo deriva formule analitiche esplicite per la funzione sorgente sconosciuta $f(r)$ e per la soluzione $u(t, r)$ in termini di serie infinite che coinvolgono funzioni di Bessel e funzioni di Mittag-Leffler bivariato.
• Esistenza e Unicità: Gli autori dimostrano che il sistema di equazioni per i coefficienti ammette una soluzione unica, a condizione che il determinante principale $\tilde{\Delta}_k$ sia non nullo. Il Lemma 4.1 dimostra che $\lim_{k \to \infty} \tilde{\Delta}_k = T_1 > 0$, garantendo che il determinante sia non nullo per $k$ sufficientemente grande.
• Convergenza Uniforme: Viene fornita una dimostrazione rigorosa della convergenza uniforme della soluzione in serie infinita. Sfruttando le proprietà asintotiche delle funzioni di Mittag-Leffler bivariato e i tassi di decadimento dei coefficienti di Fourier-Bessel (basati sulla regolarità dei dati di ingresso $\phi(r)$ e $\psi(r)$), gli autori stabiliscono che la serie converge assolutamente e uniformemente sotto specifiche condizioni di regolarità (nello specifico, se le funzioni di ingresso sono differenziabili almeno 10 volte e soddisfano determinate condizioni di annullamento al contorno).

Significato e Affermazioni
L'articolo afferma di fornire un quadro matematico rigoroso per la risoluzione di problemi di sorgente inversa in equazioni di evoluzione frazionarie di tipo misto all'interno di domini cilindrici. Il contributo principale risiede nell'estensione di tali problemi alla derivata frazionaria di Prabhakar, che offre maggiore flessibilità nella modellazione degli effetti di memoria rispetto alle derivate standard di Caputo o Riemann-Liouville.

Gli autori sottolineano che il loro approccio gestisce con successo la natura "commutata nel tempo" dell'equazione, in cui il sistema transita tra regimi ondulatori e diffusivi. Il lavoro generalizza studi precedenti su equazioni paraboliche-iperboliche classiche e sistemi onda-diffusione frazionari, incorporando il nucleo di Prabhakar più complesso e stabilendo la convergenza delle soluzioni in serie risultanti in una geometria cilindrica. Lo studio non propone nuovi setup sperimentali o simulazioni numeriche specifiche, ma si concentra sull'esistenza teorica, l'unicità e la convergenza della soluzione analitica.