The Privacy Subsidy in Continuous-Time Kyle: Cumulative Welfare under Noise-Perturbed Order-Flow Observation

तकनीकी सारांश: निरंतर-समय (Continuous-Time) काइल में गोपनीयता सब्सिडी (The Privacy Subsidy in Continuous-Time Kyle)

समस्या विवरण (Problem Statement)
यह शोध पत्र विकेंद्रीकृत वित्त (DeFi) के भीतर, विशेष रूप से ऑटोमेटेड मार्केट मेकर्स (AMMs) और ऑर्डर-फ्लो एग्रीगेशन के संदर्भ में, गोपनीयता-संरक्षण तंत्रों (privacy-preserving mechanisms) के कल्याण संबंधी निहितार्थों को संबोधित करता है। जबकि साथी शोध पत्र [12] ने एक एकल-अवधि (single-period) काइल मॉडल में एक बंद-रूप (closed-form) "गोपनीयता सब्सिडी"—जो कि प्रोटोकॉल के लिक्विडिटी पूल से व्यापारियों को होने वाला एक हस्तांतरण है—स्थापित किया था, यह कार्य विश्लेषण को निरंतर-समय (continuous-time) सेटिंग में विस्तारित करता है। मुख्य समस्या उस संचयी अपेक्षित हानि (cumulative expected loss) को मापना है जो एक प्रतिबद्ध बेयसियन मार्केट मेकर (MM) द्वारा तब अनुभव की जाती है जब वह स्वतंत्र गाऊसी गोपनीयता शोर (Gaussian privacy noise) से विचलित स्वतंत्र कुल ऑर्डर फ्लो का अवलोकन करता है। शास्त्रीय प्रतिस्पर्धी मार्केट मेकर्स के विपरीत, जो शून्य-लाभ की स्थिति लागू करते हैं, यह मॉडल एक "प्रतिबद्ध" (committed) मूल्य निर्धारण नियम (जो कि स्मार्ट-कॉन्ट्रैक्ट-आधारित AMMs के लिए विशिष्ट है) मानता है, जहाँ MM शोर वाले अवलोकनों पर बेयस नियम (Bayes' rule) के माध्यम से कीमतों को अपडेट करता है, लेकिन शून्य लाभ सुनिश्चित करने के लिए गतिशील रूप से समायोजन नहीं करता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
यह विश्लेषण निरंतर-समय काइल-बैक फ्रेमवर्क [1] का उपयोग करता है, जिसे गोपनीयता-एग्रीगेटेड सूचना के अनुकूल बनाया गया है।

• मॉडल प्रिमिटिव्स (Model Primitives): मॉडल में एक ट्रेडिंग होराइजन $[0, 1]$, एक सूचित व्यापारी (informed trader) जो सामान्य संपत्ति मूल्य $v$ का अवलोकन करता है, शोर व्यापारी (noise traders) जो फ्लो $du_t = \sigma_u dW^u_t$ प्रस्तुत करते हैं, और एक गोपनीयता चैनल जो स्वतंत्र ब्राउनियन शोर $d\varepsilon_t = \sigma_\varepsilon dW^\varepsilon_t$ जोड़ता है, शामिल है। मार्केट मेकर विचलित फ्लो $d\tilde{y}_t = dy_t + d\varepsilon_t$ का अवलोकन करता है।
• मूल्य निर्धारण नियम (Pricing Rule): MM एक प्रतिबद्ध रैखिक मूल्य निर्धारण नियम $dp_t = \lambda_t d\tilde{y}_t$ का उपयोग करता है, जहाँ $\lambda_t$ बेयस प्रोजेक्शन आइडेंटिटी से प्राप्त पूर्व-निर्धारित (ex-ante) फिक्स्ड कलमन गेन (Kalman gain) है। महत्वपूर्ण रूप से, यह मॉडल प्रतिस्पर्धी काइल मॉडलों में पाए जाने वाले शून्य-लाभ संतुलन प्रतिबंध को लागू नहीं करता है; इसके बजाय, यह परिणामी गैर-शून्य अपेक्षित लाभ (या हानि) को अध्ययन के विषय के रूप में स्वीकार करता है।
• संतुलन व्युत्पत्ति (Equilibrium Derivation): लेखक सूचित व्यक्ति की रणनीति ($dx_t = \beta_t(v - p_t)dt$) के लिए एक रैखिक मार्कोवियन एन्सैम्बल (linear Markovian ansatz) का उपयोग करते हैं और संबंधित हैमिल्टन-जैकोबी-बेलमैन (HJB) समीकरण को हल करते हैं। समाधान मानक काइल-बैक तर्कसंगतता स्थिति $\Sigma(1) = 0$ (क्षितिज पर पूर्ण सूचना प्रकटीकरण) पर निर्भर करता है ताकि संतुलन मापदंडों को निर्धारित किया जा सके।
• कल्याण लेखांकन (Welfare Accounting): संचयी गोपनीयता सब्सिडी को तीन प्रतिभागियों के बीच: सूचित व्यापारी, शोर व्यापारी और मार्केट मेकर के बीच कुल अपेक्षित कल्याण को विभाजित करके निकाला जाता है। MM के अपेक्षित लाभ की गणना सिस्टम को संतुलित करने के लिए आवश्यक अवशेष (residual) के रूप में की जाती है।

मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)
यह शोध पत्र तीन प्राथमिक परिणाम स्थापित करता है:

1. प्रमेय 1 (मार्कोवियन लीनियर इक्विलिब्रियम): प्रतिबद्ध बेयसियन-AMM मूल्य निर्धारण नियम के तहत, जिसमें गोपनीयता शोर तीव्रता $\sigma_\varepsilon$ है, अद्वितीय संतुलन में एक स्थिर मूल्य-प्रभाव गुणांक (constant price-impact coefficient) $\lambda = \sigma_v / \sqrt{\sigma_u^2 + \sigma_\varepsilon^2}$ और एक रैखिक रूप से घटता हुआ पोस्टीरियर वेरिएंस $\Sigma(t) = \sigma_v^2(1-t)$ होता है। गोपनीयता शोर की उपस्थिति प्रभावी रूप से शोर व्यापारी की अस्थिरता (volatility) को $\sigma_u$ से बढ़ाकर $\sqrt{\sigma_u^2 + \sigma_\varepsilon^2}$ कर देती है।

2. प्रमेय 2 (संचयी गोपनीयता सब्सिडी): शोध पत्र क्षितिज $[0, 1]$ के दौरान लिक्विडिटी पूल से व्यापारियों को होने वाले संचयी अपेक्षित हस्तांतरण (गोपनीयता सब्सिडी) के लिए एक बंद-रूप अभिव्यक्ति व्युत्पन्न करता है:
   $$|\Pi_M| = \frac{\sigma_v \sigma_\varepsilon^2}{\sqrt{\sigma_u^2 + \sigma_\varepsilon^2}}$$
   लेखक नोट करते हैं कि यह मान [12] में व्युत्पन्न एकल-अवधि एनालॉग से ठीक दोगुना है। वे स्पष्ट करते हैं कि यह "दोहराव" एकल-अवधि से निरंतर-समय काइल-बैक संक्रमण की एक मानक विशेषता है (जहाँ सूचित व्यापारी का लाभ भी दोगुना हो जाता है) और यह गोपनीयता तंत्र का कोई विशिष्ट प्रभाव नहीं है।

3. प्रस्ताव 1 (LVR के साथ संरचनात्मक द्वैतता/Structural Duality with LVR): यह शोध पत्र निरंतर-प्रोडक्ट AMMs में मिलिओनिस एट अल. [10] द्वारा पहचाने गए लॉस-वर्सस-रीबैलेंसिंग (LVR) और काइल बाजारों में गोपनीयता सब्सिडी के बीच एक संरचनात्मक द्वैतता स्थापित करता है।

   • LVR प्रतिबद्ध AMM कर्व और बाहरी मूल्य अवलोकन के बीच बेमेल के कारण होने वाले कल्याण हानि को मापता है।
   • गोपनीयता सब्सिडी प्रतिबद्ध मूल्य निर्धारण नियम और ऑर्डर-फ्लो अवलोकन के बीच बेमेल के कारण होने वाले कल्याण हानि को मापती है।
     दोनों कल्याण दरें प्रासंगिक शोर चालक (price diffusion बनाम गोपनीयता शोर) की स्क्वेर्ड इंटेंसिटी और प्रतिबद्ध वस्तु के एक फलन (function) को फैक्टराइज़ करती हैं। यह द्वैतता प्रतिबद्ध-कर्व एक्सचेंजों के लिए ब्रेक-ईवन फीस को कैलिब्रेट करने के लिए एक एकीकृत ढांचा प्रदान करती है।

महत्व और दावे (Significance and Claims)
यह शोध पत्र दावा करता है कि यह गोपनीयता-एग्रीगेटेड सूचना वातावरण के तहत काम करने वाले प्रतिबद्ध-AMM एक्सचेंजों के लिए ब्रेक-ईवन फीस को मापने के कार्यक्रम को पूरा करता है। इसका महत्व निम्नलिखित में निहित है:

• साहित्य को जोड़ना: यह इनसाइडर ट्रेडिंग (काइल/बैक) के माइक्रोस्ट्रक्चर साहित्य को DeFi के LVR (वैल्यू लॉस) साहित्य से जोड़ता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि गोपनीयता शोर, मूल्य अवलोकन अंतराल के संरचनात्मक रूप से समान एक कल्याण अंतर (welfare gap) बनाता है।
• गोपनीयता लागत का परिचालन (Operationalizing Privacy Costs): यह लिक्विडिटी पूल की सॉल्वेंसी के संदर्भ में "गोपनीयता की लागत" के लिए एक सटीक, बंद-रूप मीट्रिक प्रदान करता है। लेखकों का तर्क है कि एक प्रोटोकॉल के सॉल्वेंट होने के लिए, संचयी शुल्क राजस्व इस संचयी गोपनीयता सब्सिडी से अधिक होना चाहिए।
• डिजाइन निहितार्थ:
  • समय-अपरिवर्तनीयता (Time-Invariance): निरंतर-समय सीमा में, संचयी सब्सिडी गोपनीयता शोर के समय-औसत वेरिएंस पर निर्भर करती है, न कि उसके टेम्पोरल प्रोफाइल पर। इसका तात्पर्य यह है कि प्रोटोकॉल औसत बजट को बदले बिना गोपनीयता इंजेक्शन (जैसे क्षितिज के पास कमजोर गोपनीयता) को रणनीतिक रूप से शेड्यूल करके सब्सिडी को कम नहीं कर सकते हैं।
  • फीस कैलिब्रेशन: व्युत्पन्न सूत्र प्रोपोर्शनल फीस सेट करने के लिए एक सीधा तरीका प्रदान करता है, जो CFMMs में LVR द्वारा सूचित किया जाता है।
  • डिस्क्रीट बनाम निरंतर (Discrete vs. Continuous): लेखक चेतावनी देते हैं कि हालांकि निरंतर-समय मॉडल एक स्वच्छ क्लोज्ड फॉर्म प्रदान करता है, व्यावहारिक कार्यान्वयन (शील्डेड AMM, MPC इंजन) को डिस्क्रीट-ब्लॉक डिप्लॉयमेंट के रूप में व्याख्या किया जाना चाहिए जहाँ गोपनीयता बजट सीमित है, क्योंकि एक निश्चित तीव्रता वाला निरंतर ब्राउनियन गोपनीयता चैनल, फाइनाइट डिफरेंशियल प्राइवेसी गारंटी के साथ असंगत है।

शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि ये परिणाम गाऊसी शोर के लिए मान्य हैं और गैर-गाऊसी शोर (जैसे डिफरेंशियल प्राइवेसी के लिए लैप्लेस) या जंप प्रक्रियाओं के लिए विस्तार भविष्य के कार्य के लिए खुले हैं।