The Privacy Subsidy in Continuous-Time Kyle: Cumulative Welfare under Noise-Perturbed Order-Flow Observation

Technische Zusammenfassung: Das Privatsphären-Subsidium im Kyle-Modell mit kontinuierlicher Zeit

Problemstellung
Dieses Papier untersucht die Wohlfahrtsimplikationen privatsphäreschützender Mechanismen im dezentralen Finanzwesen (DeFi), speziell im Kontext von Automated Market Makers (AMMs) und der Aggregation von Orderflows. Während das Begleitpapier [12] in einem Kyle-Modell mit einer Periode eine geschlossene Form des „Privatsphären-Subsidiums" – eines Transfers von der Liquiditätspool eines Protokolls zu den Händlern – etablierte, erweitert diese Arbeit die Analyse auf ein Setting mit kontinuierlicher Zeit. Das Kernproblem besteht in der Quantifizierung des kumulativen erwarteten Verlusts, der einem engagierten bayesschen Market Maker (MM) entsteht, der den aggregierten Orderflow beobachtet, der durch unabhängiges gaußsches Privatsphärenrauschen gestört ist. Im Gegensatz zu klassischen wettbewerbsfähigen Market Makern, die eine Gewinn-null-Bedingung durchsetzen, geht das Modell von einer „engagierten" Preisregel aus (typisch für smart-contract-basierte AMMs), bei der der MM Preise mittels Bayes-Regel auf gestörten Beobachtungen aktualisiert, aber nicht dynamisch anpasst, um einen Gewinn von null zu gewährleisten.

Methodik
Die Analyse verwendet das Kyle–Back-Modell mit kontinuierlicher Zeit [1], angepasst für privatsphäre-aggregierte Informationen.

• Modell-Primitiva: Das Modell umfasst einen Handelszeitraum $[0, 1]$, einen informierten Händler, der einen normalverteilten Vermögenswert $v$ beobachtet, Noise-Trader, die einen Flow $du_t = \sigma_u dW^u_t$ einreichen, und einen Privatsphärenkanal, der unabhängiges Brownsches Rauschen $d\varepsilon_t = \sigma_\varepsilon dW^\varepsilon_t$ hinzufügt. Der Market Maker beobachtet den gestörten Flow $d\tilde{y}_t = dy_t + d\varepsilon_t$.
• Preisregel: Der MM verwendet eine engagierte lineare Preisregel $dp_t = \lambda_t d\tilde{y}_t$, wobei $\lambda_t$ der ex-ante festgelegte Kalman-Gewinn ist, der aus der Bayes-Projektionsidentität abgeleitet wird. Entscheidend ist, dass das Modell keine Gewinn-null-Gleichgewichtsbedingung auferlegt, wie sie in wettbewerbsfähigen Kyle-Modellen zu finden ist; stattdessen wird der daraus resultierende erwartete Gewinn (oder Verlust) ungleich null als Untersuchungsgegenstand akzeptiert.
• Gleichgewichtsableitung: Die Autoren nutzen einen linearen Markov-Ansatz für die Strategie des Insider ($dx_t = \beta_t(v - p_t)dt$) und lösen die zugehörige Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung (HJB). Die Lösung stützt sich auf die Standard-Kyle–Back-Rationalitätsbedingung $\Sigma(1) = 0$ (vollständige Informationsaufdeckung am Horizont), um die Gleichgewichtsparameter zu bestimmen.
• Wohlfahrtsrechnung: Das kumulative Privatsphären-Subsidium wird durch Zerlegung der gesamten erwarteten Wohlfahrt unter den drei Teilnehmern abgeleitet: dem informierten Händler, den Noise-Tradern und dem Market Maker. Der erwartete Gewinn des MM wird als Residual berechnet, das erforderlich ist, um das System auszugleichen.

Hauptbeiträge und Ergebnisse
Das Papier etabliert drei primäre Ergebnisse:

1. Satz 1 (Markovisches lineares Gleichgewicht): Unter der engagierten bayesschen-AMM-Preisregel mit Privatsphären-Rauschintensität $\sigma_\varepsilon$ weist das eindeutige Gleichgewicht einen konstanten Preis-Impact-Koeffizienten $\lambda = \sigma_v / \sqrt{\sigma_u^2 + \sigma_\varepsilon^2}$ und eine linear abnehmende Posterior-Varianz $\Sigma(t) = \sigma_v^2(1-t)$ auf. Das Vorhandensein von Privatsphärenrauschen erhöht die Noise-Trader-Volatilität in den Gleichgewichtsbedingungen effektiv von $\sigma_u$ auf $\sqrt{\sigma_u^2 + \sigma_\varepsilon^2}$.

2. Satz 2 (Kumulatives Privatsphären-Subsidium): Das Papier leitet einen geschlossenen Ausdruck für den kumulativen erwarteten Transfer vom Liquiditätspool zu den Händlern (das Privatsphären-Subsidium) über den Zeitraum $[0, 1]$ her:
   $$|\Pi_M| = \frac{\sigma_v \sigma_\varepsilon^2}{\sqrt{\sigma_u^2 + \sigma_\varepsilon^2}}$$
   Die Autoren stellen fest, dass dieser Wert genau dem Doppelten des in [12] abgeleiteten Analogons für eine Periode entspricht. Sie klären, dass diese „Verdopplung" ein Standardmerkmal des Kyle–Back-Übergangs von Modellen mit einer Periode zu Modellen mit kontinuierlicher Zeit ist (in denen sich auch die Gewinne des informierten Händlers verdoppeln) und kein spezifisches Artefakt des Privatsphärenmechanismus darstellt.

3. Proposition 1 (Strukturelle Dualität mit LVR): Das Papier stellt eine strukturelle Dualität zwischen dem Loss-Versus-Rebalancing (LVR), der von Milionis et al. [10] in AMMs mit konstantem Produkt identifiziert wurde, und dem Privatsphären-Subsidium in Kyle-Märkten her.

   • LVR quantifiziert den Wohlfahrtsverlust aufgrund einer Diskrepanz zwischen der engagierten AMM-Kurve und der externen Preisbeobachtung.
   • Privatsphären-Subsidium quantifiziert den Wohlfahrtsverlust aufgrund einer Diskrepanz zwischen der engagierten Preisregel und der Orderflow-Beobachtung.
     Beide Wohlfahrtsraten faktorisieren sich in die quadrierte Intensität des relevanten Rausch-Treibers (Preisdiffusion vs. Privatsphärenrauschen) und eine Funktion des engagierten Objekts. Diese Dualität bietet einen einheitlichen Rahmen für die Kalibrierung von Break-even-Gebühren in Exchange mit engagierten Kurven.

Bedeutung und Behauptungen
Das Papier behauptet, das Programm zur Quantifizierung von Break-even-Gebühren für Exchange mit engagierten AMMs, die unter Umgebungen mit privatsphäre-aggregierten Informationen operieren, abzuschließen. Seine Bedeutung liegt in:

• Verknüpfung der Literatur: Es verbindet die mikrostrukturelle Literatur über Insiderhandel (Kyle/Back) mit der DeFi-Literatur über Wohlfahrtsverluste bei AMMs (LVR) und zeigt, dass Privatsphärenrauschen eine Wohlfahrtslücke erzeugt, die strukturell identisch mit Preislücken ist.
• Operationalisierung von Privatsphärenkosten: Es liefert eine präzise, geschlossene Metrik für die „Kosten der Privatsphäre" in Bezug auf die Solvenz von Liquiditätspools. Die Autoren argumentieren, dass für die Solvenz eines Protokolls die kumulative Gebühreneinnahme dieses kumulative Privatsphären-Subsidium übersteigen muss.
• Design-Implikationen:
  • Zeitinvarianz: Im Grenzwert der kontinuierlichen Zeit hängt das kumulative Subsidium nur von der zeitlich gemittelten Varianz des Privatsphärenrauschens ab, nicht von seinem zeitlichen Profil. Dies impliziert, dass Protokolle das Subsidium nicht durch strategische Planung der Privatsphären-Injektion reduzieren können (z. B. schwächere Privatsphäre nahe dem Horizont), ohne das durchschnittliche Budget zu ändern.
  • Gebührekalibrierung: Die abgeleitete Formel bietet eine direkte Methode zur Festlegung proportionaler Gebühren, um das Privatsphären-Subsidium zu decken, analog dazu, wie LVR Gebührenstrukturen in CFMMs informiert.
  • Diskret vs. Kontinuierlich: Die Autoren warnen, dass das Modell mit kontinuierlicher Zeit zwar eine saubere geschlossene Form liefert, praktische Implementierungen (geschützte AMMs, MPC-Engines) jedoch als Bereitstellungen in diskreten Blöcken interpretiert werden müssen, bei denen das Privatsphärenbudget endlich ist, da ein kontinuierlicher Brownscher Privatsphärenkanal mit fester Intensität mit endlichen Differential-Privacy-Garantien unvereinbar ist.

Das Papier schließt mit dem Hinweis, dass diese Ergebnisse für gaußsches Rauschen gelten und Erweiterungen auf nicht-gaußsches Rauschen (z. B. Laplace für Differential Privacy) oder Sprungprozesse für zukünftige Arbeiten offen bleiben.