The Privacy Subsidy in Continuous-Time Kyle: Cumulative Welfare under Noise-Perturbed Order-Flow Observation

Technische Samenvatting: De Privacy-subsidie in Continuous-Time Kyle

Probleemstelling
Dit artikel behandelt de welvaartsimplicaties van privacybehoudende mechanismen in gedecentraliseerde financiën (DeFi), specifiek binnen de context van Automated Market Makers (AMMs) en orderflow-aggregatie. Waar het begeleidende artikel [12] een gesloten-vorm "privacy-subsidie" vaststelde—een transfer van een protocol's liquiditeitspool naar handelaren—in een Kyle-model met één periode, breidt dit werk de analyse uit naar een continue-tijdsetting. Het kernprobleem is het kwantificeren van het cumulatieve verwachte verlies dat wordt geleden door een gecommitteerde Bayesiaanse marktmaker (MM) die geaggregeerde orderflow observeert, verstoord door onafhankelijke Gaussische privacyruis. In tegenstelling tot klassieke concurrerende marktmakers die een winstloosheidsvoorwaarde afdwingen, gaat het model uit van een "gecommitteerde" prijsbepalingsregel (typisch voor op slimme contracten gebaseerde AMMs) waarbij de MM prijzen bijwerkt via de Bayes-regel op ruisbeïnvloede observaties, maar niet dynamisch aanpast om winstloosheid te garanderen.

Methodologie
De analyse maakt gebruik van het continuous-time Kyle–Back-raamwerk [1], aangepast voor privacy-aggregatie van informatie.

• Modelprimitieven: Het model kent een handelshorizon $[0, 1]$, een geïnformeerde handelaar die een normale assetwaarde $v$ observeert, ruishandelaren die flow indienen $du_t = \sigma_u dW^u_t$, en een privacykanaal dat onafhankelijke Brownse ruis toevoegt $d\varepsilon_t = \sigma_\varepsilon dW^\varepsilon_t$. De marktmaker observeert de verstoorde flow $d\tilde{y}_t = dy_t + d\varepsilon_t$.
• Prijsbepalingsregel: De MM gebruikt een gecommitteerde lineaire prijsbepalingsregel $dp_t = \lambda_t d\tilde{y}_t$, waarbij $\lambda_t$ de ex-ante vaste Kalman-gain is, afgeleid uit de Bayes-projectie-identiteit. Cruciaal is dat het model geen winstloosheids-evenwichtsvoorwaarde oplegt zoals in concurrerende Kyle-modellen; in plaats daarvan accepteert het het resulterende niet-nul verwachte winst (of verlies) als het onderzoeksobject.
• Evenwichtsafleiding: De auteurs maken gebruik van een lineair Markoviaans ansatz voor de strategie van de insider ($dx_t = \beta_t(v - p_t)dt$) en lossen de bijbehorende Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)-vergelijking op. De oplossing vertrouwt op de standaard Kyle–Back rationaliteitsvoorwaarde $\Sigma(1) = 0$ (volledige informatievulling aan het einde van de horizon) om de evenwichtsparameters te bepalen.
• Welvaartrekening: De cumulatieve privacy-subsidie wordt afgeleid door de totale verwachte welvaart te ontleden onder de drie deelnemers: de geïnformeerde handelaar, ruishandelaren en de marktmaker. De verwachte winst van de MM wordt berekend als het residu dat nodig is om het systeem in evenwicht te brengen.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten
Het artikel stelt drie primaire resultaten vast:

1. Stelling 1 (Markoviaans Lineair Evenwicht): Onder de gecommitteerde Bayesiaanse-AMM prijsbepalingsregel met privacyruisintensiteit $\sigma_\varepsilon$, kenmerkt het unieke evenwicht zich door een constante prijsimpactcoëfficiënt $\lambda = \sigma_v / \sqrt{\sigma_u^2 + \sigma_\varepsilon^2}$ en een lineair afnemende posteriorvariantie $\Sigma(t) = \sigma_v^2(1-t)$. De aanwezigheid van privacyruis verhoogt effectief de ruis-handelaarvolatiliteit van $\sigma_u$ naar $\sqrt{\sigma_u^2 + \sigma_\varepsilon^2}$ in de evenwichtsvoorwaarden.

2. Stelling 2 (Cumulatieve Privacy-subsidie): Het artikel leidt een gesloten-vorm uitdrukking af voor de cumulatieve verwachte transfer van de liquiditeitspool naar handelaren (de privacy-subsidie) over de horizon $[0, 1]$:
   $$|\Pi_M| = \frac{\sigma_v \sigma_\varepsilon^2}{\sqrt{\sigma_u^2 + \sigma_\varepsilon^2}}$$
   De auteurs merken op dat deze waarde exact tweemaal de analoge waarde voor één periode is die in [12] werd afgeleid. Zij verduidelijken dat deze "verdubbeling" een standaardkenmerk is van de Kyle–Back-overgang van single-period naar continuous-time modellen (waarbij de winsten van de geïnformeerde handelaar ook verdubbelen) en geen specifiek artefact van het privacy-mechanisme is.

3. Propositie 1 (Structurele Dualiteit met LVR): Het artikel stelt een structurele dualiteit vast tussen de Loss-Versus-Rebalancing (LVR) geïdentificeerd door Milionis et al. [10] in constant-product AMMs en de privacy-subsidie in Kyle-markten.

   • LVR kwantificeert welvaartverlies als gevolg van een mismatch tussen de gecommitteerde AMM-curve en de externe prijsobservatie.
   • Privacy-subsidie kwantificeert welvaartverlies als gevolg van een mismatch tussen de gecommitteerde prijsbepalingsregel en de orderflow-observatie.
     Beide welvaartstaken factoriseren in het kwadraat van de intensiteit van de relevante ruisdriver (prijsdiffusie versus privacyruis) en een functie van het gecommitteerde object. Deze dualiteit biedt een unificerend raamwerk voor het kalibreren van break-even kosten in exchanges met gecommitteerde curves.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt het programma te voltooien van het kwantificeren van break-even kosten voor exchanges met gecommitteerde AMMs die opereren onder omgevingen met privacy-aggregatie van informatie. De betekenis ligt in:

• Brug slaan tussen literatuur: Het verbindt de microstructuur-literatuur over insidertrading (Kyle/Back) met de DeFi-literatuur over welvaartverliezen van AMMs (LVR), en toont aan dat privacyruis een welvaartkloof creëert die structureel identiek is aan kloven in prijsobservatie.
• Operationaliseren van privacykosten: Het biedt een nauwkeurige, gesloten-vorm metriek voor de "kosten van privacy" in termen van solvabiliteit van de liquiditeitspool. De auteurs betogen dat voor een protocol om solvabel te zijn, de cumulatieve fee-inkomsten deze cumulatieve privacy-subsidie moeten overtreffen.
• Ontwerprichtlijnen:
  • Tijd-invariantie: In de continuous-time limiet hangt de cumulatieve subsidie alleen af van de tijd-gemiddelde variantie van de privacyruis, niet van het tijdsprofiel. Dit impliceert dat protocollen de subsidie niet kunnen verminderen door strategisch privacy-injectie te plannen (bijvoorbeeld zwakkere privacy nabij de horizon) zonder het gemiddelde budget te wijzigen.
  • Fee-kalibratie: De afgeleide formule biedt een directe methode voor het stellen van proportionele kosten om de privacy-subsidie te dekken, analoog aan hoe LVR kostenstructuren in CFMMs informeert.
  • Discreet versus Continu: De auteurs waarschuwen dat hoewel het continuous-time-model een schone gesloten vorm biedt, praktische implementaties (geschilderde AMMs, MPC-engines) geïnterpreteerd moeten worden als discrete-blok implementaties waar het privacybudget eindig is, aangezien een continue Brownse privacykanaal met vaste intensiteit onverenigbaar is met eindige differentiaalprivacy-garanties.

Het artikel sluit af met de opmerking dat deze resultaten gelden voor Gaussische ruis en dat uitbreidingen naar niet-Gaussische ruis (bijvoorbeeld Laplace voor differentiaalprivacy) of jump-processen open blijven voor toekomstig werk.