The Privacy Subsidy in Continuous-Time Kyle: Cumulative Welfare under Noise-Perturbed Order-Flow Observation

Resumen Técnico: El Subsidio de Privacidad en Kyle de Tiempo Continuo

Enunciado del Problema
Este artículo aborda las implicaciones de bienestar de los mecanismos de preservación de privacidad en las finanzas descentralizadas (DeFi), específicamente en el contexto de los Creadores de Mercado Automatizados (AMM) y la agregación de flujos de órdenes. Mientras que el artículo complementario [12] estableció un "subsidio de privacidad" de forma cerrada —una transferencia desde el pool de liquidez de un protocolo hacia los traders— en un modelo de Kyle de un solo periodo, este trabajo extiende el análisis a un entorno de tiempo continuo. El problema central es cuantificar la pérdida esperada acumulada incurrida por un creador de mercado (MM) bayesiano comprometido que observa un flujo de órdenes agregado perturbado por ruido de privacidad gaussiano independiente. A diferencia de los creadores de mercado competitivos clásicos que imponen una condición de beneficio cero, el modelo asume una regla de precios "comprometida" (típica de los AMM basados en contratos inteligentes) donde el MM actualiza los precios mediante la regla de Bayes sobre observaciones ruidosas, pero no ajusta dinámicamente para garantizar un beneficio cero.

Metodología
El análisis emplea el marco de Kyle–Back de tiempo continuo [1], adaptado para información agregada con privacidad.

• Primitivas del Modelo: El modelo presenta un horizonte de negociación $[0, 1]$, un trader informado que observa un valor de activo normal $v$, traders ruidosos que someten un flujo $du_t = \sigma_u dW^u_t$, y un canal de privacidad que añade ruido browniano independiente $d\varepsilon_t = \sigma_\varepsilon dW^\varepsilon_t$. El creador de mercado observa el flujo perturbado $d\tilde{y}_t = dy_t + d\varepsilon_t$.
• Regla de Precios: El MM utiliza una regla de precios lineal comprometida $dp_t = \lambda_t d\tilde{y}_t$, donde $\lambda_t$ es la ganancia de Kalman ex-ante fija derivada de la identidad de proyección bayesiana. Crucialmente, el modelo no impone la restricción de equilibrio de beneficio cero encontrada en los modelos de Kyle competitivos; en su lugar, acepta el beneficio (o pérdida) esperado resultante no nulo como objeto de estudio.
• Derivación del Equilibrio: Los autores utilizan un ansatz de Markoviano lineal para la estrategia del iniciador ($dx_t = \beta_t(v - p_t)dt$) y resuelven la ecuación asociada de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB). La solución se basa en la condición estándar de racionalidad de Kyle–Back $\Sigma(1) = 0$ (revelación completa de información al horizonte) para fijar los parámetros del equilibrio.
• Contabilidad de Bienestar: El subsidio de privacidad acumulativo se deriva descomponiendo el bienestar esperado total entre los tres participantes: el trader informado, los traders ruidosos y el creador de mercado. El beneficio esperado del MM se calcula como el residuo necesario para equilibrar el sistema.

Contribuciones y Resultados Clave
El artículo establece tres resultados principales:

1. Teorema 1 (Equilibrio Lineal Markoviano): Bajo la regla de precios comprometida de AMM bayesiano con intensidad de ruido de privacidad $\sigma_\varepsilon$, el equilibrio único presenta un coeficiente de impacto de precios constante $\lambda = \sigma_v / \sqrt{\sigma_u^2 + \sigma_\varepsilon^2}$ y una varianza posterior que declina linealmente $\Sigma(t) = \sigma_v^2(1-t)$. La presencia de ruido de privacidad aumenta efectivamente la volatilidad del trader ruidoso de $\sigma_u$ a $\sqrt{\sigma_u^2 + \sigma_\varepsilon^2}$ en las condiciones de equilibrio.

2. Teorema 2 (Subsidio de Privacidad Acumulativo): El artículo deriva una expresión de forma cerrada para la transferencia esperada acumulada desde el pool de liquidez hacia los traders (el subsidio de privacidad) a lo largo del horizonte $[0, 1]$:
   $$|\Pi_M| = \frac{\sigma_v \sigma_\varepsilon^2}{\sqrt{\sigma_u^2 + \sigma_\varepsilon^2}}$$
   Los autores señalan que este valor es exactamente el doble del análogo de un solo periodo derivado en [12]. Aclaran que esta "duplicación" es una característica estándar de la transición de Kyle–Back de modelos de un solo periodo a modelos de tiempo continuo (donde los beneficios del trader informado también se duplican) y no es un artefacto específico del mecanismo de privacidad.

3. Proposición 1 (Dualidad Estructural con LVR): El artículo establece una dualidad estructural entre la Pérdida Versus Reequilibrio (LVR) identificada por Milionis et al. [10] en AMM de producto constante y el subsidio de privacidad en mercados de Kyle.

   • LVR cuantifica la pérdida de bienestar debido a una discrepancia entre la curva comprometida del AMM y la observación de precios externa.
   • Subsidio de Privacidad cuantifica la pérdida de bienestar debido a una discrepancia entre la regla de precios comprometida y la observación del flujo de órdenes.
     Ambas tasas de bienestar se factorizan en la intensidad al cuadrado del impulsor de ruido relevante (difusión de precios vs. ruido de privacidad) y una función del objeto comprometido. Esta dualidad proporciona un marco unificado para calibrar tarifas de equilibrio en intercambios de curvas comprometidas.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma completar el programa de cuantificar las tarifas de equilibrio para intercambios de AMM comprometidos que operan bajo entornos de información agregada con privacidad. Su significado radica en:

• Puente entre Literatura: Conecta la literatura de microestructura sobre trading con información privilegiada (Kyle/Back) con la literatura de DeFi sobre pérdidas de bienestar en AMM (LVR), demostrando que el ruido de privacidad crea una brecha de bienestar estructuralmente idéntica a las brechas de observación de precios.
• Operacionalización de los Costos de Privacidad: Proporciona una métrica precisa y de forma cerrada para el "costo de la privacidad" en términos de solvencia del pool de liquidez. Los autores argumentan que, para que un protocolo sea solvente, los ingresos acumulados por tarifas deben superar este subsidio de privacidad acumulativo.
• Implicaciones de Diseño:
  • Invarianza Temporal: En el límite de tiempo continuo, el subsidio acumulativo depende únicamente de la varianza promediada en el tiempo del ruido de privacidad, no de su perfil temporal. Esto implica que los protocolos no pueden reducir el subsidio programando estratégicamente la inyección de privacidad (por ejemplo, privacidad más débil cerca del horizonte) sin cambiar el presupuesto promedio.
  • Calibración de Tarifas: La fórmula derivada ofrece un método directo para establecer tarifas proporcionales que cubran el subsidio de privacidad, análogo a cómo la LVR informa las estructuras de tarifas en los CFMM.
  • Discreto vs. Continuo: Los autores advierten que, aunque el modelo de tiempo continuo proporciona una forma cerrada limpia, las implementaciones prácticas (AMM blindados, motores MPC) deben interpretarse como despliegues de bloques discretos donde el presupuesto de privacidad es finito, ya que un canal de privacidad browniano continuo con intensidad fija es incompatible con garantías finitas de privacidad diferencial.

El artículo concluye señalando que estos resultados se mantienen para ruido gaussiano y que las extensiones a ruido no gaussiano (por ejemplo, Laplace para privacidad diferencial) o procesos de salto permanecen abiertos para trabajos futuros.