The Privacy Subsidy in Continuous-Time Kyle: Cumulative Welfare under Noise-Perturbed Order-Flow Observation

Resumo Técnico: O Subsídio de Privacidade em Kyle de Tempo Contínuo

Enunciado do Problema
Este artigo aborda as implicações de bem-estar de mecanismos de preservação de privacidade em finanças descentralizadas (DeFi), especificamente no contexto de Criadores de Mercado Automatizados (AMMs) e agregação de fluxo de ordens. Enquanto o artigo complementar [12] estabeleceu um "subsídio de privacidade" de forma fechada — uma transferência da pool de liquidez de um protocolo para os traders — em um modelo de Kyle de período único, este trabalho estende a análise para uma configuração de tempo contínuo. O problema central é quantificar a perda esperada cumulativa incorrida por um market maker (MM) bayesiano comprometido que observa o fluxo de ordens agregado perturbado por ruído de privacidade gaussiano independente. Ao contrário dos market makers competitivos clássicos que impõem uma condição de lucro zero, o modelo assume uma regra de precificação "comprometida" (típica de AMMs baseados em contratos inteligentes) onde o MM atualiza os preços via regra de Bayes sobre observações ruidosas, mas não ajusta dinamicamente para garantir lucro zero.

Metodologia
A análise emprega o framework de Kyle–Back de tempo contínuo [1], adaptado para informações agregadas com privacidade.

• Primitivas do Modelo: O modelo apresenta um horizonte de negociação $[0, 1]$, um trader informado observando um valor de ativo normal $v$, traders de ruído submetendo fluxo $du_t = \sigma_u dW^u_t$, e um canal de privacidade adicionando ruído browniano independente $d\varepsilon_t = \sigma_\varepsilon dW^\varepsilon_t$. O market maker observa o fluxo perturbado $d\tilde{y}_t = dy_t + d\varepsilon_t$.
• Regra de Precificação: O MM utiliza uma regra de precificação linear comprometida $dp_t = \lambda_t d\tilde{y}_t$, onde $\lambda_t$ é o ganho de Kalman ex-ante fixo derivado da identidade de projeção de Bayes. Crucialmente, o modelo não impõe a restrição de equilíbrio de lucro zero encontrada em modelos de Kyle competitivos; em vez disso, aceita o lucro (ou perda) esperado resultante não nulo como objeto de estudo.
• Derivação do Equilíbrio: Os autores utilizam um ansatz linear markoviano para a estratégia do insider ($dx_t = \beta_t(v - p_t)dt$) e resolvem a equação de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) associada. A solução depende da condição padrão de racionalidade de Kyle–Back $\Sigma(1) = 0$ (revelação completa de informações no horizonte) para fixar os parâmetros de equilíbrio.
• Contabilidade de Bem-Estar: O subsídio de privacidade cumulativo é derivado decompondo o bem-estar esperado total entre os três participantes: o trader informado, os traders de ruído e o market maker. O lucro esperado do MM é calculado como o resíduo necessário para equilibrar o sistema.

Principais Contribuições e Resultados
O artigo estabelece três resultados primários:

1. Teorema 1 (Equilíbrio Linear Markoviano): Sob a regra de precificação comprometida de MM bayesiano-AMM com intensidade de ruído de privacidade $\sigma_\varepsilon$, o equilíbrio único apresenta um coeficiente de impacto de preço constante $\lambda = \sigma_v / \sqrt{\sigma_u^2 + \sigma_\varepsilon^2}$ e uma variância posterior declinando linearmente $\Sigma(t) = \sigma_v^2(1-t)$. A presença de ruído de privacidade efetivamente aumenta a volatilidade do trader de ruído de $\sigma_u$ para $\sqrt{\sigma_u^2 + \sigma_\varepsilon^2}$ nas condições de equilíbrio.

2. Teorema 2 (Subsídio de Privacidade Cumulativo): O artigo deriva uma expressão de forma fechada para a transferência esperada cumulativa da pool de liquidez para os traders (o subsídio de privacidade) ao longo do horizonte $[0, 1]$:
   $$|\Pi_M| = \frac{\sigma_v \sigma_\varepsilon^2}{\sqrt{\sigma_u^2 + \sigma_\varepsilon^2}}$$
   Os autores observam que este valor é exatamente o dobro do análogo de período único derivado em [12]. Eles esclarecem que este "dobramento" é uma característica padrão da transição de modelos de período único para tempo contínuo no framework de Kyle–Back (onde os lucros do trader informado também dobram) e não é um artefato específico do mecanismo de privacidade.

3. Proposição 1 (Dualidade Estrutural com LVR): O artigo estabelece uma dualidade estrutural entre a Perda-Versus-Rebalanceamento (LVR) identificada por Milionis et al. [10] em AMMs de produto constante e o subsídio de privacidade em mercados de Kyle.

   • LVR quantifica a perda de bem-estar devido a uma incompatibilidade entre a curva comprometida do AMM e a observação de preço externa.
   • Subsídio de Privacidade quantifica a perda de bem-estar devido a uma incompatibilidade entre a regra de precificação comprometida e a observação de fluxo de ordens.
     Ambas as taxas de bem-estar fatorizam na intensidade quadrada do driver de ruído relevante (difusão de preço vs. ruído de privacidade) e em uma função do objeto comprometido. Esta dualidade fornece um quadro unificado para calibrar taxas de equilíbrio em exchanges de curvas comprometidas.

Significância e Alegações
O artigo afirma completar o programa de quantificar taxas de equilíbrio para exchanges de AMM comprometidas operando sob ambientes de informações agregadas com privacidade. Sua significância reside em:

• Conectando Literatura: Conecta a literatura de microestrutura sobre negociação interna (Kyle/Back) com a literatura de DeFi sobre perdas de bem-estar em AMMs (LVR), demonstrando que o ruído de privacidade cria uma lacuna de bem-estar estruturalmente idêntica às lacunas de observação de preço.
• Operacionalizando Custos de Privacidade: Fornece uma métrica precisa e de forma fechada para o "custo da privacidade" em termos de solvência da pool de liquidez. Os autores argumentam que, para um protocolo ser solvente, a receita cumulativa de taxas deve exceder este subsídio de privacidade cumulativo.
• Implicações de Design:
  • Invariância Temporal: No limite de tempo contínuo, o subsídio cumulativo depende apenas da variância média temporal do ruído de privacidade, e não de seu perfil temporal. Isso implica que protocolos não podem reduzir o subsídio agendando estrategicamente a injeção de privacidade (por exemplo, privacidade mais fraca perto do horizonte) sem alterar o orçamento médio.
  • Calibração de Taxas: A fórmula derivada oferece um método direto para definir taxas proporcionais para cobrir o subsídio de privacidade, análogo à forma como a LVR informa estruturas de taxas em CFMMs.
  • Discreto vs. Contínuo: Os autores alertam que, embora o modelo de tempo contínuo forneça uma forma fechada limpa, implementações práticas (AMMs blindados, engines de MPC) devem ser interpretadas como implantações de blocos discretos onde o orçamento de privacidade é finito, pois um canal de privacidade browniano contínuo com intensidade fixa é incompatível com garantias de privacidade diferencial finitas.

O artigo conclui observando que estes resultados valem para ruído gaussiano e que extensões para ruído não gaussiano (por exemplo, Laplace para privacidade diferencial) ou processos de salto permanecem abertos para trabalhos futuros.