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Forecasting of volatility and risk premia in electricity markets

यह शोध पत्र बिजली बाजारों में साप्ताहिक वास्तविक सह-परिवर्तन (realized covariation) का पूर्वानुमान लगाने के लिए एक संक्षिप्त मैट्रिक्स-HAR मॉडल प्रस्तावित करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि मानक विधियों की तुलना में लंबी समय सीमाओं और नवीकरणीय उत्पादन डेटा को शामिल करने से सह-परिवर्तन और स्प्रेड जोखिम प्रीमियम दोनों के पूर्वानुमानों में महत्वपूर्ण सुधार होता है।

मूल लेखक: Thomas K. Kloster, Fred Espen Benth

प्रकाशित 2026-06-05

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Thomas K. Kloster, Fred Espen Benth

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि बिजली का बाजार केवल एक एकल मूल्य टैग नहीं है, बल्कि एक 24-घंटे की फिल्म है। पारंपरिक शेयर बाजारों में, आप केवल दिन के समापन मूल्य को देख सकते हैं। लेकिन बिजली अलग है; इसका उपभोग निरंतर, हर घंटे किया जाता है। इसलिए, "वास्तविक" मूल्य वास्तव में एक जटिल, बदलता हुआ वक्र (curve) है जो दिन के हर सेकंड में बदलता रहता है।

इस शोध पत्र के लेखक, थॉमस क्लोस्टर और फ्रेड एस्पेन बेंथ, एक विशिष्ट समस्या को हल करने की कोशिश कर रहे हैं: हम यह कैसे भविष्यवाणी करें कि कल इस 24-घंटे की 'प्राइस मूवी' कितनी "उबड़-खाबड़" या "अनिश्चित" होगी?

यहाँ उनके काम का रोजमर्रा के उदाहरणों का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. समस्या: एक "धुंधली" फोटो

चूंकि हम बिजली की कीमतों को हर एक सेकंड में नहीं माप सकते, इसलिए हमें केवल स्नैपशॉट (विशिष्ट घंटों के लिए कीमतें) मिलते हैं। लेखक इन कीमतों की "उबड़-खाबड़" प्रकृति को मापने के लिए जिस गणितीय उपकरण का उपयोग करते हैं, उसे वे रियलाइज्ड कोवेरिएशन (RCV) कहते हैं।

RCV को बिजली की कीमतों के लिए एक मौसम मानचित्र (weather map) के रूप में सोचें। यह केवल यह नहीं बताता कि हवा कितनी तेज चल रही है (अस्थिरता/volatility); यह यह भी बताता है कि सुबह की हवा शाम की हवा से कैसे संबंधित है। क्या एक तूफानी सुबह का मतलब आमतौर पर एक शांत दोपहर होता है? या क्या वे दोनों एक ही समय में पागल हो जाते हैं? यह मानचित्र एक विशाल ग्रिड (मैट्रिक्स) है जो दिखाता है कि दिन का हर घंटा दूसरे घंटे के साथ कैसे नृत्य करता है।

2. समाधान: एक "टाइम-ट्रैवलिंग" पूर्वानुमान मशीन

लेखकों ने एक मॉडल बनाया जिसे वे मैट्रिक्स-HAR कहते हैं। इसे समझने के लिए, कल्पना करें कि आप अगले सप्ताह के मौसम की भविष्यवाणी करने की कोशिश कर रहे हैं।

मानक मॉडल केवल कल के मौसम को देख सकते हैं।
उनका मॉडल निम्नलिखित को देखता है:
- कल (दैनिक)
- पिछला सप्ताह (साप्ताहिक)
- पिछला महीना (मासिक)
- पिछली तिमाही (त्रैमासिक)

उन्होंने पाया कि बिजली के लिए तिमाही पैटर्न को देखना अत्यंत महत्वपूर्ण है। क्यों? क्योंकि बिजली में मजबूत मौसम संबंधी बदलाव होते हैं (गर्मी में AC का उपयोग, सर्दियों में हीटिंग)। इस "लंबे समय की याददाश्त" (long-range memory) को शामिल करके, उनका मॉडल भविष्य की भविष्यवाणी करने में बहुत बेहतर हो जाता है।

3. गुप्त सामग्रियां: हवा, सूरज और कीमत

लेखकों ने यह देखने के लिए अपने मॉडल के कई विभिन्न संस्करणों का परीक्षण किया कि क्या उन्हें अधिक स्मार्ट बनाता है। उन्होंने पाया कि दो "गुप्त सामग्रियां" थीं जिन्होंने पूर्वानुमान में महत्वपूर्ण सुधार किया:

नवीकरणीय ऊर्जा (Renewable Energy): उन्होंने मॉडल में हवा और सौर ऊर्जा कितनी उत्पन्न हो रही है, इसका डेटा डाला। चूंकि हवा और सूरज अप्रत्याशित होते हैं, इसलिए उनका हिस्सा जानना यह समझने में मदद करता है कि कीमतों के उतार-चढ़ाव कितने अनिश्चित होंगे।
वर्तमान मूल्य स्तर: उन्होंने पाया कि कीमतों की "उबड़-खाबड़" प्रकृति इस बात पर बहुत निर्भर करती है कि वर्तमान कीमतें कितनी ऊंची या नीची हैं। यह कार चलाने जैसा है: कार अलग तरह से व्यवहार करती है जब आप 10 मील प्रति घंटे की गति से चल रहे होते हैं बनाम 100 मील प्रति घंटे की गति से।

4. परिणाम: व्यापारियों के लिए एक बेहतर मानचित्र

जब उन्होंने वास्तविक डेटा (जर्मनी से, 2018 से 2025 तक) के विरुद्ध अपने मॉडल का परीक्षण किया, तो उन्हें मिला:

यह काम करता है: उनका मॉडल मानक तरीकों की तुलना में अगले सप्ताह की कीमतों की "उबड़-खाबड़" प्रकृति की बहुत बेहतर भविष्यवाणी कर सकता है।
यह "स्प्रेड्स" को संभालता है: बिजली में, व्यापारी अक्सर "पीक" घंटों (जब घर में सभी लोग होते हैं और बिजली का उपयोग करते हैं) और "ऑफ-पीक" घंटों (जब ग्रिड शांत होता है) के बीच के अंतर पर दांव लगाते हैं। लेखकों ने दिखाया कि उनका मॉडल इन "स्प्रेड्स" के जोखिम की भविष्यवाणी करने में उत्कृष्ट है।
"रिस्क प्रीमियम" बोनस: वित्तीय बाजारों में, लोग जोखिम से बचने के लिए अतिरिक्त भुगतान (प्रीमियम) करते हैं। लेखकों ने पाया कि अपने नए, अधिक सटीक "उबड़-खाबड़" मानचित्र का उपयोग करके, वे इन जोखिम प्रीमियम की भविष्यवाणी पुराने तरीकों की तुलना में बहुत बेहतर तरीके से कर सकते हैं। वास्तव में, उनकी विधि ने उद्योग में उपयोग किए जाने वाले मानक जोखिम भविष्यवाणी सूत्र की सटीकता को दोगुना कर दिया।

5. पकड़: "राइट-स्केውड" (Right-Skewed) वास्तविकता

पत्र एक सीमा को स्वीकार करता। बिजली की कीमतें एक लॉटरी टिकट की तरह हैं: अधिकांश समय वे शांत रहती हैं, लेकिन कभी-कभी वे बिल्कुल पागल हो जाती हैं (भारी संख्या तक उछल जाती हैं)।
इस कारण से, मॉडल थोड़ा "सतर्क" रहने की प्रवृत्ति रखता है। यह अक्सर भविष्यवाणी करता है कि बाजार वास्तव में जितना होगा, उससे थोड़ा अधिक अस्थिर होगा। यह "सावधानी बरतने" के लिए बेहतर है, लेकिन इसका मतलब है कि मॉडल कभी-कभी अराजकता का अतिरंजित अनुमान लगाता है।

सारांश

संक्षेप में, लेखकों ने बिजली की कीमतों के लिए एक सुपर-स्मार्ट, टाइम-ट्रैवलिंग वेदर मैप बनाया है। दीर्घकालिक मौसमों, वर्तमान हवा/सौर शक्ति और दिन के विभिन्न समयों में कीमतों के व्यवहार को देखकर, उन्होंने एक ऐसा उपकरण बनाया है जो व्यापारियों और विश्लेषकों को पहले की तुलना में बिजली बाजार के जोखिमों को बहुत बेहतर ढंग से समझने में मदद करता है। यह उन्हें भविष्य की कीमतों पर स्मार्ट दांव लगाने और ग्रिड के जोखिम को अधिक प्रभावी ढंग से प्रबंधित करने में मदद करता है।

तकनीकी सारांश: बिजली बाजारों में अस्थिरता (Volatility) और जोखिम प्रीमियम (Risk Premia) का पूर्वानुमान

समस्या विवरण
यह शोध पत्र यूरोपीय जनरेशन ज़ोन में बिजली के स्पॉट कीमतों के 'रियलाइज्ड कोवेरिएशन' (RCV) के पूर्वानुमान की चुनौती को संबोधित करता है। पारंपरिक इक्विटी या कमोडिटी बाजारों के विपरीत, बिजली बाजार अद्वितीय विशेषताओं को प्रदर्शित करते हैं: कीमतें विशिष्ट वितरण अवधियों के लिए नीलामी के माध्यम से दैनिक आधार पर निर्धारित की जाती हैं, जो एक गुप्त (latent), अनंत-आयामी "वास्तविक" मूल्य प्रक्रिया के औसत का प्रतिनिधित्व करती हैं। यह संरचना अस्थिरता अनुमान में विशिष्ट पूर्वाग्रहों (biases) को जन्म देती है, जिसमें ड्रिफ्ट प्रभाव और मीन-रिवर्जन/प्रोपैगेशन प्रभाव शामिल हैं। इसके अलावा, बिजली बाजारों में अस्थिरता अनुमान पर मौजूदा साहित्य अत्यंत सीमित है। लेखक यह निर्धारित करने का लक्ष्य रखते हैं कि क्या RCV—जो कि लेटेंट कोवेरिएंस ऑपरेटर का एक मैट्रिक्स-वैल्यूड प्रतिनिधित्व है—लघु अवधि के क्षितिजों (horizons) पर पूर्वानुमान योग्य है, और क्या ऐसे पूर्वानुमान फॉरवर्ड बाजारों में जोखिम प्रीमियम के पूर्वानुमान में सुधार कर सकते हैं।

कार्यप्रणाली (Methodology)
यह अध्ययन क्लॉस्टर और बेंथ (2026) द्वारा स्थापित एक अमूर्त मॉडलिंग ढांचे पर आधारित है, जहाँ लेटेंट प्राइस प्रोसेस $X_t(\cdot)$ एक हिल्बर्ट स्पेस $L^1(S^1)$ (यूनिट सर्कल जो दिन का प्रतिनिधित्व करता है) में विकसित होता है। प्रेक्षित स्पॉट कीमतें विशिष्ट वितरण अवधियों पर इस लेटेंट प्रक्रिया के इंटीग्रल्स (integrals) हैं।

रियलाइज्ड कोवेरिएशन (RCV) का अनुमान:
- लेखक पहले प्रेक्षित मूल्य श्रृंखलाओं को डी-ट्रेंड (de-trend) करते हैं ताकि एक स्टेशनरी घटक $Y_n$ को अलग किया जा सके।
- वे मीन-रिवर्जन डायनेमिक्स को ध्यान में रखने के लिए एक सेमग्रुप मैट्रिक्स $\hat{S}_{\delta, N}$ का अनुमान लगाते हैं।
- अवशेषों (residuals) की गणना इस सेमग्रुप के समायोजन के बाद की जाती है, और वार्षिककृत RCV ( $RCV^w_n$ ) को एक विंडो $w$ के भीतर इन अवशेषों के आउटर प्रोडक्ट्स (outer products) के योग के रूप में निर्मित किया जाता है। यह एस्टिमेटर मूल्य नवाचारों (price innovations) के "प्रभावी भिन्नता" (effective variance) के एक शोर युक्त प्रॉक्सी (noisy proxy) के रूप में कार्य करता है, जो यह स्वीकार करता है कि मीन-रिवर्जन तंत्र के स्मूथिंग प्रभावों के कारण शुद्ध इंटीग्रेटेड वेरिएंस ऑपरेटर को पूरी तरह से पहचाना नहीं जा सकता है।
पूर्वानुमान ढांचा (Matrix-HAR):
- पूर्वानुमान का लक्ष्य एक-सप्ताह-अग्र (one-week-ahead) RCV मैट्रिक्स है।
- लेखक एक संक्षिप्त मैट्रिक्स-हेटरोजेनियस ऑटोरेग्रेसिव (Matrix-HAR) मॉडल प्रस्तावित करते हैं, जो क्विरोज़ एट अल. (2024) और कोर्सी (2009) के क्लासिकल HAR फ्रेमवर्क से प्रेरित है।
- विघटन (Decomposition): RCV मैट्रिक्स को $RCV^w_t = D^w_t R^w_t D^w_t$ के माध्यम से विघटित किया जाता है, जहाँ $D^w_t$ में मार्जिनल रियलाइज्ड वोलेटिलिटीज (डायगोनल) और $R^w_t$ में कंडीशनल क्रॉस-सेक्शनल कोरिलेशन शामिल हैं।
- $D^w_t$ का मॉडलिंग: डायगोनल तत्वों के लिए एक लॉग-लीनियर HAR मॉडल लागू किया जाता है, जिसमें दैनिक, साप्ताहिक, मासिक और तिमाही (91-दिवसीय) क्षितिज शामिल हैं। बिजली बाजारों के लिए विशिष्ट लॉन्ग-रेंज डिपेंडेंसी और सीज़नलिटी को कैप्चर करने के लिए तिमाही घटक को शामिल किया गया है।
- $R^w_t$ का मॉडलिंग: कोरिलेशन मैट्रिक्स के हाफ-वेक्टराइजेशन (half-vectorization) पर एक स्केलर HAR मॉडल लागू किया जाता है, जो लैग्ड कोरिलेशन को समान रूप से प्रसारित करता है।
- विस्तार (Extensions): बेसलाइन मॉडल को कोवेरिएट्स के साथ विस्तारित किया गया है जिनमें शामिल हैं:
  - वर्तमान मूल्य स्तर (रैखिक और द्विघात)।
  - नवीकरणीय उत्पादन हिस्सेदारी (पवन और सौर)।
  - समय-परिवर्तनीय स्पिलओवर प्रभाव (रेजीम-डिपेंडेंट वेरिएबल्स)।
- अनुमान (Estimation): जर्मन स्पॉट प्राइस डेटा (अक्टूबर 2018 – अक्टूबर 2025) पर रोलिंग विंडो दृष्टिकोण का उपयोग करके मॉडलों का अनुमान लगाया गया है।
जोखिम प्रीमियम अनुप्रयोग (Risk Premia Application):
- अध्ययन पीक-लोड और बेसलोड फॉरवर्ड कॉन्ट्रैक्ट्स के बीच स्प्रेड रिस्क प्रीमियम के पूर्वानुमान की जांच करता है।
- बेसेमबेंडर और लेमन (2002) के स्ट्रक्चरल मॉडल का अनुसरण करते हुए, रिस्क प्रीमियम स्पॉट प्राइस के कंडीशनल वेरिएंस और स्क्यूनेस (skewness) का एक फलन है।
- लेखक स्प्रेड (पीक माइनस बेसलोड) के कंडीशनल वेरिएंस के प्रॉक्सी के रूप में पूर्वानुमानित RCV का उपयोग करते हैं, और इसकी तुलना मानक बैकवर्ड-लुकिंग रोलिंग वेरिएंस अनुमानों से करते हैं।

प्रमुख परिणाम

पूर्वानुमान योग्यता (Predictability): रियलाइज्ड कोवेरिएशन लघु क्षितिज पर पूर्वानुमान योग्य है। सरल मैट्रिक्स-HAR प्रेरित मॉडल बिजली की कीमतों के कंडीशनल सेकंड-ऑर्डर स्ट्रक्चर को प्रभावी ढंग से कैप्चर करते हैं।
मॉडल प्रदर्शन:
- केवल दैनिक, साप्ताहिक और मासिक घटकों वाले मॉडलों की तुलना में तिमाही क्षितिज को शामिल करने से पूर्वानुमान में काफी सुधार होता है।
- नवीकरणीय उत्पादन जानकारी (पवन/सौर शेयर) और द्विघात मूल्य नियंत्रणों को शामिल करने वाले मॉडल प्रदर्शन मेट्रिक्स में श्रेष्ठ प्रदर्शन करते हैं।
- सर्वश्रेष्ठ प्रदर्शन करने वाले मॉडल (जैसे, DRD-HAR-P2+ren+tvSpill) प्रति घंटा रियलाइज्ड वेरिएंस के लिए 40-45% का मिन्सर-ज़ारनविज़ $R^2$ प्राप्त करते हैं, जो दर्शाता है कि लगभग आधा वेरिएशन पूर्वानुमानों द्वारा समझाया गया है।
- मॉडल क्रॉस-सेक्शनल डिपेंडेंस स्ट्रक्चर (ऑफ-डायगोनल एलिमेंट्स) के लिए अच्छी तरह से कैलिब्रेटेड हैं, जैसा कि नेट-ज़ीरो पोर्टफोलियो (जैसे, पीक बनाम ऑफ-पीक, सोलर शेप) पर वेरिएंस-टारगेटिंग अभ्यासों से सिद्ध होता है।
- एक ज्ञात सीमा यह है कि कंडीशनल वेरिएंस के भारी राइट-स्क्यू (right-skew) के कारण मॉडल "शांत" दिनों में रियलाइज्ड वोलेटिलिटी का अधिक पूर्वानुमान (over-predict) लगाने की प्रवृत्ति रखते हैं।
जोखिम प्रीमियम पूर्वानुमान:
- स्प्रेड रिस्क प्रीमियम के रिग्रेशन में वेरिएंस प्रॉक्सी के रूप में पूर्वानुमानित RCV का उपयोग करने से मानक बैकवर्ड-लुकिंग विधियों की तुलना में काफी बेहतर प्रदर्शन होता है।
- स्प्रेड रिस्क प्रीमियम के पूर्वानुमान के लिए $R^2$ सांख्यिकी (rolling variance का उपयोग करने पर 24.4% से बढ़कर DRD-HAR-P2 RCV पूर्वानुमान का उपयोग करने पर 47.2% हो जाती है)।
- वेरिएंस टर्म के लिए गुणांक अत्यधिक महत्वपूर्ण बना रहता है, जबकि स्क्यूनेस टर्म (जिसे बैकवर्ड-लुकिंग स्क्यूनेस द्वारा अनुमानित किया गया है) परीक्षण किए गए स्पेसिफिकेशन में सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण नहीं है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र दावा करता है कि हालांकि रियलाइज्ड कोवेरिएशन अमूर्त अनंत-आयामी विचारों से उत्पन्न होता है, लेकिन इसमें बाजार प्रतिभागियों के लिए अत्यधिक उपयोगी, कार्रवाई योग्य जानकारी होती है। इसके दो मुख्य योगदान हैं:

पूर्वानुमान योग्यता का प्रदर्शन: यह दिखाना कि बिजली की कीमतों का RCV, दीर्घकालिक क्षितिज और नवीकरणीय उत्पादन डेटा को शामिल करने वाले सरल, मैट्रिक्स-HAR प्रेरित मॉडलों का उपयोग करके लघु क्षितिज पर पूर्वानुमान योग्य है।
जोखिम प्रीमियम पूर्वानुमान में सुधार: यह सिद्ध करना कि रियलाइज्ड कोवेरिएशन के पूर्वानुमान, केवल बैकवर्ड-लुकिंग वोलेटिलिटी पर निर्भर मानक विधियों की तुलना में बिजली फॉरवर्ड बाजारों में स्प्रेड रिस्क प्रीमियम के पूर्वानुमान में पर्याप्त सुधार करते हैं।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि ये निष्कर्ष राइट-स्क्यू वाली अस्थिरता के बावजूद, हेजिंग रेशियो, मूल्य पूर्वानुमान के लिए कॉन्फिडेंस बैंड्स और बिजली बाजारों में जोखिम प्रबंधन जैसे व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए RCV फ्रेमवर्क की उपयोगिता को प्रमाणित करते हैं।