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A Salem-Spencer-Type Construction for Large Subsets of Integer Grids with No Isosceles Right Triangles

यह शोध पत्र एक $n \times n$ पूर्णांक ग्रिड (integer grid) में गैर-अपभ्रंश समद्विबाहु समकोण त्रिभुजों (nondegenerate isosceles right triangles) को न रखने वाले सबसे बड़े उपसमुच्चय (subset) का आकार कम से कम $\Omega(n^{1.3})$ है, यह सिद्ध करने के लिए गॉसियन पूर्णांकों (Gaussian integers) पर एक संशोधित सालेम-स्पेंसर-प्रकार (Salem–Spencer-type) के निर्माण को प्रस्तुत करता है, जिससे वर्तमान सर्वोत्तम ऊपरी सीमा (upper bound) के साथ अंतराल कम हो जाता है।

मूल लेखक: Gyula Károlyi, Jozsef Solymosi

प्रकाशित 2026-07-28

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Gyula Károlyi, Jozsef Solymosi

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक जासूस हैं जो एक विशाल, अनंत शहर में एक रहस्य सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं, जो पूरी तरह से ग्रिड इंटरसेक्शन (grid intersections) से बना है। यह शहर गणित की दुनिया है, विशेष रूप से कॉम्बिनेटरिक्स (Combinatorics) नामक एक शाखा, जो डिस्क्रीट ऑब्जेक्ट्स (discrete objects) को गिनने, व्यवस्थित करने और उनके पैटर्न खोजने के बारे में है। इस शहर में, "सड़कें" केवल संख्याएँ हैं, और "इमारतें" वे बिंदु हैं जहाँ दो संख्याएँ मिलती हैं, जैसे कि मानचित्र पर $(x, y)$ निर्देशांक।

हाथ में मौजूद रहस्य एक बहुत ही विशिष्ट नियम से जुड़ा है: आप एक बहुत बड़ा पड़ोस (बिंदुओं का एक उपसमुच्चय) बनाना चाहते हैं जहाँ एक निश्चित आकार सख्ती से वर्जित हो। वह आकार है आइसोसेलेस राइट ट्रायंगल (समद्विबाहु समकोण त्रिभुज)। आप इन त्रिभुजों को अच्छी तरह जानते हैं: इनका एक कोना बिल्कुल 90-डिग्री का कोण (जैसे कागज का कोना) होता है, और उस कोने से जुड़ी दोनों भुजाएँ बिल्कुल समान लंबाई की होती हैं। सवाल जो गणितज्ञों ने लंबे समय से पूछा है वह यह है: एक पड़ोस कितना बड़ा हो सकता है इससे पहले कि आप अनजाने में एक ऐसा वर्जित त्रिभुज बना दें? यह केवल ज्यामिति का खेल नहीं है; यह एक गहरा पहेली है जो यह जोड़ती है कि संख्याएँ कैसे व्यवहार करती हैं, वे डेटा को कैसे एन्क्रिप्ट करती हैं, और यहाँ तक कि वे ब्रह्मांड की संरचना को कैसे समझती हैं। यदि आप एक विशाल पड़ोस पा सकते हैं जिसमें कोई त्रिभुज न हो, तो इसका मतलब है कि संख्याओं को व्यवस्थित करने के ऐसे छिपे हुए, जटिल तरीके हैं जो सरल पैटर्नों से बचते हैं। दशकों तक, गणितज्ञों को पता था कि उत्तर "बहुत बड़ा" और "लगभग पूरे शहर" के बीच कहीं है, लेकिन सबसे बड़े संभव पड़ोस और सबसे छोटे संभव बड़े पड़ोस के बीच का अंतर बहुत बड़ा था। यह ऐसा था जैसे आपको पता हो कि खजाना किसी रेगिस्तान में कहीं है, लेकिन आप यह नहीं जानते कि वह रेत के एक अकेले कण के नीचे दबा है या सोने के पहाड़ के नीचे।

पेपर की बड़ी खोज: "त्रिभुज-मुक्त" शहर बनाने का एक नया तरीका

इस पेपर में, दो गणितज्ञों, ग्युला कैरोली (Gyula Károlyi) और जोसेफ सोलिमोसी (József Solymosi) ने एक विशाल नया पड़ोस बनाया है जो पहले की तुलना में बहुत बड़ा है। वे एक ग्रिड में बिंदुओं का एक ऐसा उपसमुच्चय बनाने में सफल रहे जो आइसोसेलेस राइट ट्राएंगल्स से बचता है, और उनका निर्माण इतना बड़ा है कि यह साबित करता है कि ऐसे पड़ोस का आकार लगभग $n^{1.3}$ (जहाँ $n$ ग्रिड का आकार है) की दर से बढ़ता है।

इसे समझने के लिए, कल्पना करें कि आप ब्लॉकों से एक मीनार बनाने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन आपके पास एक सख्त नियम है: आप ब्लॉकों को इस तरह से नहीं रख सकते कि वे एक विशिष्ट "बुरे" आकार को बनाते हों। अतीत में, गणितज्ञों ने इन मीनारों को बनाने के लिए उन ब्लॉकों को चुनने की कोशिश की जो अपने आप में पूरी तरह सुरक्षित थे। लेकिन कैरोली और सोलिमोसी ने महसूस किया कि वे इससे अधिक स्मार्ट हो सकते हैं। उन्होंने एक तकनीक का उपयोग किया जिसे वे "पीलिंग" (peeling) कहते हैं, जो जेन्गा (Jenga) के खेल जैसा है जहाँ आप एक थोड़ा डगमगाता हुआ टॉवर बना सकते हैं, जब तक कि आप ब्लॉकों को एक विशिष्ट क्रम में एक-एक करके हटा न सकें जब तक कि वह पूरी तरह सुरक्षित न हो जाए।

जादुмयी सामग्रियाँ

इस काम को अंजाम देने के लिए लेखकों ने कुछ चतुर तरीकों का उपयोग किया:

गौसियन इंटीजर्स (The "Magic Grid"): सामान्य संख्याओं के बजाय, उन्होंने गौसियन इंटीजर्स नामक एक विशेष प्रकार की संख्या का उपयोग किया। आप इन्हें ग्रिड पर बिंदुओं के रूप में सोच सकते हैं जहाँ प्रत्येक बिंदु का एक "x" निर्देशांक और एक "y" निर्देशांक होता है, लेकिन उन्हें एक एकल जादुई संख्या के रूप में माना जाता है। इसने उन्हें सामान्य संख्याओं की तुलना में अपने ब्लॉकों को घुमाने और स्थानांतरित करने की अनुमति दी।
"कैरी-फ्री" (Carry-Free) वर्णमाला: जब आप संख्याओं को जोड़ते हैं, तो कभी-कभी "कैरी" आता है (जैसे जब $9 + 1 = 10$ होता है, तो एक संख्या आगे बढ़ जाती है)। लेखकों ने "अंकों" (बिंदुओं का एक छोटा समूह) का एक विशेष सेट पाया जहाँ, यदि वे एक त्रिभुज बनाने के लिए आपस में जुड़ते हैं, तो गणित कभी भी अगले स्तर में "कैरी" नहीं ले जाता है। यह स्थानीय नियमों को सरल रखता है।
पीलिंग ऑर्डर (The Secret Sauce): यह सबसे नवीन हिस्सा है। उन्होंने 281 बिंदुओं का एक समूह पाया जिसमें यदि आप उन सभी को एक साथ देखते हैं तो त्रिभुज होते हैं। हालाँकि, उन्होंने इन बिंदुओं को हटाने का एक विशिष्ट क्रम खोजा। यदि आप पहले बिंदु को हटाते हैं, तो उस बिंदु को कोने के रूप में रखने वाले कोई भी त्रिभुज शेष नहीं रहते, फिर आप अगले को हटाते हैं, और इसी तरह। जब तक आप समाप्त करते हैं, शेष सेट पूरी तरह से सुरक्षित होता है। यह एक कमरे में लोगों के समूह जैसा है जहाँ हर कोई एक घेरे में हाथ पकड़े हुए है, लेकिन यदि आप उन्हें एक विशिष्ट क्रम में जाने के लिए कहें, तो घेरा टूटने से पहले ही कोई भी चोटिल होने से बच जाएगा।

परिणाम: एक बड़ी छलांग

AlphaEvolve नामक एक शक्तिशाली AI टूल का उपयोग करते हुए (जिसने लाखों संभावनाओं में से सही व्यवस्था खोजने में उनकी मदद की), उन्होंने 281 बिंदुओं के सेट के लिए एक "पीलिंग ऑर्डर" खोजा।

जब उन्होंने अपने तरीके को आकार $n$ के ग्रिड पर लागू किया, तो उन्होंने सिद्ध किया कि आप कम से कम $n^{1.3178...}$ आकार का एक त्रिभुज-मुक्त उपसमुच्चय पा सकते हैं।

इसे संदर्भ में रखने के लिए:

इससे पहले, सबसे अच्छा ज्ञात निचला स्तर (lower bound) बहुत छोटा था (लगभग $n^{1.05}$ )।
सबसे अच्छा ज्ञात ऊपरी स्तर (upper bound) (सैद्धांतिक सीमा कि यह कितना बड़ा हो सकता है) लगभग $n^2$ है, कुछ लॉगरिदमिक कारकों के साथ।
उनका परिणाम, $n^{1.3}$ , एक महत्वपूर्ण अंतर को पाटता है, यह दर्शाता है कि ऐसे त्रिभुज-मुक्त पड़ोस पहले की तुलना में बहुत बड़े हो सकते हैं।

उन्होंने क्या नहीं किया

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह पेपर क्या दावा नहीं करता है। उन्होंने यह साबित नहीं किया कि $n^{1.3}$ ही पूर्णतः अधिकतम संभव आकार है। उन्होंने वह "परफेक्ट" पड़ोस नहीं खोजा जो गणितीय रूप से जितना संभव हो सके उतना बड़ा हो। उन्होंने यह भी साबित नहीं किया कि 281 उनके विशिष्ट तरीके में उपयोग किए जा सकने वाले बिंदुओं की सबसे बड़ी संख्या है; उन्होंने बस एक बहुत अच्छा नंबर खोजा है।

पेपर स्पष्ट रूप से कहता है कि उनके नए निचले स्तर ( $n^{1.3}$ ) और ऊपरी स्तर ( $n^2$ ) के बीच अभी भी एक "बड़ा अंतर" है। रहस्य पूरी तरह से सुलझा नहीं है, लेकिन उन्होंने निश्चित रूप से पहले के किसी भी अन्य व्यक्ति की तुलना में पहेली का एक बहुत बड़ा हिस्सा खोज लिया है।

मुख्य निष्कर्ष

यह पेपर पुराने स्कूल के गणितीय तर्क और आधुनिक AI खोज के संयोजन की एक जीत है। संख्याओं को एक ग्रिड पर बिंदुओं के रूप में मानकर, एक विशेष "कैरी-फ्री" क्षेत्र खोजकर, और खतरनाक बिंदुओं को एक-एक करके हटाने के लिए एक चतुर "पीलिंग" रणनीति का उपयोग करके, लेखकों ने दिखाया है कि हम उनकी सोच से कहीं अधिक बड़े "त्रिभुज-मुक्त" शहर बना सकते हैं। यह एक जीवंत उदाहरण है कि कैसे एक नया दृष्टिकोण—समस्या को एक स्थिर दीवार के रूप में नहीं, बल्कि हटाने की एक गतिशील प्रक्रिया के रूप में देखना—संख्याओं की दुनिया में नई संभावनाओं को खोल सकता है।

तकनीकी सारांश: पूर्णांक ग्रिड के बड़े उपसमुच्चयों के लिए एक सालेम-स्पेंसर-प्रकार का निर्माण जिसमें समकोण समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Right Triangles - IRTs) नहीं हैं

समस्या विवरण
यह शोध पत्र पूर्णांक ग्रिड $\{0, 1, \dots, n-1\}^2$ के एक ऐसे उपसमुच्चय की अधिकतम आकार, जिसे $F(n)$ द्वारा दर्शाया गया है, को निर्धारित करने की समस्या पर केंद्रित है जिसमें कोई भी गैर-विकृत (nondegenerate) समकोण समद्विबाहु त्रिभुज (IRT) न हो। जबकि इस मात्रा के लिए ऊपरी सीमा (upper bound) ज्ञात है कि $F(n) \ll n^2 / (\log n)^{1+c}$ (ब्लूम-सिससक विधि के विस्तार के माध्यम से, जहाँ $c > 0$ एक स्थिरांक है), अब तक के सर्वोत्तम ज्ञात निम्नतम मान (lower bounds) ऐतिहासिक रूप से कमजोर रहे हैं। लेखक एक संशोधित सालेम-स्पेंसर-प्रकार के निर्माण का उपयोग करके एक सुपरलीनियर (superlinear) निम्नतम मान स्थापित करने का लक्ष्य रखते हैं, विशेष रूप से $F(n) = \Omega(n^\alpha)$ जहाँ $\alpha > 1$ है, जिसे गॉसियन पूर्णांकों (Gaussian integers) के अनुकूल बनाया गया है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक गॉसियन पूर्णांकों $\mathbb{Z}[i]$ पर आधारित एक अंक-आधारित (digit-based) निर्माण का उपयोग करते हैं, जहाँ जालक बिंदुओं (lattice points) $(x, y)$ को $x + iy$ के रूप में पहचाना जाता है। यह निर्माण चार मुख्य घटकों पर निर्भर करता है:

IRTs का रैखिक एन्कोडिंग (Linear Encoding of IRTs): एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज जिसके शीर्ष $a, b, c \in \mathbb{Z}[i]$ हैं (जहाँ $b$ समकोण शीर्ष है), उसे रैखिक समीकरण $a + ic = (1+i)b$ द्वारा एनकोड किया जाता है। विकृत समाधान (degenerate solutions) $a=b=c$ के अनुरूप होते हैं।
IRT-कैरी-मुक्त वर्णमाला (IRT-Carry-Free Alphabets): लेखक एक वर्णमाला $P \subset \mathbb{Z}[i]$ को एक गैर-तुच्छ गॉसियन पूर्णांक $\beta$ के सापेक्ष अवशेषों (residues) की एक आंशिक प्रणाली के रूप में परिभाषित करते हैं। $P$ "IRT-कैरी-मुक्त" है यदि समीकरण $a + ic = (1+i)b $केवल तभी$ \beta$ के मोड्यूलो में सत्य होता है जब वह वास्तव में सत्य हो (अर्थात, कोई "कैरी" उत्पन्न नहीं होती जो एक गलत सकारात्मक IRT बना सके)।
IRT-पीलिंग ऑर्डर (IRT-Peeling Orders): शास्त्रीय सालेम-स्पेंसर निर्माणओं के विपरीत, जिनमें वर्णमाला का स्वयं IRT-मुक्त होना आवश्यक है, यह विधि वर्णमाला $P$ में IRTs होने की अनुमति देती है। इसके बजाय, $P$ को एक "पीलिंग ऑर्डर" $p_1, \dots, p_q$ से सुसज्जित किया जाता है। यह एक अनुक्रम है कि किसी भी प्रत्यय (suffix) $R_t = \{p_t, \dots, p_q\}$ के लिए, $a, c \in R_t$ के साथ $a + ic = (1+i)p_t$ का एकमात्र समाधान तुच्छ समाधान $a=c=p_t$ है। यह गुण सुनिश्चित करता है कि अंक विस्तार (digit expansion) के माध्यम से बड़े सेटों का निर्माण करते समय, किसी भी संभावित IRT को सबसे महत्वपूर्ण स्थान (most significant position) से अंकों को हटाकर (peeling off) हटाया जा सकता है।
संरचना वर्ग (Composition Classes): अंतिम सेट का निर्माण वर्णमाला $P$ के ऊपर लंबाई $m$ वाले उन सभी शब्दों (words) को लेकर किया जाता है जो एक विशिष्ट "संरचना" (प्रत्येक अंक की आवृत्ति गणना) साझा करते हैं। एक बड़े संरचना वर्ग तक सीमित करके, पीलिंग ऑर्डर सभी अंक स्थितियों में प्रसारित होता है, जिससे परिणामी सेट IRT-मुक्त सुनिश्चित होता है।

मुख्य योगदान और परिणाम

सामान्य प्रमेय (Theorem 2.6): लेखक सिद्ध करते हैं कि यदि आधार $\beta$ में आकार $q$ वाली एक IRT-कैरी-मुक्त वर्णमाला $P$ एक वैध पीलिंग ऑर्डर के साथ मौजूद है, तो $F(n) \gg \frac{n^{\log q / \log |\beta|}}{(\log n)^{(q-1)/2}}$ ।
छोटा उदाहरण: $\beta = 2+2i$ और $P=\{0, 1, i\}$ का उपयोग करते हुए, वे एक निर्माण प्रदर्शित करते हैं जो $\alpha \approx 1.0566$ का घातांक (exponent) देता है।
अनुकूलित निर्माण (Theorem 4.2): प्राथमिक परिणाम आधार $\beta = 51 + 51i$ $β = 51 + 51 i$ और फंडामेंटल डोमेन के केंद्र में स्थित डायमंड से प्राप्त एक कैरी-फ्री क्षेत्र $C$ $C$ का उपयोग करता है। AI एजेंट AlphaEvolve का उपयोग करके, लेखकों ने $C$ $C$ में 281 विशिष्ट बिंदुओं के एक विशिष्ट क्रम की खोज की जो एक वैध IRT-पीलिंग ऑर्डर बनाता है।
- यह निम्नतम मान प्रदान करता है:
  $F(n) \gg \frac{n^\alpha}{(\log n)^{140}}$
  जहाँ $\alpha = \frac{\log 281}{\log |51+51i|} \approx 1.317865$ है।
- यह स्थापित करता है कि $F(n) = \Omega(n^{1.3})$ ।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र दावा करता है कि यह $F(n)$ के ज्ञात ऊपरी और निम्नतम मानों के बीच के अंतर को पाटता है, क्योंकि यह 1 से काफी अधिक घातांक वाला पहला सुपरलीनियर निम्नतम मान प्रदान करता है। इसका महत्व निम्नलिखित में निहित है:

नवीन तकनीक: "पीलिंग ऑर्डर" का परिचय यह अनुमति देता है कि वर्णमालाएँ स्वयं IRT-मुक्त न होने पर भी उपयोग की जा सकें, जिससे पिछले तरीकों की तुलना में बड़े अंक सेटों की खोज का स्थान विस्तृत हो जाता है।
संगणकीय खोज (Computational Discovery): विशिष्ट 281-बिंदु प्रमाण (certificate) खोजने के लिए AlphaEvolve का उपयोग यह दर्शाता है कि यह एक हाइब्रिड दृष्टिकोण है जहाँ AI संयोजी संरचनाओं (combinatorial structures) की खोज में सहायता करता है, जबकि गणितीय वैधता को एक नियतात्मक प्रमाण (deterministic certificate) द्वारा कठोरता से सत्यापित किया जाता है (परिशिष्ट B)।
दावों की विनम्रता: लेखक स्पष्ट रूप से कहते हैं कि उनका परिणाम यह सिद्ध नहीं करता है कि चुने गए आधार के लिए 281 अधिकतम संभव वर्णमाला आकार है, न कि यह आधार वैश्विक रूप से इष्टतम है। "अनुकूलित" (optimized) लेबल विशेष रूप से संगणकीय खोज उद्देश्य के लिए है। शोध पत्र ज्यामितीय तर्क (कैरी-फ्री क्षेत्रों की उपस्थिति) को परिमित खोज (पीलिंग ऑर्डर खोजना) से अलग करता है, जिससे परिणाम स्वतंत्र रूप से जांचने योग्य बनता है।

यह कार्य विभिन्न गॉसियन आधारों, असममित क्षेत्रों (asymmetric regions) और ब्लॉक अंकों (block digits) तक विस्तार का सुझाव देने के अलावा कोई नए अनुप्रयोग या भविष्य की प्रयोगात्मक दिशाएं प्रस्तावित नहीं करता है।

पेपर की बड़ी खोज: "त्रिभुज-मुक्त" शहर बनाने का एक नया तरीका

जादुмयी सामग्रियाँ

परिणाम: एक बड़ी छलांग

उन्होंने क्या नहीं किया

मुख्य निष्कर्ष

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