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A Salem-Spencer-Type Construction for Large Subsets of Integer Grids with No Isosceles Right Triangles

Este artículo presenta una construcción de tipo Salem–Spencer modificada sobre los enteros gaussianos para demostrar que el subconjunto más grande de una cuadrícula entera de $n \times n$ que no contiene triángulos rectángulos isósceles no degenerados tiene un tamaño de al menos $\Omega(n^{1.3})$ , reduciendo así la brecha con el actual mejor límite superior.

Autores originales: Gyula Károlyi, Jozsef Solymosi

Publicado 2026-07-28

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CC BY 4.0

Autores originales: Gyula Károlyi, Jozsef Solymosi

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que eres un detective tratando de resolver un misterio en una ciudad gigante e infinita hecha enteramente de intersecciones de cuadrículas. Esta ciudad es el mundo de las matemáticas, específicamente una rama llamada Combinatoria, que trata sobre contar, organizar y encontrar patrones en objetos discretos. En esta ciudad, las "calles" son simplemente números, y los "edificios" son puntos donde dos números se encuentran, como las coordenadas $(x, y)$ en un mapa.

El misterio en cuestión involucra una regla muy específica: quieres construir el vecindario más grande posible (un subconjunto de puntos) donde una forma determinada esté estrictamente prohibida. Esa forma es el triángulo rectángulo isósceles. Conoces bien estos triángulos: tienen un vértice que es un ángulo de 90 grados perfecto (como la esquina de una hoja de papel), y los dos lados que tocan ese vértice son exactamente de la misma longitud. La pregunta que los matemáticos se han estado haciendo durante mucho tiempo es: ¿Qué tan grande puede ser un vecindario antes de que te veas obligado a construir accidentalmente uno de estos triángulos prohibidos?

Esto no es solo un juego de geometría; es un rompecabezas profundo que conecta cómo se comportan los números, cómo se encriptan los datos y cómo entendemos la estructura del universo. Durante décadas, los matemáticos supieron que la respuesta estaba en algún lugar entre "muy grande" y "casi toda la ciudad", pero la brecha entre el tamaño del vecindario más grande posible y el más pequeño era enorme. Era como saber que un cofre del tesoro está en algún lugar de un desierto, pero no saber si está enterrado bajo un solo grano de arena o bajo una montaña de oro.

El Gran Descubrimiento del Artículo: Una Nueva Forma de Construir Ciudades "Libres de Triángulos"

En este artículo, dos matemáticos, Gyula Károlyi y József Solymosi, han construido un nuevo vecindario masivo que es mucho más grande de lo que cualquiera pensó posible anteriormente. Lograron construir un subconjunto de puntos en una cuadrícula que evita los triángulos rectángulos isósceles, y su construcción es tan grande que demuestra que el tamaño de tal vecindario crece a un ritmo de aproximadamente $n^{1.3}$ (donde $n$ es el tamaño de la cuadrícula).

Para entender cómo lo hicieron, imagina que estás tratando de construir una torre con bloques, pero tienes una regla estricta: no puedes apilar los bloques de manera que formen una forma "mala" específica. En el pasado, los matemáticos intentaron construir estas torres eligiendo bloques que fueran completamente seguros por sí mismos. Pero Károlyi y Solymosi se dieron cuenta de que podían ser más inteligentes. Utilizaron una técnica que llaman "pelado" (peeling), que es como un juego de Jenga donde puedes tener una torre ligeramente tambaleante, siempre y cuando puedas quitar los bloques uno por uno en un orden específico hasta que todo sea seguro.

Los Ingredientes Mágicos

Los autores utilizaron algunos trucos ingeniosos para lograr esto:

Los Enteros de Gauss (La "Cuadrícula Mágica"): En lugar de usar números normales, usaron un tipo especial de número llamado enteros de Gauss. Puedes pensar en ellos como puntos en una cuadrícula donde cada punto tiene una coordenada "x" y una coordenada "y", pero son tratados como un único número mágico. Esto les permitió rotar y desplazar sus bloques de maneras que los números normales no podían.
El Alfabeto "Sin Acarreo": Cuando sumas números, a veces obtienes un "acarreo" (como cuando $9 + 1 = 10$ , el 1 se acarrea). Los autores encontraron un conjunto especial de "dígitos" (un pequeño grupo de puntos) donde, si los sumas para formar un triángulo, la matemática nunca "acarrea" al siguiente nivel. Esto mantiene las reglas locales simples.
El Orden de Pelado (La Salsa Secreta): Esta es la parte más novedosa. Encontraron un grupo de 281 puntos que sí contienen triángulos si los miras todos a la vez. Sin embargo, descubrieron un orden específico para eliminar estos puntos. Si eliminas el primer punto, no quedan triángulos con ese punto como vértice. Luego eliminas el siguiente, y así sucesivamente. Para cuando terminas, el conjunto restante es perfectamente seguro. Es como tener una habitación llena de personas donde todos se toman de las manos en un círculo, pero si les pides que se vayan en un orden específico, el círculo se rompe antes de que alguien resulte herido.

El Resultado: Un Salto Gigante

Utilizando una poderosa herramienta de IA llamada AlphaEvolve (que les ayudó a buscar entre millones de posibilidades para encontrar la disposición perfecta), encontraron un "orden de pelado" para un conjunto de 281 puntos.

Cuando aplicaron su método a una cuadrícula de tamaño $n$ , demostraron que se puede encontrar un subconjunto libre de triángulos con un tamaño de al menos $n^{1.3178...}$ .

Para poner esto en perspectiva:

Antes de esto, el límite inferior conocido era mucho menor (alrededor de $n^{1.05}$ ).
El límite superior conocido (el límite teórico de qué tan grande podría ser) es aproximadamente $n^2$ dividido por algunos factores logarítmicos.
Su resultado, $n^{1.3}$ , cierra una brecha significativa, demostando que estos vecindarios libres de triángulos pueden ser mucho más grandes de lo que se sospechaba anteriormente.

Lo Que NO Hicieron

Es importante notar lo que este artículo no afirma. No demostraron que $n^{1.3}$ sea el tamaño máximo posible. No encontraron el vecindario "perfecto" que sea tan grande como matemáticamente es posible. Tampoco demostraron que 281 sea el mayor número de puntos que podrían usar en su método específico; simplemente encontraron uno muy bueno.

El artículo establece explícitamente que todavía hay una "gran brecha" entre su nuevo límite inferior ( $n^{1.3}$ ) y el límite superior ( $n^2$ ). El misterio no está totalmente resuelto, pero definitivamente han encontrado una pieza del rompecabezas mucho más grande que cualquier otra persona antes que ellos.

La Conclusión

Este artículo es un triunfo de la combinación de la lógica matemática de la vieja escuela con la búsqueda de la IA moderna. Al tratar los números como puntos en una cuadrícula, encontrar una zona especial "sin acarreo" y utilizar una ingeniosa estrategia de "pelado" para eliminar puntos peligrosos uno por uno, los autores han demostrado que podemos construir ciudades "libres de triángulos" mucho más grandes de lo que pensábamos. Es un ejemplo vívido de cómo una nueva perspectiva —ver el problema no como una pared estática, sino como un proceso dinámico de eliminación— puede desbloquear nuevas posibilidades en el mundo de los números.

Resumen Técnico: Una Construcción de Tipo Salem–Spencer para Subconjuntos Grandes de Grillas de Enteros sin Triángulos Rectángulos Isósceles

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el problema de determinar el tamaño máximo, denotado como $F(n)$ , de un subconjunto de la grilla de enteros $\{0, 1, \dots, n-1\}^2$ que no contenga triángulos rectángulos isósceles (TRI) no degenerados. Si bien se conoce que el límite superior para esta cantidad es $F(n) \ll n^2 / (\log n)^{1+c}$ para alguna constante $c > 0$ (mediante extensiones del método de Bloom–Sisask), los límites inferiores conocidos han sido históricamente débiles. Los autores pretenden establecer un límite inferior superlineal, específicamente $F(n) = \Omega(n^\alpha)$ para algún $\alpha > 1$ , utilizando una construcción modificada de tipo Salem–Spencer adaptada a los enteros gaussianos.

Metodología
Los autores emplean una construcción basada en dígitos sobre los enteros gaussianos $\mathbb{Z}[i]$ , identificando los puntos de la red $(x, y)$ con $x + iy$. La construcción se basa en cuatro componentes principales:

Codificación Lineal de los TRI: Un triángulo rectángulo isósceles con vértices $a, b, c \in \mathbb{Z}[i]$ (donde $b$ es el vértice del ángulo recto) se codifica mediante la ecuación lineal $a + ic = (1+i)b$. Las soluciones degeneradas corresponden a $a=b=c$ .
Alfabetos Libres de Acarreo para TRI: Los autores definen un alfabeto $P \subset \mathbb{Z}[i]$ como un sistema parcial de residuos módulo un entero gaussiano no trivial $\beta$ . $P$ es "libre de acarreo para TRI" si la ecuación $a + ic = (1+i)b$ se cumple módulo $\beta$ solo si se cumple exactamente (es decir, no hay "acarreos" que crearían un falso positivo para un triángulo).
Órdenes de Pelado (Peeling Orders) de TRI: A diferencia de las construcciones clásicas de Salem–Spencer que requieren que el alfabeto en sí mismo esté libre de la configuración prohibida, este método permite que el alfabeto $P$ contenga TRI. En su lugar, $P$ está equipado con un "orden de pelado" $p_1, \dots, p_q$ . Esta es una secuencia tal que para cualquier sufijo $R_t = \{p_t, \dots, p_q\}$ , la única solución a $a + ic = (1+i)p_t$ con $a, c \in R_t$ es la solución trivial $a=c=p_t$ . Esta propiedad asegura que, al construir conjuntos grandes mediante expansiones de dígitos, cualquier posible TRI puede ser eliminado mediante el pelado de los dígitos desde la posición más significativa.
Clases de Composición: El conjunto final se construye tomando todas las palabras de longitud $m$ sobre el alfabeto $P$ que comparten una "composición" específica (conteo de frecuencia de cada dígito). Al restringirse a una clase de composición grande, el orden de pelado se propaga a través de todas las posiciones de los dígitos, asegurando que el conjunto resultante esté libre de TRI.

Contribuciones Clave y Resultados

Teorema General (Teorema 2.6): Los autores demuestran que, si existe un alfabeto $P$ libre de acarreo para TRI de tamaño $q$ en base $\beta$ con un orden de pelado válido, entonces $F(n) \gg \frac{n^{\log q / \log |\beta|}}{(\log n)^{(q-1)/2}}$ .
Ejemplo Pequeño: Utilizando $\beta = 2+2i$ y $P=\{0, 1, i\}$ , demuestran una construcción que arroja un exponente $\alpha \approx 1.0566$ .
Construcción Optimizada (Teorema 4.2): El resultado principal utiliza una base $\beta = 51 + 51i$ $β = 51 + 51 i$ y una región libre de acarreo $C$ $C$ derivada de un diamante centrado en el dominio fundamental. Utilizando el agente de IA AlphaEvolve, los autores descubrieron un orden específico de 281 puntos distintos en $C$ $C$ que forma un orden de pelado de TRI válido.
- Esto produce el límite:
  $F(n) \gg \frac{n^\alpha}{(\log n)^{140}}$
  donde $\alpha = \frac{\log 281}{\log |51+51i|} \approx 1.317865$ .
- Esto establece que $F(n) = \Omega(n^{1.3})$ .

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma cerrar la brecha entre los límites superior e inferior conocidos para $F(n)$ al proporcionar el primer límite inferior superlineal con un exponente significativamente mayor que 1. La significancia radica en:

Técnica Novedosa: La introducción del "orden de pelado" permite que los alfabetos no sean ellos mismos libres de TRI, expandiendo el espacio de búsqueda para conjuntos de dígitos grandes más allá de lo que era posible con métodos anteriores.
Descubrimiento Computacional: El uso de AlphaEvolve para encontrar el certificado específico de 281 puntos demuestra un enfoque híbrido donde la IA asiste en el descubrimiento de estructuras combinatorias, mientras que la validez matemática es verificada rigurosamente por un certificado determinista (Apéndice B).
Modestia de las Reivindicaciones: Los autores declaran explícitamente que su resultado no prueba que 281 sea el tamaño máximo posible del alfabeto para la base elegida, ni que esta base sea globalmente óptima. La etiqueta "optimizada" se refiere estrictamente al objetivo de búsqueda computacional. El artículo separa el argumento geométrico (existencia de regiones libres de acarreo) de la búsqueda finita (encontrar el orden de pelado), haciendo que el resultado sea independientemente verificable.

El trabajo no propone nuevas aplicaciones o direcciones experimentales futuras más allá de sugerir extensiones a diferentes bases gaussianas, regiones asimétricas y dígitos de bloque.

El Gran Descubrimiento del Artículo: Una Nueva Forma de Construir Ciudades "Libres de Triángulos"

Los Ingredientes Mágicos

El Resultado: Un Salto Gigante

Lo Que NO Hicieron

La Conclusión

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