🔢 mathematics

A Salem-Spencer-Type Construction for Large Subsets of Integer Grids with No Isosceles Right Triangles

Dit artikel presenteert een gemodificeerde Salem–Spencer-type constructie over de Gaussische integers om te bewijzen dat de grootste deelverzameling van een $n \times n$ integer rooster die geen niet-degeneratieve gelijkbenige rechthoekige driehoeken bevat, een grootte heeft van ten minste $\Omega(n^{1.3})$ , waardoor de kloof met de huidige beste bovengrens wordt verkleind.

Oorspronkelijke auteurs: Gyula Károlyi, Jozsef Solymosi

Gepubliceerd 2026-07-28

📖 6 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Gyula Károlyi, Jozsef Solymosi

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je voor dat je een detective bent die een mysterie probeert op te lossen in een gigantische, oneindige stad die volledig bestaat uit roosterintersecties. Deze stad is de wereld van de wiskunde, specifiek een tak genaamd combinatoriek, die gaat over het tellen, rangschikken en vinden van patronen in discrete objecten. In deze stad zijn de "straten" simpelweg getallen, en de "gebouwen" zijn punten waar twee getallen elkaar ontmoeten, zoals $(x, y)$ -coördinaten op een kaart.

Het mysterie dat voorhanden is, volgt een zeer specifieke regel: je wilt de grootste mogelijke buurt (een deelverzameling van punten) bouwen waar een bepaalde vorm strikt verboden is. Die vorm is de gelijkbenige rechthoekige driehoek. Je kent deze driehoeken goed: ze hebben één hoek die een perfecte 90 graden hoek heeft (zoals de hoek van een vel papier), en de twee zijden die aan die hoek grenzen zijn precies even lang. De vraag die wiskundigen al heel lang stellen is: Hoe groot kan een buurt worden voordat je per ongeluk een van deze verboden driehoeken bouwt? Dit is niet alleen een spelletief geografie; het is een diep puzzelwerk dat verbonden is met hoe getallen zich gedragen, hoe we gegevens versleutelen en zelfs hoe we de structuur van het universum begrijpen. Als je een enorme buurt zonder driehoeken kunt vinden, betekent dit dat er verborgen, complexe manieren zijn om getallen te rangschikken om eenvoudige patronen te vermijden. Decennialang wisten wiskundigen dat het antwoord ergens tussen "zeer groot" en "bijna de hele stad" lag, maar de kloof tussen de kleinste mogelijke grote buurt en de grootste mogelijke een was enorm. Het was alsoer weten dat een schatkist ergens in een woestijn ligt, maar niet weten of deze begraven ligt onder een enkel korreltje zand of onder een berg goud.

De Grote Ontdekking van het Papier: Een Nieuwe Manier om "Driehoekvrije" Steden te Bouwen

In dit artikel hebben twee wiskundigen, Gyula Károlyi en József Solymosi, een enorme nieuwe buurt gebouwd die veel groter is dan voorheen voor mogelijk werd gehouden. Ze slaagden erin een deelverzameling van punten in een rooster te construeren die gelijkbenige rechthoekige driehoeken vermijdt, en hun constructie is zo groot dat het bewijst dat de grootte van een dergelijke buurt groeit met een snelheid van ongeveer $n^{1.3}$ (waarbij $n$ de grootte van het rooster is).

Om te begrijpen hoe ze dit deden, stel je voor dat je probeert een toren van blokken te bouwen, maar dat je een strikte regel hebt: je mag de blokken niet op een manier stapelen die een specifieke "slechte" vorm vormt. In het verleden probeerden wiskundigen dergelijke torens te bouwen door blokken te kiezen die op zichzelf volledig veilig waren. Maar Károlyi en Solymosi realiseerden zich dat ze slimmer konden zijn. Ze gebruikten een techniek die ze "peeling" (het afpellen) noemen, wat lijkt op een spelletje Jenga waarbij je een licht wankele toren kunt hebben, zolang je de blokken één voor één in een specifieke volgorde kunt verwijderen totdat de hele boel veilig is.

De Magische Ingrediënten

De auteurs gebruikten een paar slimme trucs om dit voor elkaar te krijgen:

De Gaussische Integers (Het "Magische Rooster"): In plaats van normale getallen gebruikten ze een speciaal soort getal genaamd Gaussische integers. Je kunt dit zien als punten op een rooster waar elk punt een "x"-coördinaat en een "y"-coördinaat heeft, maar die als één enkel magisch getal worden behandeld. Dit stelde hen in staat om hun blokken te roteren en te verschuiven op manieren die met normale getallen niet mogelijk waren.
Het "Carry-Free" Alfabet: Wanneer je getallen bij elkaar optelt, krijg je soms een "carry" (zoals wanneer $9 + 1 = 10$ , waarbij de 1 wordt doorgegeven naar de volgende kolom). De auteurs vonden een speciale set "cijfers" (een kleine groep punten) waarbij, als je ze bij elkaar optelt om een driehoek te vormen, de wiskunde nooit "overdraagt" naar het volgende niveau. Dit houdt de lokale regels eenvoudig.
De Peeling Order (Het Geheime Sausje): Dit is het meest vernieuwende deel. Ze vonden een groep van 281 punten die, als je ze allemaal tegelijk bekijkt, driehoeken bevatten. Echter, ze ontdekten een specifieke volgorde om deze punten te verwijderen. Als je het eerste punt verwijdert, blijven er geen driehoeken over met dat punt als hoekpunt. Vervolgens verwijder je het volgende punt, enzovoort. Tegen de tijd dat je klaar bent, is de resterende verzameling perfect veilig. Het is als een kamer vol mensen waar iedereen elkaars handen vasthoudt in een cirkel, maar als je vraagt om in een specifieke volgorde de kamer te verlaten, breekt de cirkel uiteen voordat er iemand gewond raakt.

Het Resultaat: Een Enorme Sprong Voorwaarts

Gebruikmakend van een krachtig AI-instrument genaamd AlphaEvolve (dat hen hielp door miljoenen mogelijkheden te doorzoeken om de perfecte arrangement te vinden), vonden ze een "peeling order" voor een verzameling van 281 punten.

Wanneer ze hun methode toepasten op een rooster van grootte $n$ , bewezen ze dat je een driehoekvrije deelverzameling kunt vinden met een grootte van ten minste $n^{1.3178...}$ .

Om dit in perspectief te plaatsen:

Voorheen was de beste bekende ondergrens veel kleiner (rond $n^{1.05}$ ).
De beste bekende bovengrens (de theoretische limiet van hoe groot het maximaal zou kunnen zijn) is ongeveer $n^2$ gedeeld door enkele logaritmische factoren.
Hun resultaat, $n^{1.3}$ , overbrugt een aanzienlijke kloof, en laat zien dat deze driehoekvrije buurten veel groter kunnen zijn dan voorheen werd vermoed.

Wat Ze Niet Hebben Gedaan

Het is belangrijk om te vermelden wat dit artikel niet claimt. Ze hebben niet bewezen dat $n^{1.3}$ de absolute maximale grootte is. Ze hebben niet de "perfecte" buurt gevonden die wiskundig gezien zo groot mogelijk is. Ze hebben ook niet bewezen dat 281 het grootste aantal punten is dat ze in hun specifieke methode hadden kunnen gebruiken; ze hebben simpelweg een zeer goede variant gevonden.

Het artikel stelt expliciet dat er nog steeds een "grote kloof" bestaat tussen hun nieuwe ondergrens ( $n^{1.3}$ ) en de bovengrens ( $n^2$ ). Het mysterie is niet volledig opgelost, maar ze hebben wel een veel groter stuk van de puzzel gevonden dan wie dan ook voorheen deed.

De Kernboodschap

Dit artikel is een triomf van het combineren van klassieke wiskundige logica met moderne AI-zoektechnieken. Door getallen te behandelen als punten op een rooster, een speciale "carry-free" zone te vinden en een slimme "peeling"-strategie te gebruiken om gevaarlijke punten één voor één te verwijderen, hebben de auteurs aangetoond dat we veel grotere "driehoekvrije" steden kunnen bouwen dan we dachten. Het is een levendig voorbeeld van hoe een fris perspectief — het probleem niet te zien als een statische muur, maar als een dynamisch proces van verwijdering — nieuwe mogelijkheden kan ontsluiten in de wereld van de getallen.

Technische Samenvatting: Een Salem–Spencer-type Constructie voor Grote Delsets van Integer Rasters zonder Isosceles Rechtvleugdigheid

Probleemstelling
Het artikel behandelt het probleem van het bepalen van de maximale grootte, aangeduid als $F(n)$ , van een delset van het integer raster $\{0, 1, \dots, n-1\}^2$ die geen niet-degeneratieve isosceles rechtvleugdigheid (IRT) bevat. Hoewel de bovengrens voor deze grootte bekend is als $F(n) \ll n^2 / (\log n)^{1+c}$ voor een constante $c > 0$ (via uitbreidingen van de Bloom–Sisask-methode), zijn de tot nu toe bekende ondergrenzen historisch gezien zwak. De auteurs beogen een superlineaire ondergrens vast te stellen, specifiek $F(n) = \Omega(n^\alpha)$ voor een $\alpha > 1$ , met behulp van een gemodificeerde Salem–Spencer-type constructie aangepast aan de Gaussische gehele getallen.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van een op cijfers gebaseerde constructie over de Gaussische gehele getallen $\mathbb{Z}[i]$ , waarbij roosterpunten $(x, y)$ worden geïdentificeerd met $x + iy$. De constructie rust op vier hoofdcomponenten:

Lineaire Codering van IRTs: Een isosceles rechtvleugdigheid met hoekpunten $a, b, c \in \mathbb{Z}[i]$ (waarbij $b$ het punt met de rechte hoek is) wordt gecodeerd door de lineaire vergelijking $a + ic = (1+i)b$. Degeneratieve oplossingen komen overeen met $a=b=c$ .
IRT-Carry-Free Alfabetten: De auteurs definiëren een alfabet $P \subset \mathbb{Z}[i]$ als een gedeeltelijk stelsel van residuen modulo een niet-triviaal Gaussisch geheel getal $\beta$ . $P$ is "IRT-carry-free" als de vergelijking $a + ic = (1+i)b$ modulo $\beta$ alleen standhoudt als deze exact standhoudt (d.w.z. er treden geen "overdrachten" op die een valse positieve voor een driehoek zouden creëren).
IRT-Peeling Orders: In tegenstelling tot klassieke Salem–Spencer constructies, waarbij het alfabet zelf vrij moet zijn van de verboden configuratie, staat deze methode toe dat het alfabet $P$ IRTs bevat. In plaats daarvan wordt $P$ uitgerust met een "peeling order" $p_1, \dots, p_q$ . Dit is een sequentie zodanig dat voor elke suffix $R_t = \{p_t, \dots, p_q\}$ , de enige oplossing voor $a + ic = (1+i)p_t$ met $a, c \in R_t$ de triviale oplossing $a=c=p_t$ is. Deze eigenschap zorgt ervoor dat bij het construeren van grote verzamelingen via cijferexpansies, elke potentiële IRT geëlimineerd kan worden door cijfers af te pellen vanaf de meest significante positie.
Compositieklassen: De uiteindelijke verzameling wordt geconstrueerd door alle woorden van lengte $m$ over het alfabet $P$ te nemen die een specifieke "compositie" (frequentietelling van elk cijfer) delen. Door te beperken tot een grote compositieklasse, propageert de peeling order door alle cijferposities, wat garandeert dat de resulterende verzameling IRT-vrij is.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

Algemene Stelling (Theorem 2.6): De auteurs bewijzen dat als een IRT-carry-free alfabet $P$ van grootte $q$ bestaat in basis $\beta$ met een geldige peeling order, dan $F(n) \gg \frac{n^{\log q / \log |\beta|}}{(\log n)^{(q-1)/2}}$ .
Klein Voorbeeld: Door $\beta = 2+2i$ en $P=\{0, 1, i\}$ te gebruiken, demonstreren zij een constructie die een exponent $\alpha \approx 1.0566$ oplevert.
Geoptimaliseerde Constructie (Theorem 4.2): Het primaire resultaat maakt gebruik van een basis $\beta = 51 + 51i$ $β = 51 + 51 i$ en een carry-free regio $C$ $C$ afgeleid van een centraal gelegen ruitvorm in de fundamentele domein. Met behulp van de AI-agent AlphaEvolve ontdekten de auteurs een specifieke ordening van 281 verschillende punten in $C$ $C$ die een geldige IRT-peeling order vormt.
- Dit levert de grens op:
  $F(n) \gg \frac{n^\alpha}{(\log n)^{140}}$
  waarbij $\alpha = \frac{\log 281}{\log |51+51i|} \approx 1.317865$ .
- Dit stelt vast dat $F(n) = \Omega(n^{1.3})$ .

Betekenis en Claims
Het artikel beweert de kloof tussen de bekende bovengrens en de ondergrenzen voor $F(n)$ te dichten door de eerste superlineaire ondergrens te bieden met een exponent die aanzienlijk groter is dan 1. De betekenis ligt in:

Nieuwe Techniek: De introductie van de "peeling order" staat alfabetten toe die niet zelf IRT-vrij zijn, wat de zoekruimte voor grote cijfersets uitbreidt voorbij wat mogelijk was met eerdere methoden.
Computationele Ontdekking: Het gebruik van AlphaEvolve om het specifieke 281-punts certificaat te vinden, toont een hybride benadering waarbij AI helpt bij de ontdekking van combinatorische structuren, terwijl de wiskundige geldigheid rigoureus wordt geverifieerd door een deterministisch certificaat (Appendix B).
Bescheidenheid van Claims: De auteurs geven expliciet aan dat hun resultaat niet bewijst dat 281 de maximaal mogelijke alfabetgrootte is voor de gekozen basis, noch dat deze basis globaal optimaal is. De term "geoptimaliseerd" verwijst strikt naar het computationele zoekdoel. Het artikel scheidt het geometrische argument (existentie van carry-free regio's) van de eindige zoektocht (het vinden van de peeling order), waardoor het resultaat onafhankelijk controleerbaar is.

Het werk stelt geen nieuwe toepassingen of toekomstige experimentele richtingen voor, afgezien van het suggereren van uitbreidingen naar andere Gaussische bases, asymmetrische regio's en blokcijfers.