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A Salem-Spencer-Type Construction for Large Subsets of Integer Grids with No Isosceles Right Triangles

Este artigo apresenta uma construção modificada do tipo Salem–Spencer sobre os inteiros gaussianos para provar que o maior subconjunto de uma grade inteira $n \times n$ que não contém triângulos retângulos isósceles não degenerados tem um tamanho de pelo menos $\Omega(n^{1.3})$ , estreitando, assim, a lacuna com o atual melhor limite superior.

Autores originais: Gyula Károlyi, Jozsef Solymosi

Publicado 2026-07-28

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CC BY 4.0

Autores originais: Gyula Károlyi, Jozsef Solymosi

Artigo original sob licença CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta é uma explicação gerada por IA do artigo abaixo. Não foi escrita nem endossada pelos autores. Para precisão técnica, consulte o artigo original. Ler aviso legal completo

Imagine que você é um detetive tentando resolver um mistério em uma cidade gigante e infinita feita inteiramente de interseções de grade. Esta cidade é o mundo da matemática, especificamente um ramo chamado Combinatória, que trata de contar, organizar e encontrar padrões em objetos discretos. Nesta cidade, as "ruas" são apenas números, e os "edifícios" são pontos onde dois números se encontram, como coordenadas $(x, y)$ em um mapa.

O mistério em questão envolve uma regra muito específica: você quer construir o maior bairro possível (um subconjunto de pontos) onde uma determinada forma é estritamente proibida. Essa forma é o triângulo retângulo isósceles. Você conhece bem esses triângulos: eles têm um canto que possui um ângulo perfeito de 90 graus (como o canto de uma folha de papel), e os dois lados que tocam esse canto têm exatamente o mesmo comprimento. A questão que os matemáticos têm feito há muito tempo é: Quão grande pode ser um bairro antes que você seja forçado a construir acidentalmente um desses triângulos proibidos? Isso não é apenas um jogo de geometria; é um enigma profundo que conecta como os números se comportam, como criptografamos dados e até como entendemos a estrutura do universo. Se você conseguir encontrar um bairro enorme sem triângulos, isso significa que existem formas ocultas e complexas de organizar números para evitar padrões simples. Por décadas, os matemáticos sabiam que a resposta estava em algum lugar entre "muito grande" e "quase toda a cidade", mas a lacuna entre o menor possível grande bairro e o maior deles era enorme. Era como saber que um baú de tesouro está em algum lugar no deserto, mas não saber se ele está enterrado sob um único grão de areia ou uma montanha de ouro.

A Grande Descoberta do Artigo: Uma Nova Maneira de Construir Cidades "Livre de Triângulos"

Neste artigo, dois matemáticos, Gyula Károlyi e József Solymosi, construíram um novo bairro massivo, muito maior do que qualquer um pensava ser possível antes. Eles conseguiram construir um subconjunto de pontos em uma grade que evita triângulos retângulos isósceles, e sua construção é tão grande que prova que o tamanho de tal bairro cresce a uma taxa de aproximadamente $n^{1.3}$ (onde $n$ é o tamanho da grade).

Para entender como eles fizeram isso, imagine que você está tentando construir uma torre de blocos, mas tem uma regra estrita: você não pode empilhar os blocos de uma forma que forme uma forma "ruim" específica. No passado, os matemáticos tentavam construir essas torres escolhendo blocos que fossem completamente seguros por si sós. Mas Károlyi e Solymosi perceberam que poderiam ser mais espertos. Eles usaram uma técnica que chamam de "descascamento" (peeling), que é como um jogo de Jenga onde você pode ter uma torre ligeiramente instável, desde que possa remover os blocos um por um em uma ordem específica até que tudo esteja seguro.

Os Ingredientes Mágicos

Os autores usaram alguns truques engenhosos para realizar isso:

Os Inteiros de Gauss (A "Grade Mágica"): Em vez de usar números normais, eles usaram um tipo especial de número chamado inteiros de Gauss. Você pode pensar neles como pontos em uma grade onde cada ponto tem uma coordenada "x" e uma coordenada "y", mas eles são tratados como um único número mágico. Isso permitiu que eles rotacionassem e deslocassem seus blocos de maneiras que os números normais não poderiam.
O Alfabeto "Sem Transporte" (Carry-Free): Quando somamos números, às vezes ocorre um "transporte" ou "vai um" (como quando $9 + 1 = 10$ , o 1 é transportado para a próxima casa). Os autores encontraram um conjunto especial de "dígitos" (um pequeno grupo de pontos) onde, se você os somar para formar um triângulo, a matemática nunca "transporta" valores para o próximo nível. Isso mantém as regras locais simples.
A Ordem de Descascamento (O Ingrediente Secreto): Esta é a parte mais inovadora. Eles encontraram um grupo de 281 pontos que contêm triângulos se você os observar todos de uma vez. No entanto, eles descobriram uma ordem específica para remover esses pontos. Se você remover o primeiro ponto, nenhum triângulo resta com esse ponto como o vértice do ângulo reto; então você remove o próximo, e assim por diante. Quando você termina, o conjunto restante é perfeitamente seguro. É como ter uma sala cheia de pessoas onde todos estão de mãos dadas em um círculo, mas se você pedir para elas saírem em uma ordem específica, o círculo se quebra antes que alguém se machuque.

O Resultado: Um Salto Gigantesco

Usando uma ferramenta de IA poderosa chamada AlphaEvolve (que os ajudou a pesquisar através de milhões de possibilidades para encontrar a arrumação perfeita), eles encontraram uma "ordem de descascamento" para um conjunto de 281 pontos.

Ao aplicarem seu método a uma grade de tamanho $n$ , eles provaram que é possível encontrar um subconjunto livre de triângulos com um tamanho de pelo menos $n^{1.3178...}$ .

Para colocar isso em perspectiva:

Antes disso, o limite inferior conhecido era muito menor (cerca de $n^{1.05}$ ).
O limite superior conhecido (o limite teórico de quão grande isso poderia ser) é aproximadamente $n^2$ dividido por alguns fatores logarítmicos.
O resultado deles, $n^{1.3}$ , preenche uma lacuna significativa, mostrando que esses bairros livres de triângulos podem ser muito maiores do que se suspeitava anteriormente.

O Que Eles Não Fizeram

É importante notar o que este artigo não afirma. Eles não provaram que $n^{1.3}$ é o tamanho máximo absoluto possível. Eles não encontraram o bairro "perfeito" que seria o maior possível matematicamente. Eles também não provaram que 281 é o maior número possível de pontos que poderiam usar em seu método específico; eles apenas encontraram um que é muito bom.

O artigo afirma explicitamente que ainda existe uma "grande lacuna" entre o novo limite inferior deles ( $n^{1.3}$ ) e o limite superior ( $n^2$ ). O mistério não foi totalmente resolvido, mas eles certamente encontraram uma peça do quebra-cabeça muito maior do que qualquer outra pessoa antes deles.

A Conclusão

Este artigo é um triunfo de combinar a lógica matemática clássica com a busca por IA moderna. Ao tratar números como pontos em uma grade, encontrar uma zona especial "sem transporte" e usar uma estratégia inteligente de "descascamento" para remover pontos perigosos um por um, os autores mostraram que podemos construir cidades "livres de triângulos" muito maiores do que pensávamos. É um exemplo vívido de como uma nova perspectiva — olhar para o problema não como uma parede estática, mas como um processo dinâmico de remoção — pode desbloquear novas possibilidades no mundo dos números.

Resumo Técnico: Uma Construção do Tipo Salem–Spencer para Grandes Subconjuntos de Grades de Inteiros sem Triângulos Retângulos Isósceles

Enunciado do Problema
O artigo aborda o problema de determinar o tamanho máximo, denotado por $F(n)$ , de um subconjunto da grade de inteiros $\{0, 1, \dots, n-1\}^2$ que não contenha triângulos retângulos isósceles (TRI) não degenerados. Embora o limite superior para esta quantidade seja conhecido como $F(n) \ll n^2 / (\log n)^{1+c}$ para alguma constante $c > 0$ (via extensões do método de Bloom–Sisask), os melhores limites inferiores conhecidos têm sido historicamente fracos. Os autores visam estabelecer um limite inferior superlinear, especificamente $F(n) = \Omega(n^\alpha)$ para algum $\alpha > 1$ , utilizando uma construção modificada do tipo Salem–Spencer adaptada aos inteiros gaussianos.

Metodologia
Os autores empregam uma construção baseada em dígitos sobre os inteiros gaussianos $\mathbb{Z}[i]$ , identificando pontos da rede $(x, y)$ com $x + iy$. A construção baseia-se em quatro componentes principais:

Codificação Linear de TRIs: Um triângulo retângulo isósceles com vértices $a, b, c \in \mathbb{Z}[i]$ (onde $b$ é o vértice do ângulo reto) é codificado pela equação linear $a + ic = (1+i)b$. Soluções degeneradas correspondem a $a=b=c$ .
Alfabetos Livres de "Carry" para TRI: Os autores definem um alfabeto $P \subset \mathbb{Z}[i]$ como um sistema parcial de resíduos módulo um inteiro gaussiano não trivial $\beta$ . $P$ é "livre de carry para TRI" se a equação $a + ic = (1+i)b$ vale módulo $\beta$ apenas se ela valer exatamente (ou seja, sem "carries" que criariam um falso positivo para um triângulo).
Ordens de Descascamento (Peeling Orders) de TRI: Diferente das construções clássicas de Salem–Spencer que exigem que o próprio alfabeto seja livre da configuração proibida, este método permite que o alfabeto $P$ contenha TRIs. Em vez disso, $P$ é equipado com uma "ordem de descascamento" $p_1, \dots, p_q$ . Esta é uma sequência tal que, para qualquer sufixo $R_t = \{p_t, \dots, p_q\}$ , a única solução para $a + ic = (1+i)p_t$ com $a, c \in R_t$ é a solução trivial $a=c=p_t$ . Esta propriedade garante que, ao construir grandes conjuntos via expansões de dígitos, qualquer potencial TRI possa ser eliminado ao descascar os dígitos da posição mais significativa.
Classes de Composição: O conjunto final é construído tomando todas as palavras de comprimento $m$ sobre o alfabeto $P$ que compartilham uma composição específica (contagem de frequência de cada dígito). Ao restringir a uma classe de composição grande, a ordem de descascamento se propaga através de todas as posições de dígitos, garantindo que o conjunto resultante seja livre de TRI.

Contribuições Principais e Resultados

Teorema Geral (Teorema 2.6): Os autores provam que, se existir um alfabeto $P$ livre de carry para TRI de tamanho $q$ na base $\beta$ com uma ordem de descascamento válida, então $F(n) \gg \frac{n^{\log q / \log |\beta|}}{(\log n)^{(q-1)/2}}$ .
Exemplo Pequeno: Usando $\beta = 2+2i$ e $P=\{0, 1, i\}$ , eles demonstram uma construção que resulta em um expoente $\alpha \approx 1.0566$ .
Construção Otimizada (Teorema 4.2): O resultado principal utiliza uma base $\beta = 51 + 51i$ $β = 51 + 51 i$ e uma região livre de carry $C$ $C$ derivada de um diamante centralizado no domínio fundamental. Usando o agente de IA AlphaEvolve, os autores descobriram uma ordenação específica de 281 pontos distintos em $C$ $C$ que forma uma ordem de descascamento de TRI válida.
- Isso resulta no limite:
  $F(n) \gg \frac{n^\alpha}{(\log n)^{140}}$
  onde $\alpha = \frac{\log 281}{\log |51+51i|} \approx 1.317865$ .
- Isso estabelece $F(n) = \Omega(n^{1.3})$ .

Significância e Alegações
O artigo afirma fechar a lacuna entre os limites superior e inferior conhecidos para $F(n)$ , fornecendo o primeiro limite inferior superlinear com um expoente significativamente maior que 1. A significância reside em:

Técnica Inovadora: A introdução da "ordem de descascamento" permite alfabetos que não são, por si só, livres de TRI, expandindo o espaço de busca para grandes conjuntos de dígitos além do que era possível com métodos anteriores.
Descoberta Computacional: O uso do AlphaEvolve para encontrar o certificado específico de 281 pontos demonstra uma abordagem híbrida onde a IA auxilia na descoberta de estruturas combinatórias, enquanto a validade matemática é rigorosamente verificada por um certificado determinístico (Apêndice B).
Modéstia das Alegações: Os autores declaram explicitamente que seu resultado não prova que 281 é o tamanho máximo possível de alfabeto para a base escolhida, nem que esta base seja globalmente ótima. O rótulo "otimizado" refere-se estritamente ao objetivo de busca computacional. O artigo separa o argumento geométrico (existência de regiões livres de carry) da busca finita (encontrar a ordem de descascamento), tornando o resultado independentemente verificável.

O trabalho não propõe novas aplicações ou direções experimentais futuras além de sugerir extensões para diferentes bases gaussianas, regiões assimétricas e dígitos em blocos.

A Grande Descoberta do Artigo: Uma Nova Maneira de Construir Cidades "Livre de Triângulos"

Os Ingredientes Mágicos

O Resultado: Um Salto Gigantesco

O Que Eles Não Fizeram

A Conclusão

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