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Optimality of Wouter van Doorn's Upper Bound for the Mayer-Erd\H{o}s Farey Problem

यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि ऑर्डर $n$ के फेरे अनुक्रम (Farey sequence) में दो "खराब क्रमबद्ध" (badly ordered) भिन्नों के बीच स्थित फेरे भिन्नों की न्यूनतम संख्या स्पर्शोन्मुखी रूप से (asymptotically) $n/4$ है, जिससे मेयर-एर्दोश फेरे समस्या के लिए वाउटर वैन डोरन के पूर्व ज्ञात ऊपरी आबंध (upper bound) की इष्टतमता स्थापित होती है।

मूल लेखक: Ricky Cipollini

प्रकाशित 2026-07-28

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ricky Cipollini

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एक विशाल, व्यवस्थित पुस्तकालय की कल्पना करें जहाँ प्रत्येक पुस्तक एक भिन्न (fraction) का प्रतिनिधित्व करती है, जैसे कि 1/2, 3/7, या 99/100। गणित की दुनिया में, इन पुस्तकों को व्यवस्थित करने का एक विशेष तरीका है जिसे "फेरे अनुक्रम" (Farey sequence) कहा जाता है। इसे एक पूरी तरह से क्रमबद्ध शेल्फ के रूप में सोचें जहाँ आप केवल उन पुस्तकों को रखते हैं जिनमें पृष्ठों की संख्या (हर/denominator) एक निश्चित सीमा तक कम हो, मान लीजिए $n$ । इस शेल्फ पर, पुस्तकें उनके मान के अनुसार छोटे से बड़े के क्रम में रखी गई हैं। आमतौर पर, जैसे-जैसे आप दाईं ओर बढ़ते हैं, "पृष्ठों की संख्या" बढ़ती जाती है, ठीक वैसे ही जैसे कोई कहानी अधिक जटिल होती जा सकती है।

लेकिन क्या होगा यदि आपको दो ऐसी पुस्तकें मिलें जो "खराब क्रम" (badly ordered) में हों? यह गणितज्ञों द्वारा उपयोग किया जाने वाला एक मज़ेदार शब्द है उन भिन्नों के जोड़े के लिए जहाँ दाईं ओर वाली भिन्न का पृष्ठ मान बाईं ओर वाली भिन्न के पृष्ठ मान से छोटा होता है, भले ही उसका मान अधिक हो। यह एक मोटी उपन्यास के बगल में एक पतली पुस्तिका मिलने जैसा है, लेकिन वह पुस्तिका वास्तव में एक "बड़ी" कहानी बताती है। बड़ा सवाल जिसने दशकों तक गणितज्ञों को उलझाए रखा है, वह यह है कि यदि आप इस शेल्फ पर ऐसा अजीब जोड़ा देखते हैं, तो उनके बीच कितने अन्य पुस्तकें अवश्य रूप से दब जानी चाहिए? क्या "फिलर" (filler) पुस्तकों की एक गारंटीकृत न्यूनतम संख्या है जो सही क्रम बनाए रखने के लिए मौजूद होनी चाहिए? यह केवल संख्याओं के बारे में नहीं है; यह समझने के बारे में है कि संख्याएँ कैसे फिट बैठती हैं और उनके बीच का छिपे हुए लय और अंतराल को समझना है, एक ऐसी पहेली जो अभाज्य संख्याओं (prime numbers) और भिन्नों के बीच के नृत्य से जुड़े गहरे प्रश्नों से जुड़ती है।

रिकी सिपोलिनी द्वारा लिखा गया यह शोध पत्र उसी पहेली को सुलझाता है। यह एक विशिष्ट समस्या पर ध्यान केंद्रित करता है जिसे "Erdős Problem 1005" के रूप में जाना जाता है, जो "सबसे खराब स्थिति" (worst-case scenario) के बारे में पूछती है: जैसे-जैसे आपकी शेल्फ अनंत रूप से बड़ी होती जाती है, दो खराब क्रम वाले भिन्नों के बीच आप न्यूनतम कितनी भिन्नें पा सकते हैं? एक गणितज्ञ वाउटर वैन डोर्न ने पहले यह पता लगाया था कि आप उस अंतराल में शेल्फ के कुल आकार के लगभग एक-चौथाई ( $n/4$ ) से अधिक भिन्न कभी नहीं पाएंगे। उन्होंने अनुमान लगाया था कि यही वास्तविक उत्तर है, लेकिन वह यह सिद्ध नहीं कर सके कि आप इससे कम भी पा सकते हैं या नहीं।

सिपोलिनी का शोध पत्र सिद्ध करता है कि वैन डोर्न सही थे। लेखक दिखाता है कि चाहे आप भिन्नों को किसी भी तरह से व्यवस्थित करने की कोशिश करें, आप दो खराब क्रम वाले भिन्नों के बीच के अंतराल को लगभग $n/4$ से छोटा नहीं कर सकते। दूसरे शब्दों में, "खराब क्रम" वाले जोड़े ऐसे चुंबकों की तरह हैं जो हमेशा एक-दूसरे को इतना प्रतिकर्षित करते हैं कि वे एक विशिष्ट मात्रा में खाली स्थान छोड़ देते हैं, और वह स्थान कुल पैमाने का ठीक एक-चौथाई है। यह शोध पत्र केवल अनुमान नहीं लगाता; यह एक कठोर गणितीय प्रमाण प्रदान करता है, जिसमें चतुर गणना तकनीकों और अनुमानों का उपयोग करके यह दिखाया गया है कि निचली सीमा ऊपरी सीमा से पूरी तरह मेल खाती है। इस प्रकार, रहस्य सुलझ गया है: स्थिरांक (constant) ठीक $1/4$ है। यह पत्र पुष्टि करता है कि वैन डोर्न का ऊपरी बंधन इस गणितीय खेल के लिए इष्टतम और अटूट नियम है।

तकनीकी सारांश: मेयर-एर्डोस फारे (Mayer–Erdős Farey) समस्या के लिए वाउटर वैन डोर्न के ऊपरी आबंध की इष्टतमता

समस्या का विवरण
यह शोध पत्र $n$ के क्रम की फारे अनुक्रम (Farey sequence), जिसे $F_n$ द्वारा दर्शाया गया है, से संबंधित एक विशिष्ट प्रश्न पर आधारित है। $F_n$ में सभी न्यूनततम रूप वाले भिन्न $a/b \in [0, 1]$ शामिल हैं जहाँ $b \le n$ , जो बढ़ते क्रम में व्यवस्थित हैं। अध्ययन का मुख्य विषय "खराब रूप से व्यवस्थित" (badly ordered) युग्मों की अवधारणा है। $F_n$ में दो भिन्न $a/b < c/d$ को तब खराब रूप से व्यवस्थित कहा जाता है जब उनके अंश बढ़ते हैं जबकि उनके हर घटते हैं (अर्थात, $a < c$ और $b > d$ )।

यह शोध पत्र $f(n)$ की मात्रा की जांच करता है, जो कि किसी भी दो खराब रूप से व्यवस्थित फारे भिन्नों के बीच स्थित फारे भिन्नों की न्यूनतम संख्या है। यह समस्या एर्डोस समस्या 1005 के समतुल्य है, जो उस स्थिरांक $c$ के लिए विषम (asymptotic) स्थिरांक $c$ की खोज करती है, जिससे समान रूप से व्यवस्थित फारे भिन्नों की अधिकतम गारंटीकृत सीमा $cn$ के समतुल्य होती है। जहाँ मेयर ने इस प्रश्न को आरंभ किया था और एर्डोस ने एक रैखिक निचला आबंध (lower bound) स्थापित किया था, वहीं सटीक विषम स्थिरांक खुला रह गया था। हाल के कार्य में वाउटर वैन डोर्न ने ऊपरी आबंध $f(n) \le n/4 + O(1)$ स्थापित किया और अनुमान लगाया कि यह आबंध इष्टतम है।

कार्यप्रणाली
प्रमाण प्राथमिक किंतु सूक्ष्म है, जो विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत और संयोजन संबंधी अनुमानों के संयोजन पर निर्भर करता है। रणनीति को एक निचला आबंध स्थापित करने और मौजूदा ऊपरी आबंध की समीक्षा करने में विभाजित किया गया है।

प्रारंभिक अंतरालों में न्यूनीकरण (Reduction to Elementary Intervals):
लेखक पहले यह प्रदर्शित करते हैं कि कोई भी खराब रूप से व्यवस्थित युग्म $a/b < c/d$ एक विशिष्ट "प्रारंभिक अंतराल" $I_{a,b} = (a/b, (a+1)/(b-1))$ को समाहित करता है। फलस्वरूप, $f(n)$ के लिए निचला आबंध सिद्ध करने के लिए यह दिखाना पर्याप्त है कि सभी वैध $a, b$ के लिए, $I_{a,b}$ में फारे भिन्नों की संख्या कम से कम $n/4 - o(n)$ है।
सहायक अनुमान (Auxiliary Estimates):
प्रमाण कई प्रमुख लेम्मा (lemmas) का उपयोग करता है:

प्रिमिटिव प्रगति (Primitive Progressions): एक सीमा के भीतर रैखिक डायोफेंटाइन समीकरणों के सह-अभाज्य (coprime) समाधानों की संख्या का एक अनुमान।
समान फारे गणना (Uniform Farey Count): किसी भी अंतराल $J$ में फारे भिन्नों की संख्या के लिए एक मानक अनुमान, जो $\frac{3}{\pi^2}|J|n^2 + O(n \log n)$ द्वारा दिया जाता है।
फारे अंतराल (Farey Gaps): $F_Q$ में क्रमागत भिन्नों के गुण, विशेष रूप से कि अंतराल की लंबाई $1/ss' $है और हरों का योग$ Q$ से अधिक है।
टोटिएंट वृद्धि (Totient Increments - मुख्य इंजन): एक महत्वपूर्ण लेम्मा (लेम्मा 5) जो फलन $S(x) = \sum_{1 \le e < x} (1 - e/x)\frac{\phi(e)}{e}$ से संबंधित है। लेखक सिद्ध करते हैं कि $x \ge 0, y \ge 2$ के लिए $S(x+y) - S(x) \ge y/4$ है। यह असमिका ही $1/4$ के स्थिरांक का स्रोत है।

निचले आबंध के लिए मामला विश्लेषण (Case Analysis for the Lower Bound):
$N_n(a, b)$ (अर्थात $I_{a,b}$ में भिन्नों की गणना) के लिए समान निचले आबंध को सिद्ध करने के लिए, लेखक $b$ के हर और अंतराल के भीतर "लघु" परिमेय संख्याओं की उपस्थिति के आधार पर विश्लेषण को विभाजित करते हैं:

लघु हर (Small Denominators): यदि $b$ छोटा है ( $b \le n/\log^2 n$ ), तो मानक समान फारे गणना पर्याप्त है।
बड़े हर (Large Denominators): यदि $b$ $b$ बड़ा है, तो अंतराल का विश्लेषण एक निम्न क्रम के फारे अनुक्रम $Q = \lfloor b^{2/3} \rfloor$ $Q = ⌊ b^{2/3} ⌋$ के सापेक्ष किया जाता है।
- मामला A (अंदर लघु परिमेय): यदि $I_{a,b}$ में एक न्यूनततम परिमेय $h/s$ है जहाँ $s \le Q$ , तो गणना को टोटिएंट फलनों के भारित योग का उपयोग करके नीचे सीमित किया जाता है, जो लेम्मा 5 का लाभ उठाते हुए यह दिखाने के लिए है कि योग कम से कम $s/4$ है।
- मामला B (अंदर कोई लघु परिमेय नहीं): यदि ऐसा कोई परिमेय मौजूद नहीं है, तो $I_{a,b}$ , $F_Q$ के एक अंतराल के भीतर स्थित है। लेखक इस अंतराल के सिरों का विश्लेषण करते हैं, यह दिखाते हुए कि "लघु" सिरा (जिसका हर $O(b^{1/3})$ है) एक समान टोटिएंट-योग अनुमान की अनुमति देता है, जो पुनः $n/4$ का मान प्रदान करता है।

ऊपरी आबंध (Upper Bound):
लेखक ऊपरी आबंध को प्रदर्शित करने के लिए वैन डोर्न के निर्माण को शामिल करते हैं। विशिष्ट भिन्नों $L = (2m-1)/4m$ और $R = 2m/(4m-1)$ (जहाँ $m \approx n/4$ ) को चुनकर, लेखक दिखाते हैं कि उनके बीच भिन्नों की संख्या ठीक $m + O(1) \approx n/4$ है।

मुख्य योगदान और परिणाम

मुख्य प्रमेय: यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि $f(n) = (1/4 + o(1))n$ है।
इष्टतमता: यह परिणाम वाउटर वैन डोर्न के इस अनुमान की पुष्टि करता है कि उनका ऊपरी आबंध $f(n) \le n/4 + O(1)$ विषम स्थिरांक के संदर्भ में इष्टतम है।
एर्डोस समस्या 1005 का समाधान: यह कार्य एर्डोस समस्या 1005 के लिए मांगे गए विषम स्थिरांक को सटीक रूप से $c = 1/4$ निर्धारित करता है।
तकनीकी नवाचार: प्रमाण एक भारित टोटिएंट योग के लिए एक सुदृढ़ एक-आयामी वृद्धि अनुमान (लेम्मा 5) पेश करता है, जो $1/4$ स्थिरांक प्राप्त करने के लिए इंजन के रूप में कार्य करता है।

महत्व
यह शोध पत्र फारे अनुक्रमों के सिद्धांत में एक लंबे समय से चले आ रहे प्रश्न को हल करता है, जो खराब रूप से व्यवस्थित भिन्नों के बीच के न्यूनतम अंतराल के सटीक विषम व्यवहार को निर्धारित करता है। ऊपरी आबंध को एक कठोर निचले आबंध के साथ मिलाकर, लेखक स्थिरांक $c$ के अंतर को समाप्त करते हैं, इसे $1/4$ के रूप में स्थापित करते हैं। इस कार्य को इसके उपकरणों के कारण प्राथमिक (elementary) माना जाता है (भारी यंत्रों से बचते हुए) लेकिन इसके निष्पादन में सूक्ष्मता है, विशेष रूप से विभिन्न श्रेणियों के हरों में टोटिएंट योगों के समान प्रबंधन के मामले में। परिणाम को Lean 4 में एक औपचारिकता द्वारा भी मान्य किया गया है, जो प्रमाण रणनीति की शुद्धता सुनिश्चित करता है।

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