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Optimality of Wouter van Doorn's Upper Bound for the Mayer-Erd\H{o}s Farey Problem

Cet article prouve que le nombre minimum de fractions de Farey strictement comprises entre deux fractions « mal ordonnées » dans la suite de Farey d'ordre $n$ est asymptotiquement $n/4$ , établissant ainsi l'optimalité de la borne supérieure précédemment connue de Wouter van Doorn pour le problème de Farey de Mayer-Erdős.

Auteurs originaux : Ricky Cipollini

Publié 2026-07-28

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Ricky Cipollini

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez une vaste bibliothèque ordonnée où chaque livre représente une fraction, comme 1/2, 3/7 ou 99/100. Dans le monde des mathématiques, il existe une façon spéciale de disposer ces livres appelée « suite de Farey ». Imaginez cela comme une étagère parfaitement triée où vous ne gardez que les livres avec un petit nombre de pages (dénominateurs) jusqu'à une certaine limite, disons $n$ . Sur cette étagère, les livres sont alignés du plus petit au plus grand en valeur. Habituellement, à mesure que l'on se déplace vers la droite, le « nombre de pages » des livres a tendance à augmenter, tout comme une histoire pourrait devenir plus complexe.

Mais que se passe-t-il si vous trouvez deux livres qui sont « mal ordonnés » ? C'est un terme amusant que les mathématiciens utilisent pour désigner une paire de fractions où celle de droite a un nombre de pages plus petit que celle de gauche, même si sa valeur est plus élevée. C'est comme trouver un épais roman posé à côté d'un mince pamphlet, alors que le pamphlet raconte une « plus grande » histoire. La grande question qui a intrigué les mathématiciens pendant des décennies est la suivante : si vous repérez une telle paire étrange sur votre étagère, combien d'autres livres doivent être forcément compressés entre elles ? Existe-t-il un nombre minimum garanti de livres « de remplissage » qui doivent exister pour maintenir l'ordre correct ? Ce n'est pas seulement une question de nombres ; c'est une compréhension du rythme caché et de l'espacement de la manière dont les nombres s'emboîtent les uns dans les autres, un puzzle qui relie des questions profondes sur la façon dont les nombres premiers et les fractions dansent ensemble.

Cet article, écrit par Ricky Cipollini, s'attaque à ce puzzle précis. Il se concentre sur un problème spécifique connu sous le nom de Problème d'Erdős 1005, qui demande le « pire scénario » : quel est le nombre absolument le plus petit de fractions que l'on peut trouver entre deux fractions mal ordonnées à mesure que l'étagère devient infiniment grande ? Un mathématicien nommé Wouter van Doorn avait précédemment découvert que vous ne trouveriez jamais plus d'environ un quart de la taille totale de l'étagère ( $n/4$ ) dans cet intervalle. Il avait supposé que cette limite était la vraie réponse, mais il n'avait pas pu prouver qu'on ne pouvait pas trouver moins que cela.

L'article de Cipollini prouve que van Doorn avait raison. L'auteur montre que, peu importe la façon dont vous essayez d'organiser les fractions, vous ne pouvez jamais compresser l'écart entre deux fractions mal ordonnées pour qu'il soit plus petit qu'environ $n/4$ . En d'autres termes, les paires « mal ordonnées » sont comme deux aimants qui se repoussent toujours suffisamment pour laisser un espace vide spécifique, et cet espace est exactement un quart de l'échelle totale. L'article ne se contente pas de deviner ; il fournit une preuve mathématique rigoureuse, utilisant des astuces de comptage ingénieuses et des estimations pour montrer que la limite inférieure correspond parfaitement à la limite supérieure. Ainsi, le mystère est résolu : la constante est exactement $1/4$ . L'article confirme que la borne supérieure de van Doorn est la règle optimale et inattaquable pour ce jeu mathématique.

Résumé Technique : Optimalité de la Borne Supérieure de Wouter van Doorn pour le Problème de Mayer–Erdős sur les Séries de Farey

Énoncé du Problème
Le papier traite d'une question spécifique concernant la série de Farey d'ordre $n$ , notée $F_n$ , qui consiste en toutes les fractions réduites $a/b \in [0, 1]$ avec $b \le n$ , disposées par ordre croissant. L'objet central d'étude est le concept de paires « mal ordonnées ». Deux fractions $a/b < c/d$ dans $F_n$ sont définies comme mal ordonnées si leurs numérateurs augmentent tandis que leurs dénominateurs diminuent (c'est-à-dire $a < c$ et $b > d$ ).

Le papier étudie la quantité $f(n)$ , définie comme le nombre minimum de fractions de Farey strictement comprises entre deux fractions mal ordonnées dans $F_n$ . Ce problème est équivalent au Problème 1005 d'Erdős, qui cherche la constante asymptotique $c$ telle que la plus grande plage garantie de fractions de Farey ordonnées de manière similaire soit asymptotique à $cn$. Les travaux récents de Wouter van Doorn ont établi la borne supérieure $f(n) \le n/4 + O(1)$ et ont conjecturé que cette borne est optimale.

Méthodologie
La preuve est élémentaire mais délicate, reposant sur une combinaison de théorie analytique des nombres et d'estimations combinatoires. La stratégie est divisée en l'établissement d'une borne inférieure correspondante et l'examen de la borne supérieure existante.

Réduction aux Intervalles Élémentaires :
Les auteurs démontrent d'abord que toute paire mal ordonnée $a/b < c/d$ contient un « intervalle élémentaire » spécifique $I_{a,b} = (a/b, (a+1)/(b-1))$ . Par conséquent, prouver la borne inférieure pour $f(n)$ revient à montrer que pour tout $a, b$ valides, le nombre de fractions de Farey dans $I_{a,b}$ est au moins $n/4 - o(n)$ .
Estimations Auxiliaires :
La preuve utilise plusieurs lemmes clés :

Progressions Primitives : Une estimation pour le nombre de solutions coprimes d'équations diophantiennes linéaires dans un intervalle donné.
Nombre de Farey Uniforme : Une estimation standard pour le nombre de fractions de Farey dans un intervalle arbitraire $J$ , donnée par $\frac{3}{\pi^2}|J|n^2 + O(n \log n)$ .
Écarts de Farey : Propriétés des fractions consécutives dans $F_Q$ , spécifiquement que la longueur du gap est $1/ss'$ et que la somme des dénominateurs dépasse $Q$ .
Incréments de la Fonction Totient (Le Moteur Central) : Un lemme critique (Lemme 5) concernant la fonction $S(x) = \sum_{1 \le e < x} (1 - e/x)\frac{\phi(e)}{e}$ . Les auteurs prouvent que $S(x+y) - S(x) \ge y/4$ pour $x \ge 0, y \ge 2$ . Cette inégalité est la source de la constante $1/4$ .

Analyse par Cas pour la Borne Inférieure :
Pour prouver la borne inférieure uniforme pour $N_n(a, b)$ (le décompte des fractions dans $I_{a,b}$ ), les auteurs divisent l'analyse selon le dénominateur $b$ et la présence de rationnels « petits » au sein de l'intervalle :

Petits Dénominateurs : Si $b$ est petit ( $b \le n/\log^2 n$ ), le décompte standard de Farey suffit.
Grands Dénominateurs : Si $b$ $b$ est grand, l'intervalle est analysé par rapport à la série de Farey d'un ordre inférieur $Q = \lfloor b^{2/3} \rfloor$ $Q = ⌊ b^{2/3} ⌋$ .
- Cas A (Petit Rationnel à l'Intérieur) : Si $I_{a,b}$ contient un rationnel réduit $h/s$ avec $s \le Q$ , le décompte est borné par le bas en utilisant une somme pondérée de fonctions totients, en s'appuyant sur le Lemme 5 pour montrer que la somme est au moins $s/4$ .
- Cas B (Aucun Petit Rationnel à l'Intérieur) : Si aucun rationnel de ce type n'existe, $I_{a,b}$ se situe dans un gap de $F_Q$ . Les auteurs analysent les extrémités de ce gap, montrant que la borne « petite » (avec un dénominateur $O(b^{1/3})$ ) permet une estimation similaire de la somme des totients, produisant à nouveau la borne $n/4$ .

Borne Supérieure :
Le papier inclut la construction de van Doorn pour démontrer la borne supérieure. En choisissant des fractions spécifiques $L = (2m-1)/4m$ et $R = 2m/(4m-1)$ (où $m \approx n/4$ ), les auteurs montrent que le nombre de fractions entre elles est exactement $m + O(1) \approx n/4$ .

Contributions Principales et Résultats

Théorème Principal : Le papier prouve que $f(n) = (1/4 + o(1))n$ .
Optimalité : Ce résultat confirme la conjecture de Wouter van Doorn selon laquelle sa borne supérieure $f(n) \le n/4 + O(1)$ est optimale en termes de constante asymptotique.
Résolution du Problème 1005 d'Erdős : Ce travail détermine que la constante asymptotique demandée pour le Problème 1005 d'Erdős est exactement $c = 1/4$ .
Innovation Technique : La preuve introduit une estimation d'incrément unidimensionnelle robuste pour une somme de totient pondérée (Lemme 5), qui sert de moteur pour dériver la constante $1/4$ .

Signification
Le papier résout une question de longue date dans la théorie des séries de Farey en fixant le comportement asymptotique exact du gap minimum entre les fractions mal ordonnées. En faisant correspondre la borne supérieure avec une borne inférieure rigoureuse, les auteurs comblent l'écart sur la constante $c$ , l'établissant à $1/4$ . L'œuvre est notée comme étant élémentaire dans ses outils (évitant les machines lourdes) mais délicate dans son exécution, particulièrement dans la gestion uniforme des sommes de totients à travers différents intervalles de dénominateurs. Le résultat est en outre validé par une formalisation dans Lean 4, garantissant la correction de la stratégie de preuve.

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