Optimality of Wouter van Doorn's Upper Bound for the Mayer-Erd\H{o}s Farey Problem

技術的要約：Wouter van Doornによる上界の最適性に関するMayer–Erdősのファレイ問題

問題設定
本論文は、次数 $n$ のファレイ数列 $F_n$ に関する特定の問いを扱っている。$F_n$ とは、分母が $b \le n$ である既約分数 $a/b \in [0, 1]$ を昇順に並べたものである。研究の中心的対象は、「不適切に順序付けられた（badly ordered）」ペアという概念である。$F_n$ における 2 つの分数 $a/b < c/d$ が、分子が増加し、かつ分母が減少する場合（すなわち $a < c$ かつ $b > d$）、それらは不適切に順序付けられていると定義される。

本論文は、$f(n)$ と定義される量を調査している。これは、$F_n$ における任意の「不適切に順序付けられた」ペアの間に存在する、厳密に間のファレイ分数の最小数である。この問題は、同様に順序付けられたファレイ分数の最大保証範囲が $cn$に漸近するための漸近定数$c$ を求める、Erdős の問題 1005 と同値である。Mayer がこの問題を提起し、Erdős が線形の下限を確立したが、正確な漸近定数は未解決のままであった。最近の研究において、Wouter van Doorn は上界 $f(n) \le n/4 + O(1)$ を示し、この上界が最適であるとの予想を立てた。

手法
証明は初等的でありながら精緻であり、解析的数論と組合せ論的な推定の組み合わせに基づいている。戦略は、一致する下限の確立と、既存の上界の検討の二段階に分かれている。

1. 基本区間への還元:
   著者らはまず、いかなる不適切に順序付けられたペア $a/b < c/d$ も、特定の「基本区間」 $I_{a,b} = (a/b, (a+1)/(b-1))$ を含むことを示す。したがって、$f(n)$ の下限を証明することは、すべての有効な $a, b$ に対して、 $I_{a,b}$ 内にあるファレイ分数の数が少なくとも $n/4 - o(n)$ であることを示すことに帰着される。

2. 補助的な推定:
   証明には以下の主要な補題が用いられる：

• 原始的な等差数列 (Primitive Progressions): ある範囲内における線形ディオファントス方程式の互いに素な解の個数の推定。
• 一様なファレイ数 (Uniform Farey Count): 任意の区間 $J$ におけるファレイ分数の個数の標準的な推定式 $\frac{3}{\pi^2}|J|n^2 + O(n \log n)$。
• ファレイの隙間 (Farey Gaps): $F_Q$ における連続する分数の性質。具体的には、隙間の長さは $1/ss'$であり、分母の和は$Q$ を超えること。
• トーシェント関数の増分 (中核となるエンジン): 関数 $S(x) = \sum_{1 \le e < x} (1 - e/x)\frac{\phi(e)}{e}$ に関する極めて重要な補題（補題 5）。著者らは $S(x+y) - S(x) \ge y/4$ （ただし $x \ge 0, y \ge 2$）であることを証明している。この不等式こそが、定数 $1/4$ の源泉である。

3. 下限のためのケース分析:
   $N_n(a, b)$（ $I_{a,b}$ 内の分数の数）の一様な下限を証明するために、分母 $b$ および区間内の「小さな」有理数の存在に基づいて分析を分割する：

• 小さな分母: $b$ が小さい場合（$b \le n/\log^2 n$）、標準的な一様ファレイ数の推定が適用可能である。
• 大きな分母: $b$ が大きい場合、区間はより低い次数 $Q = \lfloor b^{2/3} \rfloor$ のファレイ数列に対して分析される。
  • ケース A (小さな有理数が内部に存在する場合): $I_{a,b}$ が $s \le Q$ を満たす既約有理数 $h/s$ を含む場合、補題 5 を用いて、その和が少なくとも $s/4$ であることを利用することで、カウントの下限が示される。
  • ケース B (小さな有理数が内部に存在しない場合): $I_{a,b}$ が $F_Q$ の隙間に位置する場合。著者らはこの隙間の端点を分析し、「小さな」端点（分母が $O(b^{1/3})$）を用いることで、同様のトーシェント和の推定が可能であることを示し、再び $n/4$ の下限を得る。

4. 上界:
   論文には、van Doorn による構成が含まれており、これによって上界が示されている。$m \approx n/4$ となる特定の分数 $L = (2m-1)/4m$ と $R = 2m/(4m-1)$ を選択することで、それらの間にある分数の数が正確に $m + O(1) \approx n/4$ であることを示している。

主な貢献と結果

• 主定理: 本論文は $f(n) = (1/4 + o(1))n$ であることを証明している。
• 最適性: この結果は、Wouter van Doorn の予想、すなわち彼の提示した上界 $f(n) \le n/4 + O(1)$ が漸近定数の観点から最適であるということを裏付けている。
• Erdős 問題 1005 の解決: 本研究は、Erdős の問題 1005 において求められていた漸近定数が、正確に $c = 1/4$ であることを決定した。
• 技術的革新: 証明は、重み付きトーシェント和に関する堅牢な一次元増分推定（補題 5）を導入しており、これが $1/4$ という定数を導出するためのエンジンとして機能している。

意義
本論文は、不適切に順序付けられた分数の間の最小の隙間の正確な漸近挙動を特定することにより、ファレイ数列の理論における長年の疑問を解決した。上界を厳密な下限と一致させることにより、著者らは $c$ に関する空白を埋め、それを $1/4$ として確定させた。この成果は、使用する道具が初等的（重厚な装置を避けている）でありながら、その実行、特に異なる分母の範囲にわたるトーシェント和の一様な取り扱いにおいて非常に精緻である。この結果は、Lean 4 による形式化によっても検証されており、証明戦略の正当性が保証されている。