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Long-memory GARCH via a two-dimensional Markov chain

यह शोध पत्र एक नवीन GARCH-प्रकार के मॉडल को प्रस्तुत करता है जो पिछले झटकों (shocks) के अवस्था-निर्भर पावर-लॉ क्षय (state-dependent power-law decay) को उत्पन्न करने के लिए द्वि-आयामी मार्कोव श्रृंखला का उपयोग करता है, जिससे मजबूत सैद्धांतिक स्थिरता गारंटी और प्रतिस्पर्धी अनुभवजन्य पूर्वानुमान प्रदर्शन के साथ दीर्घ-स्मृति अस्थिरता निरंतरता (long-memory volatility persistence) प्राप्त होती है।

मूल लेखक: Kyungsub Lee, Kennedy Titus Kayaki

प्रकाशित 2026-07-29

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Kyungsub Lee, Kennedy Titus Kayaki

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

शेयर बाजार की कल्पना एक विशाल, अराजक महासागर के रूप में करें। कभी लहरें कोमल और अनुमानित होती हैं; तो कभी, अचानक एक तूफान आता है, और पानी कई दिनों तक हिंसक रूप से उथल-पुथल करता रहता है। वित्त की दुनिया में, इस "उथल-पुथल" को वोलैटिलिटी (volatility) कहा जाता है। दशकों से, वैज्ञानिक इन लहरों का पूर्वानुमान लगाने के लिए गणितीय मानचित्र बनाने की कोशिश कर रहे हैं। सबसे प्रसिद्ध मानचित्र, जिन्हें GARCH मॉडल कहा जाता है, एक साधारण गूँज की तरह काम करते हैं: यदि आज एक बड़ी लहर आती है, तो समुद्र कल भी थोड़ा अशांत रहता है, लेकिन उस लहर की स्मृति तेजी से मिट जाती है, जैसे किसी घाटी में चिल्लाने की आवाज़ जो कुछ ही सेकंड में खत्म हो जाती है।

हालाँकि, वास्तविक दुनिया का डेटा बताता है कि महासागर की स्मृति बहुत लंबी होती है। आज का एक बड़ा तूफान हफ्तों या महीनों तक लहरों को "अशांत" बनाए रख सकता है, जिसे लॉन्ग-मेमोरी (long-memory) नामक घटना कहा जाता है। पारंपरिक मानचित्र इस मामले में संघर्ष करते हैं क्योंकि वे बहुत जल्दी भूल जाने के लिए बने हैं। इसे ठीक करने के लिए, कुछ शोधकर्ताओं ने अनंत परतों वाली स्मृति वाले मानचित्र बनाने की कोशिश की, लेकिन वे इतने जटिल हो गए कि उन्हें उपयोग करना या उनकी स्थिरता सिद्ध करना कठिन हो गया। यह शोध पत्र एक नए विचार के साथ दृश्य में आता है: क्या होगा यदि हम एक सरल, दो-भागों वाली प्रणाली का उपयोग करके उस लंबी, बनी रहने वाली स्मृति को पकड़ सकें जो ट्रैक करने में आसान और गणितीय रूप से सुदृढ़ हो?

द टू-डायमेंशनल मेमोरी मशीन (दो-आयामी स्मृति यंत्र)

लेखक, क्युंगसब ली और केनेडी टाइटस कायकी, वित्तीय अस्थिरता (volatility) को मॉडल करने का एक नया तरीका प्रस्तावित करते हैं। केवल यह ट्रैक करने के बजाय कि पानी अभी कितना "अशांत" है (लेवल/स्तर), उनका मॉडल यह भी ट्रैक करता है कि वह अशांति कितनी तेजी से कम होने की उम्मीद है (स्लोप/ढलान)।

इसे एक जादुई, स्वतः-समायोजित होने वाले रबर बैंड की तरह समझें।

लेवल (Level): यह है कि रबर बैंड अभी कितना खिंचा हुआ है। एक बड़ा झटका (जैसे अचानक बाजार की गिरावट) इसे बाहर की ओर खींच देता है, जिससे "वोलैटिलिटी" बढ़ जाती है।
स्लोप (Slope): यह रबर बैंड की "कठोरता" या सामान्य होने के लिए वापस लौटने की गति है।

पुराने मॉडलों में, रबर बैंड हमेशा एक ही निश्चित गति से वापस लौटता था। लेकिन इस नए मॉडल में, हर बार जब कोई झटका लगता है, तो वह न केवल बैंड को खींचता है, बल्कि बैंड की कठोरता को भी बदल देता है। यदि झटका पर्याप्त बड़ा है, तो यह बैंड को "ढीला" कर सकता है, जिसका अर्थ है कि इसे सामान्य होने में बहुत अधिक समय लगेगा। यह एक फीडबैक लूप बनाता है: झटकों का इतिहास भविष्य में रिकवरी की गति को बदल देता है, जिससे मॉडल बिना अनंत चरों (variables) की आवश्यकता के लंबे समय तक अतीत को याद रख पाता है।

उन्होंने कैसे सिद्ध किया कि यह काम करता है

इन जटिल, स्वतः-समायोजित प्रणालियों के साथ सबसे बड़ी चिंता यह होती है कि वे पागल हो सकती हैं। यदि रबर बैंड बहुत ढीला हो जाता है, तो मॉडल अनंत वोलैटिलिटी की भविष्यवाणी कर सकता है, जो कि निरर्थक है। लेखकों ने यह सिद्ध करने में काफी समय बिताया कि उनकी प्रणाली सुरक्षित है।

उन्होंने फॉस्टर-ल्यपुनोव कंडीशन (Foster–Lyapunov condition) नामक एक गणितीय उपकरण का उपयोग किया। इसे एक सुरक्षा जाल के रूप में कल्पना करें। उन्होंने दिखाया कि बाजार कितना भी अनियंत्रित क्यों न हो जाए, सिस्टम में एक अंतर्निर्मित तंत्र है जो अंततः रबर बैंड को एक स्थिर अवस्था की ओर खींच लेता है। उन्होंने सिद्ध किया कि मॉडल पॉजिटिव हैरिस रिकरेंट (positive Harris recurrent) है, जो एक तकनीकी तरीका है यह कहने का कि: "सिस्टम हमेशा एक अनुमानित पैटर्न में स्थिर हो जाएगा और अनंत की ओर नहीं भागेगा।" उन्होंने यह भी दिखाया कि यह स्थिर पैटर्न अद्वितीय है, जिसका अर्थ है कि मॉडल भ्रमित होकर अलग-अलग व्यवहारों के बीच स्विच नहीं करता है।

सिमुलेशन: लॉन्ग मेमोरी का परीक्षण

यह देखने के लिए कि क्या उनका विचार वास्तव में लॉन्ग मेमोरी पैदा करता है, टीम ने हजारों कंप्यूटर सिमुलेशन चलाए। उन्होंने मॉडल में यादृच्छिक (random) बाजार झटके डाले और देखा कि समय के साथ "वोलैटिलिटी" कैसा व्यवहार करती है।

उन्होंने पाया कि जब मॉडल के पैरामीटर एक विशिष्ट "स्थिरता सीमा" (सुरक्षा जाल के किनारे) के करीब ट्यून किए गए थे, तो सिम्युलेटेड बाजार बिल्कुल वास्तविक लॉन्ग-मेमोरी डेटा की तरह व्यवहार करने लगा। झटके जल्दी खत्म नहीं हुए; इसके बजाय, वे टिके रहे, जिससे एक धीमी, पावर-लॉ डिके (power-law decay) बनी। इसने पुष्टि की कि उनकी सरल दो-भागों वाली प्रणाली वास्तव में वास्तविक वित्तीय बाजारों में देखी जाने वाली जिद्दी, लंबे समय तक चलने वाली वोलैटिलिटी की नकल कर सकती है।

रियल-वर्ल्ड टेस्ट ड्राइव

लेखकों ने फिर अपने मॉडल को छह प्रमुख वित्तीय बाजारों के वास्तविक डेटा का उपयोग करके परखा: S&P 500, FTSE 100, DAX, Nikkei 225, KOSPI और बिटकॉइन।

अच्छी खबर:
मॉडल इन बाजारों की "लॉन्ग मेमोरी" को पकड़ने में आश्चर्यजनक रूप से अच्छा था। जब उन्होंने अपने मॉडल की भविष्यवाणियों की वास्तविक डेटा से तुलना की, तो मेमोरी अनुमान Nikkei 225 और S&P 500 जैसे कई बाजारों के लिए बहुत अच्छी तरह मेल खाए। इसने सफलतापूर्वक वोलैटिलिटी के धीमे क्षय (decay) को पुन: निर्मित किया जिसे पुराने, सरल मॉडल नहीं पकड़ पाए थे।

तुलना:
उन्होंने अपने मॉडल को क्षेत्र के दिग्गजों के सामने खड़ा किया:

GARCH(1,1): मानक, सरल मॉडल।
FIGARCH: विशेष रूप से लॉन्ग मेमोरी के लिए बनाया गया एक जटिल मॉडल।
HAR-RV: एक मॉडल जो पिछले रियलाइज्ड वेरिएंस (बीते हुए उतार-चढ़ाव का एक सीधा माप) का उपयोग करता है।

परिणाम:

अतीत को फिट करना: जटिल FIGARCH मॉडल ने ऐतिहासिक डेटा को सबसे अच्छी तरह से "फिट" किया (इसमें इसकी संभावना/likelihood सबसे अधिक थी)। नया मॉडल FIGARCH से थोड़ा पीछे था लेकिन मानक GARCH(1,1) के बहुत करीब था।
भविष्य की भविष्यवाणी करना: यहीं पर यह दिलचस्प हो जाता है। जब भविष्य की वोलैटिलिटी की भविष्यवाणी की गई, तो नया मॉडल अधिकांश बाजारों में मानक GARCH(1,1) के समान ही प्रदर्शन करता रहा। इसने समग्र रूप से FIGARCH को नहीं हराया, लेकिन अधिकांश बाजारों के लिए सांख्यिकीय रूप से उतना ही अच्छा था, सिवाय KOSPI और बिटकॉइन के, जहाँ FIGARCH का थोड़ा बढ़त थी।
असली विजेता: दिलचस्प रूप से, HAR-RV मॉडल (जो सीधे पिछले वेरिएंस डेटा का उपयोग करता है) सबसे अच्छा भविष्यवक्ता था। हालांकि, लेखक नोट करते हैं कि HAR-RV एक विशेष उपकरण है जो उस जानकारी का उपयोग करता है जो नए मॉडल के पास नहीं है (यह सीधे रियलाइज्ड वेरिएंस को देखता है, न कि केवल रिटर्न्स को)।

मुख्य निष्कर्ष (The Takeaway)

यह शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि लॉन्ग मेमोरी को पकड़ने के लिए आपको अनंत रूप से जटिल मशीन की आवश्यकता नहीं है। केवल एक अतिरिक्त आयाम जोड़कर—एक "मेमोरी स्केल" जो झटकों के आधार पर बदलता है—आप एक ऐसा मॉडल बना सकते हैं जो है:

गणितीय रूप से सुरक्षित: यह नियंत्रण से बाहर नहीं होगा।
सरल: यह एक समय में केवल दो नंबरों को ट्रैक करता है।
प्रभावी: यह सबसे जटिल मॉडलों के लगभग उतना ही अच्छा है जितना कि जटिल मॉडलों की जिद्दी, लंबे समय तक चलने वाली प्रकृति को पकड़ सकता है।

यह एक अनुस्मारक है कि कभी-कभी, एक जटिल, उथल-पुथल भरे महासागर को समझने का सबसे अच्छा तरीका हर एक लहर का मानचित्र बनाना नहीं है, बल्कि यह समझना है कि पानी स्वयं तूफान को कैसे याद रखता है।

तकनीकी सारांश: दो-आयामी मार्कोव श्रृंखला के माध्यम से लॉन्ग-मेमोरी GARCH

समस्या विवरण
मानक GARCH मॉडल पिछले वर्ग नवाचारों (squared innovations) और सशर्त प्रसरणों (conditional variances) के एक सरल पुनरावर्ती फीडबैक के माध्यम से अस्थिरता क्लस्टरिंग (volatility clustering) को कैप्चर करते हैं। हालांकि, अनुभवजन्य साक्ष्य बताते हैं कि वित्तीय अस्थिरता में "लॉन्ग मेमोरी" (long memory) होती है, जो अस्थिरता प्रॉक्सी (जैसे, वर्ग रिटर्न) में धीमी क्षय निर्भरता (slowly decaying dependence) द्वारा चिह्नित होती है, जिसे पारंपरिक GARCH विनिर्देशों द्वारा दोहराना विफल रहता है। मौजूदा समाधान, जैसे कि फ्रैक्शनल GARCH (FIGARCH), HYGARCH, या अनंत-क्रम के ARCH मॉडल, फ्रैक्शनल फिल्टर, हाइपरबोलिक क्षय, या अनंत लैग संरचनाओं के माध्यम से दृढ़ता (persistence) पेश करते हैं। प्रभावी होने के बावजूद, इन दृष्टिकोणों में अक्सर एक परिमित-आयामी मार्कोव प्रतिनिधित्व का अभाव होता है, जिससे स्थिरता विश्लेषण और गणनात्मक सुगमता जटिल हो जाती है। इसके विपरीत, लेटेंट फैक्टर्स (latent factors) वाले स्टोकेस्टिक वोलैटिलिटी मॉडल या रफ वोलैटिलिटी मॉडल दृढ़ता को संबोधित करते हैं, लेकिन अक्सर अनुभवजन्य विशिष्टता (empirical distinguishability) के लिए संघर्ष करते हैं या सीधे सशर्त प्रसरण पुनरावृत्ति (conditional variance recursion) का अभाव होता है।

कार्यप्रणाली
लेखक एक नया GARCH-प्रकार का मॉडल प्रस्तावित करते हैं जो एक परिमित-आयामी (दो-आयामी) मार्कोव अवस्था बनाए रखते हुए लॉन्ग-मेमोरी व्यवहार उत्पन्न करता है। मुख्य तंत्र "लेवल-एंड-स्लोप मैचिंग" (स्तर-और-ढलान मिलान) निर्माण (Lee, 2026b) को सशर्त अस्थिरता मॉडलिंग के लिए अनुकूलित करता है।

लेटेंट पावर-लॉ कर्नेल (Latent Power-Law Kernel): एक निश्चित ऑटो-रिग्रेसिव क्षय के बजाय, सशर्त प्रसरण को एक लेटेंट पावर-लॉ कर्नेल $h_n(t) = \mu + a_n(t+c_n)^{-p}$ से प्राप्त किया जाता है।
स्टेट अपडेट मैकेनिज्म: रिटर्न शॉक $\eta_n$ $η_{n}$ को देखते हुए, कर्नेल को नए ओरिजिन पर दोनों लेवल (स्तर) और स्लोप (ढलान) को मैच करके अगले काल के लिए अपडेट किया जाता है।
- स्टेट वेक्टर $(X_n, c_n)$ है, जहाँ $X_n$ अतिरिक्त प्रसरण स्तर (excess variance level) का प्रतिनिधित्व करता है और $c_n$ एक एंडोजेनस मेमोरी स्केल (endogenous memory scale) का प्रतिनिधित्व करता है।
- अपडेट नियम (समीकरण 6–7) यह सुनिश्चित करते हैं कि नया स्टेट $(X_n, c_n)$ पिछले स्टेट और वर्ग नवाचार $\eta_n^2$ का एक नियत (deterministic) फलन है।
मार्कोव प्रतिनिधित्व: परिणामी प्रक्रिया स्टेट स्पेस $S = [0, \infty) \times [\gamma, \infty)$ पर एक समय-समरूप मार्कोव श्रृंखला (time-homogeneous Markov chain) है। यह मॉडल एक रैंडम-कोएफिशिएंट ARCH( $\infty$ ) प्रतिनिधित्व को स्वीकार करता है जहाँ क्षय कारक (decay factors) एंडोजेनस और स्टेट-डिपेंडेंट हैं, न कि निश्चित नियत गुणांक।

मुख्य योगदान

स्थिरता सिद्धांत (Stability Theory): प्राथमिक गणितीय योगदान इस गैर-मानक मार्कोव श्रृंखला के लिए एक कठोर स्थिरता विश्लेषण है। मानक GARCH मॉडल के विपरीत, जहाँ स्थिरता एक-आयामी लॉग-मोमेंट स्थिति में कम हो जाती है, इस मॉडल के लिए एक संयुक्त फॉस्टर-ल्यपुनोव (Foster–Lyapunov) स्थिति की आवश्यकता होती है।
- लेखक एक ल्यपुनोव फलन $V(x, c) = \log(1+x) + \lambda c$ का निर्माण करते हैं जो प्रसरण स्तर और मेमोरी स्केल को जोड़ता है।
- वे एक संयुक्त ड्रिफ्ट स्थिति (Assumption 1) व्युत्पन्न करते हैं जिसके लिए एक $\lambda > 0$ का अस्तित्व आवश्यक है ताकि लॉग-प्रसरण और मेमोरी स्केल के संयुक्त ड्रिफ्ट का सुप्रीमक (supremum) ऋणात्मक हो।
- इस स्थिति और नवाचार वितरण पर नियमितता धारणाओं के तहत, यह पेपर सिद्ध करता है कि श्रृंखला पॉजिटिव हैरिस रिकरेंट (positive Harris recurrent) है और एक अद्वितीय इनवेरिएंट प्रोबेबिलिटी मेजर को स्वीकार करती है।
डायग्नोस्टिक स्थिति: पेपर स्थिरता के लिए एक आवश्यक डायग्नोस्टिक स्थिति (समीकरण 35) व्युत्पन्न करता है, जो एक मानक GARCH लॉग-मोमेंट स्थिति के समान है लेकिन एक क्रिटिकल एंडोजेनस स्केल $c^*$ पर मूल्यांकित की जाती है। संख्यात्मक प्रयोग दिखाते हैं कि यह डायग्नोस्टिक बाउंड्री वास्तविक संयुक्त स्थिरता बाउंड्री के अत्यंत करीब है।
नियमितता सत्यापन (Regularity Verification): कंट्रोल-थ्योरेटिक तर्कों (Meyn and Tweedie फ्रेमवर्क) का उपयोग करते हुए, लेखक यह प्रदर्शित करके $\psi$ -इरिड्यूसिबिलिटी (irreducibility) और कॉम्पैक्ट सेट्स की पेटिनेस (petiteness) स्थापित करते हैं कि नियत नियंत्रण मॉडल एक बाउंड्री एंकर $(0, \gamma)$ तक पहुँच सकता है और स्थानीय रूप से जैकोबियन रैंक स्थिति (Jacobian rank condition) लागू होती है।

परिणाम

सिमुलेशन अध्ययन:
- लॉग-स्क्वेर्ड नवाचारों पर लोकल व्हिटल एस्टिमेटर (local Whittle estimator) का उपयोग करते हुए, सिमुलेशन दर्शाते हैं कि मॉडल पर्याप्त लो-फ्रीक्वेंसी पर्सिस्टेंस (लॉन्ग मेमोरी) उत्पन्न करता है।
- दृढ़ता (Persistence) तब सबसे मजबूत होती है जब पैरामीटर सिस्टम को डायग्नोस्टिक स्थिरता बाउंड्री के करीब रखते हैं। जैसे-जैसे मेमोरी स्केल $c_n$ बड़ा होता जाता है, एंडोजेनस क्षय कारक एकता (unity) के करीब रहते हैं, जिससे धीरे-धीरे क्षय होने वाली निर्भरता उत्पन्न होती है।
- अनुमानित मेमोरी पैरामीटर $\hat{d}$ स्थिरता फ्रंटियर के करीब पहुँचने पर मोनोटोनली बढ़ता है।
अनुभवजन्य विश्लेषण (Empirical Analysis):
- मॉडल को पांच अंतर्राष्ट्रीय इक्विटी इंडेक्स (S&P 500, FTSE 100, DAX, Nikkei 225, KOSPI) और बिटकॉइन के दैनिक रिटर्न पर फिट किया गया।
- इन-सैंपल फिट: LM-GARCH मॉडल महत्वपूर्ण लॉन्ग-मेमोरी व्यवहार को कैप्चर करता है, जिसमें मॉडल-इंप्लाइड मेमोरी अनुमान निकेई 225, S&P 500 और FTSE 100 के लिए डेटा-आधारित अनुमानों के करीब हैं। हालांकि, इक्विटी इंडेक्स के लिए इसका इन-सैंपल लॉग-लाइक्लिहुड आमतौर पर FIGARCH और एसिमेट्रिक GARCH (GJR, EGARCH) की तुलना में कम है, हालांकि यह बिटकॉइन के लिए उनसे बेहतर प्रदर्शन करता है।
- आउट-ऑफ-सैंपल फोरकास्टिंग: रियलाइज्ड वेरिएंस पर QLIKE लॉस का उपयोग करते हुए, LM-GARCH, GARCH(1,1) के साथ प्रतिस्पर्धी प्रदर्शन करता है। जबकि FIGARCH सभी बाजारों में कम औसत हानि देता है, यह अंतर केवल KOSPI और बिटकॉइन के लिए सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है। HAR-RV (रियलाइज्ड वेरिएंस का उपयोग करके) सभी रिटर्न-आधारित मॉडलों से बेहतर प्रदर्शन करता है, जैसा कि अपेक्षित है।

महत्व और दावे
पेपर दावा करता है कि यह एक संक्षिप्त ढांचा प्रदान करता है जो लॉन्ग-मेमोरी वोलैटिलिटी के सृजन को एक निम्न-आयामी मार्कोव संरचना के साथ सामंजस्यपूर्ण बनाता है।

तंत्र: यह प्रदर्शित करता है कि लॉन्ग मेमोरी फ्रैक्शनल इंटीग्रेशन या अनंत लैग्स के माध्यम से थोपने के बजाय, स्टेट की गतिशीलता (विशेष रूप से मेमोरी स्केल $c_n$ का विकास) से उत्पन्न हो सकती है।
व्यावहारिकता (Tractability): दो-आयामी स्टेट बनाए रखकर, यह मॉडल अनंत-क्रम या फ्रैक्शनल मॉडलों के विपरीत, मानक स्थिरता विश्लेषण और गणनात्मक रूप से कुशल अनुमान की अनुमति देता है।
अनुभवजन्य उपयोगिता: मॉडल सफलतापूर्वक वित्तीय डेटा में देखी जाने वाली दृढ़ता को पुनरुत्पादित करता है और मानक बेंचमार्क के साथ प्रतिस्पर्धी पूर्वानुमान सटीकता प्रदान करता है, जो यह सुझाव देता है कि "लॉन्ग-मेमोरी" घटना को मार्कोवियन ढांचे को छोड़े बिना प्रभावी ढंग से मॉडल किया जा सकता है।

लेखक अपने मॉडल के प्रभुत्व के संबंध में विनम्र बने रहते हैं, यह स्वीकार करते हुए कि हालांकि यह पर्याप्त दृढ़ता को कैप्चर करता है, यह सभी बाजारों में इन-सैंपल FIGARCH से बेहतर प्रदर्शन नहीं करता है, और मानक GARCH पर इसका आउट-ऑफ-सैंपल लाभ विशिष्ट बाजारों तक सीमित है। मुख्य योगदान यह सैद्धांतिक प्रदर्शन है कि एक परिमित-आयामी मार्कोव प्रक्रिया एंडोजेनस स्टेट इवोल्यूशन के माध्यम से जटिल, लॉन्ग-मेमोरी वोलैटिलिटी डायनेमिक्स उत्पन्न कर सकती है।