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Long-memory GARCH via a two-dimensional Markov chain

Este artículo introduce un nuevo modelo de tipo GARCH que utiliza una cadena de Markov bidimensional para generar un decaimiento de ley de potencia dependiente del estado de los choques pasados, logrando así una persistencia de volatilidad de memoria larga con sólidas garantías teóricas de estabilidad y un rendimiento de pronóstico empírico competitivo.

Autores originales: Kyungsub Lee, Kennedy Titus Kayaki

Publicado 2026-07-29

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CC BY 4.0

Autores originales: Kyungsub Lee, Kennedy Titus Kayaki

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina el mercado de valores como un océano gigante y caótico. A veces las olas son suaves y predecibles; otras veces, una tormenta repentina golpea y el agua se agita violentamente durante días. En el mundo de las finanzas, este "agitamiento" se llama volatilidad. Durante décadas, los científicos han intentado construir mapas matemáticos para predecir estas olas. Los mapas más famosos, llamados modelos GARCH, funcionan como un eco simple: si una gran ola golpea hoy, el océano permanece un poco más agitado mañana, pero el recuerdo de esa ola se desvanece rápidamente, como un grito en un cañón que muere después de unos pocos segundos.

Sin embargo, los datos del mundo real sugieren que el océano tiene una memoria mucho más larga. Una tormenta masiva hoy podría hacer que las olas se sientan "agitadas" durante semanas o incluso meses, un fenómeno conocido como memoria larga. Los mapas tradicionales luchan con esto porque están construidos para olvidar demasiado rápido. Para solucionar esto, algunos investigadores intentaron construir mapas con capas infinitas de memoria, pero se volvieron tan complicados que eran difíciles de usar o de demostrar su estabilidad. Este artículo entra en escena con una idea fresca: ¿qué pasaría si pudiéramos capturar esa memoria larga y persistente utilizando un sistema simple de dos partes que sea fácil de rastrear y matemáticamente sólido?

La Máquina de Memoria Bidimensional

Los autores, Kyungsub Lee y Kennedy Titus Kayaki, proponen una nueva forma de modelar la volatilidad financiera. En lugar de solo rastrear qué tan "agitada" está el agua en este momento (el nivel), su modelo también rastrea qué tan rápido se espera que esa agitación se desvanezca (la pendiente).

Piénsalo como una banda elástica mágica y autoajustable.

El Nivel: Es qué tan estirada está la banda elástica en este momento. Un choque fuerte (como un desplome repentino del mercado) estira la banda, haciendo que la "volatilidad" sea alta.
La Pendiente: Es la "rigidez" de la banda elástica o qué tan rápido quiere volver a la normalidad.

En los modelos anteriores, la banda elástica siempre regresaba a su estado normal a la misma velocidad fija. Pero en este nuevo modelo, cada vez que ocurre un choque, no solo se estira la banda; también cambia la rigidez de la misma. Si el choque es lo suficientemente grande, podría hacer que la banda se vuelva más "laxa", lo que significa que tardará mucho más en volver a la normalidad. Esto crea un bucle de retroalimentación: la historia de los choques cambia la velocidad futura de recuperación, permitiendo que el modelo recuerde el pasado durante mucho tiempo sin necesidad de un número infinito de variables.

Cómo Demostraron que Funciona

La mayor preocupación con estos sistemas complejos y autoajustables es que podrían volverse locos. Si la banda elástica se afloja demasiado, el modelo podría predecir una volatilidad infinita, lo cual no tiene sentido. Los autores dedicaron mucho tiempo a demostrar que su sistema es seguro.

Utilizaron una herramienta matemática llamada condición de Foster–Lyapunov. Imagina esto como una red de seguridad. Demostraron que, sin importar cuán salvaje se vuelva el mercado, el sistema tiene un mecanismo incorporado que eventualmente atrae la banda elástica de vuelta hacia un estado estable. Demostraron que el modelo es recurrente de Harris positivo, que es una forma elegante de decir: "El sistema siempre se asentará en un patrón predecible y no se perderá hacia el infinito". También demostraron que este patrón estable es único, lo que significa que el modelo no se confunde ni cambia entre diferentes comportamientos.

Simulaciones: Probando la Memoria Larga

Para ver si su idea realmente crea memoria larga, el equipo realizó miles de simulaciones por computadora. Alimentaron el modelo con choques de mercado aleatorios y observaron cómo se comportaba la "volatilidad" a lo largo del tiempo.

Encontraron que cuando los parámetros del modelo se ajustaban cerca de un "límite de estabilidad" específico (el borde de la red de seguridad), el mercado simulado se comportaba exactamente como los datos de memoria larga reales. Los choques no se desvanecían rápidamente; en cambio, persistían, creando un decaimiento lento de tipo ley de potencia. Esto confirmó que su sistema simple de dos partes podía, de hecho, imitar la volatilidad obstinada y duradera que se observa en los mercados financieros reales.

Prueba de Manejo en el Mundo Real

Los autores luego pusieron a prueba su modelo utilizando datos reales de seis mercados financieros principales: el S&P 500, FTSE 100, DAX, Nikkei 225, KOSPI y Bitcoin.

Las Buenas Noticias:
El modelo fue sorprendentemente bueno capturando la "memoria larga" de estos mercados. Cuando compararon las predicciones del modelo con los datos reales, las estimaciones de memoria coincidieron muy bien para varios mercados, como el Nikkei 225 y el S&P 500. Logró recrear con éxito el decaimiento lento de la volatilidad que los modelos más antiguos y simples pasaban por alto.

La Comparación:
Enfrentaron su modelo contra los pesos pesados del campo:

GARCH(1,1): El modelo estándar y simple.
FIGARCH: Un modelo complejo diseñado específicamente para la memoria larga.
HAR-RV: Un modelo que utiliza la varianza realizada pasada (una medida muy directa de la volatilidad pasada).

Los Resultados:

Ajuste del Pasado: El complejo modelo FIGARCH hizo el mejor trabajo "ajustando" los datos históricos (tuvo la máxima verosimilitud). El nuevo modelo quedó ligeramente por detrás de FIGARCH, pero muy cerca del GARCH(1,1) estándar.
Predicción del Futuro: Aquí es donde se pone interesante. Al predecir la volatilidad futura, el nuevo modelo funcionó tan bien como el GARCH(1,1) estándar en la mayoría de los mercados. No superó a FIGARCH en general, pero fue estadísticamente tan bueno como este en la mayoría de los mercados, con la excepción de KOSPI y Bitcoin, donde FIGARCH tuvo una ligera ventaja.
El Verdadero Ganador: Curiosamente, el modelo HAR-RV (que utiliza datos directos de la varianza pasada) fue el mejor predictor de todos. Sin embargo, los autores señalan que el HAR-RV es una herramienta especializada que utiliza información que el nuevo modelo no posee (mira la varianza realizada directamente, no solo los rendimientos).

La Conclusión

El artículo concluye que no se necesita una máquina infinitamente compleja para capturar la memoria larga. Al añadir solo una dimensión extra —una "escala de memoria" que cambia según los choques—, se puede construir un modelo que sea:

Matemáticamente seguro: No explotará.
Simple: Solo rastrea dos números a la vez.
Efectivo: Captura la naturaleza obstinada y duradera de la volatilidad del mercado casi tan bien como los modelos más complejos.

Es un recordatorio de que, a veces, la mejor manera de entender un océano complejo y agitado no es mapear cada una de sus olas, sino entender cómo el agua misma recuerda la tormenta.

Resumen Técnico: GARCH de memoria larga mediante una cadena de Markov bidimensional

Planteamiento del Problema
Los modelos GARCH estándar capturan la agrupación de volatilidad (volatility clustering) mediante una simple retroalimentación recursiva de innovaciones al cuadrado y varianzas condicionales pasadas. Sin embargo, la evidencia empírica sugiere que la volatilidad financiera exhibe "memoria larga", caracterizada por una dependencia de decaimiento lento en los indicadores de volatilidad (por ejemplo, los rendimientos al cuadrado) que las especificaciones GARCH convencionales no logran replicar. Las soluciones existentes, como el GARCH fraccionario (FIGARCH), HYGARCH o los modelos ARCH de orden infinito, introducen persistencia mediante filtros fraccionarios, decaimiento hiperbólico o estructuras de rezagos infinitos. Aunque son efectivos, estos enfoques suelen carecer de una representación de Markov de dimensión finita, lo que complica el análisis de estabilidad y la tractabilidad computacional. Por el contrario, los modelos de volatilidad estocástica con factores latentes o los modelos de volatilidad rugosa (rough volatility) abordan la persistencia, pero a menudo tienen dificultades con la distinguibilidad empírica o carecen de una recursión directa de la varianza condicional.

Metodología
Los autores proponen un nuevo modelo de tipo GARCH que genera un comportamiento de memoria larga manteniendo, al mismo tiempo, un estado de Markov de dimensión finita (bidimensional). El mecanismo central adapta la construcción de "ajuste de nivel y pendiente" (level-and-slope matching) (Lee, 2026b) al modelado de la volatilidad condicional.

Núcleo de Ley de Potencia Latente: En lugar de un decaimiento autorregresivo fijo, la varianza condicional se deriva de un núcleo de ley de potencia latente $h_n(t) = \mu + a_n(t+c_n)^{-p}$ .
Mecanismo de Actualización de Estado: Tras observar un choque de retorno $\eta_n$ $η_{n}$ , el núcleo se actualiza al siguiente periodo ajustando tanto el nivel como la pendiente en el nuevo origen.
- El vector de estado es $(X_n, c_n)$ , donde $X_n$ representa el nivel de exceso de varianza y $c_n$ representa una escala de memoria endógena.
- Las reglas de actualización (Ecuaciones 6–7) aseguran que el nuevo estado $(X_n, c_n)$ es una función determinista del estado previo y de la innovación al cuadrado $\eta_n^2$ .
Representación de Markov: El proceso resultante es una cadena de Markov homogénea en el tiempo sobre el espacio de estados $S = [0, \infty) \times [\gamma, \infty)$ . El modelo admite una representación ARCH( $\infty$ ) de coeficientes aleatorios donde los factores de decaimiento son endógenos y dependientes del estado, en lugar de ser coeficientes deterministas fijos.

Contribuciones Clave

Teoría de la Estabilidad: La principal contribución matemática es un riguroso análisis de estabilidad para esta cadena de Markov no estándar. A diferencia de los modelos GARCH estándar donde la estabilidad se reduce a una condición de momento logarítmico unidimensional, este modelo requiere una condición conjunta de Foster–Lyapunov.
- Los autores construyen una función de Lyapunov $V(x, c) = \log(1+x) + \lambda c$ que acopla el nivel de la varianza y la escala de memoria.
- Derivan una condición de deriva conjunta (Asunción 1) que requiere la existencia de un $\lambda > 0$ tal que el supremo de la deriva combinada del logaritmo de la varianza y la escala de memoria sea negativo.
- Bajo esta condición y supuestos de regularidad sobre la distribución de la innovación, el artículo demuestra que la cadena es recurrente de Harris positiva y admite una medida de probabilidad invariante única.
Condición Diagnóstica: El artículo deriva una condición diagnóstica necesaria para la estabilidad (Ecuación 35), análoga a la condición de momento logarítmico del GARCH estándar, pero evaluada en una escala endógena crítica $c^*$ . Los experimentos numéricos muestran que este límite diagnóstico está extremadamente cerca del verdadero límite de estabilidad conjunta.
Verificación de Regularidad: Utilizando argumentos de la teoría de control (marco de Meyn y Tweedie), los autores establecen la $\psi$ -irreducibilidad y la propiedad de petiteness de los conjuntos compactos demostrando que el modelo de control determinista puede alcanzar un ancla de frontera $(0, \gamma)$ y que la condición de rango del Jacobiano se cumple localmente.

Resultos

Estudios de Simulación:
- Utilizando el estimador de Whittle local sobre los logaritmos de las innovaciones al cuadrado, las simulaciones demuestran que el modelo genera una persistencia sustancial de baja frecuencia (memoria larga).
- La persistencia es más fuerte cuando los parámetros sitúan al sistema cerca del límite de estabilidad diagnóstica. A medida que la escala de memoria $c_n$ se hace grande, los factores de decaimiento endógenos permanecen cercanos a la unidad, produciendo una dependencia de decaimiento lento.
- El parámetro de memoria estimado $\hat{d}$ aumenta monótonamente a medida que el sistema se aproxima a la frontera de estabilidad.
Análisis Empírico:
- El modelo se ajustó a los rendimientos diarios de cinco índices bursátiles internacionales (S&P 500, FTSE 100, DAX, Nikkei 225, KOSPI) y Bitcoin.
- Ajuste In-Sample: El LM-GARCH captura un comportamiento significativo de memoria larga, y las estimaciones de memoria implícitas del modelo coinciden estrechamente con las estimaciones basadas en datos para el Nikkei 225, el S&P 500 y el FTSE 100. Sin embargo, su log-verosimilitud in-sample es generalmente inferior a la de los modelos FIGARCH y GARCH asimétricos (GJR, EGARCH) para los índices bursों, aunque supera a estos para Bitcoin.
- Pronóstico Out-of-Sample: Utilizando la pérdida QLIKE sobre la varianza realizada, el LM-GARCH compite competitivamente con el GARCH(1,1). Aunque el FIGARCH arroja pérdidas promedio menores en todos los mercados, la diferencia es estadísticamente significativa solo para el KOSPI y Bitcoin. El modelo HAR-RV (usando la varianza realizada directamente) supera a todos los modelos basados en rendimientos, como era de esperar.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma ofrecer un marco parsimonioso que reconcilia la generación de volatilidad de memoria larga con una estructura de Markov de baja dimensión.

Mecanismo: Demuestra que la memoria larga puede emerger de la dinámica del estado mismo (específicamente la evolución de la escala de memoria $c_n$ ) en lugar de ser impuesta mediante integración fraccionaria o rezagos infinitos.
Tractabilidad: Al mantener un estado bidimensional, el modelo permite un análisis de estabilidad estándar y una estimación computacionalmente eficiente, a diferencia de los modelos de orden infinito o fraccionarios.
Utilidad Empírica: El modelo reproduce con éxito la persistencia observada en los datos financieros y ofrece una precisión de pronóstico comparable a los estándares de referencia, lo que sugiere que el fenómeno de la "memoria larga" puede modelarse eficazmente sin abandonar el marco de Markov.

Los autores mantienen la modestia respecto al dominio del modelo, reconociendo que, si bien captura una persistencia sustancial, no supera al FIGARCH en la muestra (in-sample) en todos los mercados, y su ventaja fuera de la muestra (out-of-sample) sobre el GARCH estándar se limita a mercados específicos. La principal contribución es la demostración teórica de que un proceso de Markov de dimensión finita puede generar dinámicas de volatilidad de memoria larga complejas a través de la evolución endógena del estado.