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Long-memory GARCH via a two-dimensional Markov chain

Este artigo introduz um novo modelo do tipo GARCH que utiliza uma cadeia de Markov bidimensional para gerar um decaimento de lei de potência de choques passados dependente de estado, alcançando, assim, persistência de volatilidade de memória longa com fortes garantias teóricas de estabilidade e desempenho de previsão empírica competitivo.

Autores originais: Kyungsub Lee, Kennedy Titus Kayaki

Publicado 2026-07-29

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CC BY 4.0

Autores originais: Kyungsub Lee, Kennedy Titus Kayaki

Artigo original sob licença CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta é uma explicação gerada por IA do artigo abaixo. Não foi escrita nem endossada pelos autores. Para precisão técnica, consulte o artigo original. Ler aviso legal completo

Imagine o mercado de ações como um oceano gigante e caótico. Às vezes, as ondas são suaves e previsíveis; outras vezes, uma tempestade repentina atinge o mar e a água se agita violentamente por dias. No mundo das finanças, esse "agitar" é chamado de volatilidade. Durante décadas, cientistas tentaram construir mapas matemáticos para prever essas ondas. Os mapas mais famosos, chamados modelos GARCH, funcionam como um eco simples: se uma grande onda atinge o mar hoje, o oceano permanece um pouco mais agitado amanhã, mas a memória dessa onda desaparece rapidamente, como um grito em um cânion que morre após alguns segundos.

No entanto, os dados do mundo real sugerem que o oceano tem uma memória muito mais longa. Uma tempestade massiva hoje pode fazer com que as ondas pareçam "agitadas" por semanas ou até meses, um fenômeno conhecido como memória longa. Os mapas tradicionais têm dificuldade com isso porque foram construídos para esquecer rápido demais. Para corrigir isso, alguns pesquisadores tentaram construir mapas com camadas infinitas de memória, mas eles se tornaram tão complicados que eram difíceis de usar ou de provar que eram estáveis. Este artigo entra em cena com uma ideia nova: e se pudéssemos capturar essa memória longa e persistente usando um sistema simples de duas partes, que seja fácil de rastrear e matematicamente sólido?

A Máquina de Memória Bidimensional

Os autores, Kyungsub Lee e Kennedy Titus Kayaki, propõem uma nova forma de modelar a volatilidade financeira. Em vez de apenas rastrear o quão "agitada" a água está agora (o nível), o modelo deles também rastreia a rapidez com que essa agitação deve desaparecer (a inclinação).

Pense nisso como um elástico mágico e autoajustável.

O Nível: É o quanto o elástico está esticado agora. Um choque grande (como um crash repentino do mercado) estica o elástico, tornando a "volatilidade" alta.
A Inclinação: É a "rigidez" do elástico ou a rapidez com que ele quer voltar ao normal.

Em modelos antigos, o elástico sempre voltava ao normal em uma velocidade fixa. Mas neste novo modelo, toda vez que um choque acontece, ele não apenas estica o elástico; ele também altera a rigidez do elástico. Se o choque for grande o suficiente, ele pode tornar o elástico mais "frouxo", o que significa que levará muito mais tempo para voltar ao normal. Isso cria um ciclo de feedback: o histórico de choques altera a velocidade futura de recuperação, permitindo que o modelo lembre do passado por um tempo muito longo sem precisar de um número infinito de variáveis.

Como Eles Provaram que Funciona

A maior preocupação com esses sistemas complexos e autoajustáveis é que eles possam enlouquecer. Se o elástico ficar frouxo demais, o modelo poderia prever volatilidade infinita, o que é um absurdo. Os autores dedicaram muito tempo provando que seu sistema é seguro.

Eles usaram uma ferramenta matemática chamada condição de Foster–Lyapunov. Imagine isso como uma rede de segurança. Eles mostraram que, não importa o quão selvagem o mercado fique, o sistema possui um mecanismo integrado que eventualmente puxa o elástico de volta para um estado estável. Eles provaram que o modelo é positivo Harris recorrente, que é uma forma sofisticada de dizer: "O sistema sempre se estabelecerá em um padrão previsível e não fugirá para o infinito". Eles também mostraram que esse padrão estável é único, o que significa que o modelo não fica confuso e não alterna entre diferentes comportamentos.

Simulações: Testando a Memória Longa

Para ver se a ideia deles realmente cria memória longa, a equipe realizou milhares de simulações computacionais. Eles alimentaram o modelo com choques de mercado aleatórios e observaram como a "volatilidade" se comportava ao longo do tempo.

Eles descobriram que, quando os parâmetros do modelo eram ajustados próximos a um limite específico de "estabilidade" (a borda da rede de segurança), o mercado simulado comportava-se exatamente como os dados de memória longa reais. Os choques não desapareciam rapidamente; em vez disso, eles persistiam, criando um decaimento de lei de potência lento. Isso confirmou que o sistema simples de duas partes deles poderia, de fato, imitar a volatilidade persistente e duradoura vista nos mercados financeiros reais.

Teste de Direção no Mundo Real

Os autores então colocaram seu modelo em teste usando dados reais de seis grandes mercados financeiros: S&P 500, FTSE 100, DAX, Nikkei 225, KOSPI e Bitcoin.

As Boas Notícias:
O modelo foi surpreendentemente bom em capturar a "memória longa" desses mercados. Quando compararam as previsões do modelo com os dados reais, as estimativas de memória coincidiram muito bem para vários mercados, como o Nikkei 225 e o S&P 500. Ele recriou com sucesso o decaimento lento da volatilidade que os modelos mais simples e antigos perderam.

A Comparação:
Eles colocaram seu modelo contra os pesos-pesados da área:

GARCH(1,1): O modelo padrão e simples.
FIGARCH: Um modelo complexo projetado especificamente para memória longa.
HAR-RV: Um modelo que utiliza a variância realizada passada (uma medida muito direta da volatilidade passada).

Os Resultados:

Ajustando o Passado: O complexo modelo FIGARCH fez o melhor trabalho de "ajuste" aos dados históricos (teve a maior verossimilhança). O novo modelo ficou ligeiramente atrás do FIGARCH, mas muito próximo do GARCH(1,1) padrão.
Prevendo o Futuro: É aqui que fica interessante. Ao prever a volatilidade futura, o novo modelo teve um desempenho tão bom quanto o GARCH(1,1) padrão na maioria dos mercados. Não superou o FIGARCH no geral, mas foi estatisticamente tão bom quanto para a maioria dos mercados, com exceção do KOSPI e do Bitcoin, onde o FIGARCH teve uma leve vantagem.
O Verdadeiro Vencedor: Curiosamente, o modelo HAR-RV (que utiliza dados diretos de variância passada) foi o melhor preditor de todos. No entanto, os autores observam que o HAR-RV é uma ferramenta especializada que utiliza informações que o novo modelo não possui (ele olha diretamente para a variância realizada, não apenas para os retornos).

A Conclusão

O artigo conclui que você não precisa de uma máquina infinitamente complexa para capturar a memória longa. Ao adicionar apenas uma dimensão extra — uma "escala de memória" que muda com base nos choques — você pode construir um modelo que é:

Matematicamente seguro: Não vai explodir.
Simples: Rastreia apenas dois números por vez.
Eficaz: Captura a natureza persistente e duradoura da volatilidade do mercado quase tão bem quanto os modelos mais complexos.

É um lembrete de que, às vezes, a melhor maneira de entender um oceano complexo e agitado não é mapear cada onda individualmente, mas entender como a própria água lembra da tempestade.

Resumo Técnico: GARCH de memória longa via uma cadeia de Markov bidimensional

Problema
Os modelos GARCH padrão capturam o agrupamento de volatilidade (volatility clustering) através de um simples feedback recursivo de inovações quadráticas passadas e variâncias condicionais. No entanto, evidências empíricas sugerem que a volatilidade financeira exibe "memória longa", caracterizada por uma dependência de decaimento lento em proxies de volatilidade (ex: retornos ao quadrado) que as especificações GARCH convencionais não conseguem replicar. Soluções existentes, como o Fractional GARCH (FIGARCH), HYGARCH ou modelos ARCH de ordem infinita, introduzem persistência através de filtros fracionários, decaimento hiperbólico ou estruturas de defasagem infinita. Embora eficazes, essas abordagens muitas vezes carecem de uma representação de Markov de dimensão finita, complicando a análise de estabilidade e a tratabilidade computacional. Por outro outro lado, modelos de volatilidade estocástica com fatores latentes ou modelos de volatilidade rugosa (rough volatility) abordam a persistência, mas frequentemente lutam com a distinguibilidade empírica ou carecem de uma recursão direta da variância condicional.

Metodologia
Os autores propõem um novo modelo do tipo GARCH que gera comportamento de memória longa enquanto mantém um estado de Markov de dimensão finita (bidimensional). O mecanismo central adapta a construção de "ajuste de nível e inclinação" (level-and-slope matching) (Lee, 2026b) para a modelagem de volatilidade condicional.

Kernel de Lei de Potência Latente: Em vez de um decaimento autorregressivo fixo, a variância condicional é derivada de um kernel de lei de potência latente $h_n(t) = \mu + a_n(t+c_n)^{-p}$ .
Mecanismo de Atualização de Estado: Ao observar um choque de retorno $\eta_n$ $η_{n}$ , o kernel é atualizado para o próximo período através do ajuste tanto do nível quanto da inclinação na nova origem.
- O vetor de estado é $(X_n, c_n)$ , onde $X_n$ representa o nível de excesso de variância e $c_n$ representa uma escala de memória endógena.
- As regras de atualização (Equações 6–7) garantem que o novo estado $(X_n, c_n)$ seja uma função determinística do estado anterior e da inovação ao quadrado $\eta_n^2$ .
Representação de Markov: O processo resultante é uma cadeia de Markov homogênea no tempo no espaço de estados $S = [0, \infty) \times [\gamma, \infty)$ . O modelo admite uma representação ARCH( $\infty$ ) de coeficientes aleatórios onde os fatores de decaimento são endógenos e dependentes do estado, em vez de coeficientes determinísticos fixos.

Principais Contribuições

Teoria da Estabilidade: A principal contribuição matemática é uma análise de estabilidade rigorosa para esta cadeia de Markov não convencional. Diferente dos modelos GARCH padrão, onde a estabilidade se reduz a uma condição de momento logarítmico unidimensional, este modelo requer uma condição conjunta de Foster–Lyapunov.
- Os autores constroem uma função de Lyapunov $V(x, c) = \log(1+x) + \lambda c$ que acopla o nível de variância e a escala de memória.
- Eles derivam uma condição de deriva conjunta (Assunção 1) exigindo a existência de um $\lambda > 0$ tal que o supremo da deriva combinada do log-variância e da escala de memória seja negativo.
- Sob esta condição e suposições de regularidade sobre a distribuição da inovação, o artigo prova que a cadeia é recorrente de Harris positiva e admite uma medida de probabilidade invariante única.
Condição Diagnóstica: O artigo deriva uma condição diagnóstica necessária para a estabilidade (Equação 35), análoga à condição de momento logarítmico do GARCH padrão, mas avaliada em uma escala endógena crítica $c^*$ . Experimentos numéricos mostram que esta fronteira diagnóstica está extremamente próxima da verdadeira fronteira de estabilidade conjunta.
Verificação de Regularidade: Usando argumentos de teoria de controle (framework de Meyn e Tweedie), os autores estabelecem a $\psi$ -irreducibilidade e a pequenez (petiteness) de conjuntos compactos ao demonstrar que o modelo de controle determinístico pode atingir uma âncora de fronteira $(0, \gamma)$ e que a condição de posto do Jacobiano é válida localmente.

Resultados

Estudos de Simulação:
- Utilizando o estimador de Whittle local sobre as inovações log-quadráticas, as simulações demonstram que o modelo gera uma persistência substancial de baixa frequência (memória longa).
- A persistência é mais forte quando os parâmetros colocam o sistema próximo da fronteira de estabilidade diagnóstica. À medida que a escala de memória $c_n$ se torna grande, os fatores de decaimento endógenos permanecem próximos de um, produzindo uma dependência de decaimento lento.
- O parâmetro de memória estimado $\hat{d}$ aumenta monotonicamente conforme o sistema se aproxima da fronteira de estabilidade.
Análise Empírica:
- O modelo foi ajustado aos retornos diários de cinco índices acionários internacionais (S&P 500, FTSE 100, DAX, Nikkei 225, KOSPI) e Bitcoin.
- Ajuste In-Sample: O LM-GARCH captura um comportamento significativo de memória longa, com estimativas de memória implicadas pelo modelo coincidindo de perto com as estimativas baseadas em dados para o Nikkei 225, S&P 500 e FTSE 100. No entanto, sua verossimilhança (log-likelihood) in-sample é geralmente inferior à do FIGARCH e dos modelos GARCH assimétricos (GJR, EGACH) para índices acionários, embora supere-os para o Bitcoin.
- Previsão Out-of-Sample: Usando a perda QLIKE sobre a variância realizada, o LM-GARCH performa de forma competitiva com o GARCH(1,1). Embora o FIGARCH apresente perdas médias menores em todos os mercados, a diferença é estatisticamente significativa apenas para o KOSPI e Bitcoin. O HAR-RV (usando a variância realizada diretamente) supera todos os modelos baseados em retornos, como esperado.

Significância e Alegações
O artigo afirma oferecer um framework parcimonioso que reconcilia a geração de volatilidade de memória longa com uma estrutura de Markov de baixa dimensão.

Mecanismo: Demonstra que a memória longa pode emergir da dinâmica do próprio estado (especificamente a evolução da escala de memória $c_n$ ), em vez de ser imposta via integração fracionária ou defasagens infinitas.
Tratabilidade: Ao manter um estado bidimensional, o modelo permite a análise de estabilidade padrão e estimação computacionalmente eficiente, ao contrário de modelos de ordem infinita ou fracionários.
Utilidade Empírica: O modelo reproduz com sucesso a persistência observada em dados financeiros e oferece precisão de previsão comparável a benchmarks padrão, sugerindo que o fenômeno da "memória longa" pode ser efetivamente modelado sem abandonar o framework de Markov.

Os autores mantêm-se modestos quanto à dominância do modelo, reconhecendo que, embora capture uma persistência substancial, não supera o FIGARCH in-sample em todos os mercados, e que sua vantagem out-of-sample sobre o GARCH padrão é limitada a mercados específicos. A principal contribuição é a demonstração teórica de que um processo de Markov de dimensão finita pode gerar dinâmicas de volatilidade de memória longa complexas através da evolução endógena do estado.