💰 quantitative finance

Long-memory GARCH via a two-dimensional Markov chain

Dit artikel introduceert een nieuw GARCH-type model dat gebruikmaakt van een tweedimensionale Markov-keten om een staat-afhankelijke power-law decay van eerdere schokken te genereren, waardoor het langetermijngeheugen van volatiliteitsprestantie bereikt met sterke theoretische stabiliteitsgaranties en concurrerende empirische voorspellingsprestaties.

Oorspronkelijke auteurs: Kyungsub Lee, Kennedy Titus Kayaki

Gepubliceerd 2026-07-29

📖 6 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Kyungsub Lee, Kennedy Titus Kayaki

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je de aandelenmarkt voor als een enorme, chaotische oceaan. Soms zijn de golven zacht en voorspelbaar; andere keren slaat er een plotselinge storm toe en kolkt het water dagenlang wild om. In de wereld van de financiën wordt dit "kolken" volatiliteit genoemd. Decennialang hebben wetenschappers geprobeerd wiskundige kaarten te bouwen om deze golven te voorspellen. De bekendste kaarten, de zogenaamde GARCH-modellen, werken als een simpel echo-effect: als er vandaag een grote golf inslaat, blijft de oceaan morgen nog een beetje onrustiger, maar de herinnering aan die golf vervaagt snel, zoals een schreeuw in een kloof die na een paar seconden uitsterft.

Echter, echte wereldgegevens suggereren dat de oceaan een veel langer geheugen heeft. Een enorme storm vandaag kan ervoor zorgen dat de golven weken of zelfs maanden lang "onrustig" aanvoelen, een fenomeen dat bekend staat als long-memory (lang geheugen). Traditionele kaarten worstelen hiermee omdat ze te snel vergeten. Om dit op te lossen, probeerden sommige onderzoekers kaarten te bouwen met oneindige lagen geheugen, maar die werden zo ingewikkeld dat ze moeilijk te gebruiken of te bewijzen waren als stabiel. Dit artikel komt op het toneel met een fris idee: wat als we dat lange, aanhoudende geheugen konden vangen met een simpel, tweeledig systeem dat gemakkelijk te volgen en wiskundig solide is?

De Twee-Dimensionale Geheugenmachine

De auteurs, Kyungsub Lee en Kennedy Titus Kayaki, stellen een nieuwe manier voor om financiële volatiliteit te modelleren. In plaats van alleen bij te houden hoe "onrustig" het water op dit moment is (het niveau), houdt hun model ook bij hoe snel die onrust naar verwachting zal wegsterven (de helling).

Denk hierbij aan een magische, zelf aanpassende rubberen band.

Het Niveau: Dit is hoe ver de rubberen band op dit moment is uitgerekt. Een grote schok (zoals een plotselinge beurscrash) rekt de band uit, waardoor de "volatiliteit" hoog is.
De Helling: Dit is de "stijfheid" van de rubberen band, of hoe snel deze naar normaal wil terugveren.

In oudere modellen veerde de rubberen band altijd met dezelfde vaste snelheid terug. Maar in dit nieuwe model verandert elke keer dat er een schok optreedt niet alleen de rek van de band, maar ook de stijfheid ervan. Als de schok groot genoeg is, kan het de band "slapper" maken, wat betekent dat het veel langer zal duren voordat deze weer naar normaal terugkeert. Dit creëert een feedbackloop: de geschiedenis van de schokken verandert de toekomstige snelheid van herstel, waardoor het model in staat is om het verleden heel lang te onthouden zonder een oneindig aantal variabelen nodig te hebben.

Hoe ze bewezen dat het werkt

De grootste zorg bij deze complexe, zelf aanpassende systemen is dat ze krankzinnig kunnen worden. Als de rubberen band te slap wordt, zou het model oneindige volatiliteit kunnen voorspellen, wat onzin is. De auteurs hebben veel tijd besteed aan het bewijzen dat hun systeem veilig is.

Ze gebruikten een wiskundig hulpmiddel genaamd de Foster–Lyapunov-conditie. Stel je dit voor als een vangnet. Ze lieten zien dat, ongeacht hoe wild de markt ook wordt, het systeem een ingebouwd mechanisme heeft dat de rubberen band uiteindelijk terugtrekt naar een stabiele staat. Ze bewezen dat het model positief Harris-recurrent is, een chique manier om te zeggen: "Het systeem zal zich altijd stabiliseren in een voorspelbaar patroon en zal niet weglopen naar oneindigheid." Ze toonden ook aan dat dit stabiele patroon uniek is, wat betekent dat het model niet in de war raakt en tussen verschillende gedragingen wisselt.

Simulaties: Het testen van het lange geheugen

Om te zien of hun idee daadwerkelijk een lang geheugen creëert, lieten het team duizenden computersimulaties draaien. Ze voerden het model willekeurige marktschokken en observeerden hoe de "volatiliteit" in de loop van de tijd gedroeg.

Ze ontdekten dat wanneer de parameters van het model dicht bij een specifieke "stabiliteitsgrens" (de rand van het vangnet) werden afgesteld, het gesimuleerde marktoverzicht exact leek op echte data met een lang geheugen. De schokken vervaagden niet snel; in plaats daarvan bleven ze hangen, wat een trage, machtswet-gebaseerde afname (power-law decay) creëerde. Dit bevestigde dat hun simpele tweeledige systeem inderdaad de hardnekkige, langdurige volatiliteit van echte financiële markten kon nabootsen.

Testrit in de echte wereld

De auteurs namen hun model vervolgens mee voor een proefrit met echte gegevens van zes grote financiële markten: de S&P 500, FTSE 100, DAX, Nikkei 225, KOSPI en Bitcoin.

Het goede nieuws:
Het model was verrassend goed in het vastleggen van het "lange geheugen" van deze markten. Wanneer ze de voorspellingen van het model vergeleken met de werkelijke gegevens, kwamen de geheugenschattingen zeer goed overeen voor verschillende markten, zoals de Nikkei 225 en de S&P 500. Het slaagde erin de trage afname van volatiliteit te reproduceren die oudere, simpelere modellen misten.

De Vergelijking:
Ze zetten hun model af tegen de zwaargewichten in het vakgebied:

GARCH(1,1): Het standaard, eenvoudige model.
FIGARCH: Een complex model dat specifdaad is ontworpen voor lang geheugen.
HAR-RV: Een model dat gebruikmaakt van eerdere gerealiseerde variantie (een zeer directe maatstaf voor eerdere volatiliteit).

De Resultaten:

Het verleden fitten: Het complexe FIGARCH-model deed het beste bij het "fitten" van de historische gegevens (het had de hoogste waarschijnlijkheid). Het nieuwe model zat er net achteraan, maar kwam zeer dicht in de buurt van de standaard GARCH(1,1).
De toekomst voorspellen: Dit is waar het interessant wordt. Bij het voorspellen van toekomstige volatiliteit presteerde het nieuwe model in de meeste markten net zo goed als het standaard GARCH(1,1). Het versloeg FIGARCH niet algemeen, maar was statistisch gezien net zo goed voor de meeste markten, met uitzondering van de KOSPI en Bitcoin, waar FIGARCH een lichte voorsprong had.
De echte winnaar: Opvallend genoeg was het HAR-RV-model (dat direct gebruikmaakt van eerdere variantiegegevens) de beste voorspeller van allemaal. De auteurs merken echter op dat HAR-RV een gespecialiseerd instrument is dat informatie gebruikt die het nieuwe model niet heeft (het kijkt direct naar gerealiseerde variantie, niet alleen naar rendementen).

De Conclusie

Het paper concludeert dat je geen oneindig complex apparaat nodig hebt om een lang geheugen te vangen. Door slechts één extra dimensie toe te voegen — een "geheugenschaal" die verandert op basis van schokken — kun je een model bouen dat:

Wiskundig veilig is: Het zal niet ontsporen.
Simpel is: Het houdt tegelijkertijd slechts twee getallen bij.
Effectief is: Het vangt de hardnekkige, langdurige aard van marktvolatiliteit bijna even goed als de meest complexe modellen.

Het is een herinnering dat de beste manier om een complexe, kolkende oceaan te begrijpen soms niet is om elke individuele golf in kaart te brengen, maar om te begrijpen hoe het water zelf de storm onthoudt.

Technische Samenvatting: Long-memory GARCH via een tweedimensionale Markovketen

Probleemstelling
Standaard GARCH-modellen vatten volatiliteitsclustering vast via een eenvoudige recursieve feedback van voorgaande gekwadrateerde innovaties en conditionele varianties. Empirisch bewijs suggereert echter dat de volatiliteit van financiële markten "long memory" (lang geheugen) vertoont, gekenmerkt door traag vervalende afhankelijkheid in volatiliteitsproxy's (bijv. gekwadrateerde rendementen), wat conventionele GARCH-specificaties niet kunnen reproduceren. Bestaande oplossingen, zoals Fractional GARCH (FIGARCH), HYGARCH of modellen met een oneindige orde ARCH, introduceren persistentie via fractionele filters, hyperbolisch verval of structuren met oneindige vertragingen (lags). Hoewel effectief, missen deze benaderingen vaak een einddimensionale Markov-representatie, wat de stabiliteitsanalyse en computationele hanteerbaarheid bemoeilijkt. Daarentegen hebben modellen met stochastische volatiliteit met latente factoren of "rough volatility"-modellen moeite met empirische onderscheidbaarheid of missen zij een directe recursie van de conditionele variantie.

Methodologie
De auteurs stellen een nieuw GARCH-type model voor dat long-memory gedrag genereert terwijl het een einddimensionale (tweedimensionale) Markov-toestand behoudt. De kern van het mechanisme past de "level-and-slope matching" constructie (Lee, 2026b) aan voor conditionele volatiliteitsmodellering.

Latente Power-Law Kernel: In plaats van een vaste autoregressieve decay, wordt de conditionele variantie afgeleid van een latente power-law kernel $h_n(t) = \mu + a_n(t+c_n)^{-p}$ .
Toestand-update mechanisme: Bij het observeren van een rendement-schok $\eta_n$ $η_{n}$ wordt de kernel naar de volgende periode bijgewerkt door zowel het niveau als de helling (slope) bij het nieuwe nulpunt te matchen.
- De toestandvector is $(X_n, c_n)$ , waarbij $X_n$ het excess varianceniveau vertegenwoordigt en $c_n$ een endogene geheugenschaal is.
- De update-regels (Vergelijkingen 6–7) zorgen ervoor dat de nieuwe toestand $(X_n, c_n)$ een deterministische functie is van de vorige toestand en de gekwadrateerde innovatie $\eta_n^2$ .
Markov-representatie: Het resulterende proces is een tijd-homogene Markovketen op de toestandsruimte $S = [0, \infty) \times [\gamma, \infty)$ . Het model laat zich vertalen naar een random-coefficient ARCH( $\infty$ ) representatie waarbij de decay-factoren endogeen en toestand-afhankelijk zijn, in plaats van vaste deterministische coëfficiënten.

Belangrijkste Bijdragen

Stabiliteitstheorie: De primaire wiskundige bijdrage is een rigoureuze stabiliteitsanalyse voor deze niet-standaard Markovketen. In tegen tegenstelling tot standaard GARCH-modellen, waarbij stabiliteit terug te brengen is tot een eendimensionale log-moment conditie, vereist dit model een gezamenlijke Foster–Lyapunov conditie.
- De auteurs construeren een Lyapunov-functie $V(x, c) = \log(1+x) + \lambda c$ die het varianceniveau en de geheugenschaal koppelt.
- Zij leiden een gezamenlijke drift-conditie af (Aanname 1) die vereist dat er een $\lambda > 0$ bestaat waarvoor het supremum van de gecombineerde drift van de log-variantie en de geheugenschaal negatief is.
- Onder deze conditie en regulariteitsaannames over de distributie van de innovatie, bewijzen de auteurs dat de keten positief Harris recurrent is en een unieke invariante waarschijnlijkheidsmaat bezit.
Diagnostische Conditie: Het artikel leidt een noodzakelijke diagnostische conditie voor stabiliteit af (Vergelijking 35), analoog aan de standaard GARCH log-moment conditie, maar geëvalueerd bij een kritische endogene schaal $c^*$ . Numerieke experimenten tonen aan dat deze diagnostische grens extreem dicht bij de werkelijke gezamenlijke stabiliteitsgrens ligt.
Verificatie van Regulariteit: Gebruikmakend van controle-theoretische argumenten (Meyn en Tweedie framework), stellen de auteurs de $\psi$ -irreducibiliteit en de "petiteness" van compacte verzamelingen vast door aan te tonen dat het deterministische controlemodel een grensanker $(0, \gamma)$ kan bereiken en dat de Jacobian rank-conditie lokaal standhoudt.

Resultaten

Simulatiestudies:
- Met behulp van de lokale Whittle-estimator op log-gekwadreerde innovaties, laten simulaties zien dat het model substantiële laagfrequente persistentie (long memory) genereert.
- Persistentie is het sterkst wanneer de parameters het systeem nabij de diagnostische stabiliteitsgrens plaatsen. Naarmate de geheugenschaal $c_n$ groot wordt, blijven de endogene decay-factoren dicht bij één, wat resulteert in traag vervalende afhankelijkheid.
- De geschatte geheugenparameter $\hat{d}$ neemt monotoon toe naarmate het systeem de stabiliteitsgrens nadert.
Empirische Analyse:
- Het model werd toegepast op de dagelijkse rendementen van vijf internationale aandelenindices (S&P 500, FTSE 100, DAX, Nikkei 225, KOSPI) en Bitcoin.
- In-sample Fit: De LM-GARCH vangt significante long-memory gedrag, waarbij de door het model geïmpliceerde geheugen-schattingen nauw overeenkomen met de op data gebaseerde schattingen voor de Nikkei 225, S&P 500 en FTSE 100. Echter, de in-sample log-likelihood is over het algemeen lager dan die van FIGARCH en asymmetrische GARCH-modellen (GJR, EGARCH) voor aandelenindices, hoewel het beter presteert voor Bitcoin.
- Out-of-sample Voorspelling: Gebruikmakend van de QLIKE loss op gerealiseerde variantie, presteert LM-GARCH competitief met GARCH(1,1). Hoewel FIGARCH lagere gemiddelde verliezen oplevert over alle markten, is het verschil statistisch significant voor slechts de KOSPI en Bitcoin. HAR-RV (gebruikmakend van gerealiseerde variantie direct) presteert beter dan alle op rendement gebaseerde modellen, zoals verwacht.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt een parsimonisch kader te bieden dat de generatie van long-memory volatiliteit verenigt met een laag-dimensionale Markov-structuur.

Mechanisme: Het demonstreert dat long memory kan voortkomen uit de dynamiek van de toestand zelf (specifiek de evolutie van de geheugenschaal $c_n$ ), in plaats van opgelegd te worden via fractionele integratie of oneindige vertragingen.
Hanteerbaarheid: Door een tweedimensionale toestand te behouden, maakt het model een standaard stabiliteitsanalyse en computationeel efficiënte schatting mogelijk, in tegenstelling tot oneindige-orde of fractionele modellen.
Empirisch Nut: Het model reproduceert succesvol de persistentie die in financiële data wordt waargenomen en biedt een voorspellende nauwkeurigheid die vergelijkbaar is met standaard benchmarks, wat suggereert dat het "long-memory" fenomeen effectief gemodelleerd kan worden zonder het Markov-kader te verlaten.

De auteurs blijven bescheiden over de dominantie van het model en erkennen dat, hoewel het aanzienlijke persistentie vangt, het niet in alle markten de in-sample dominantie van FIGARCH evenaart, en dat het out-of-sample voordeel ten opzichte van standaard GARCH beperkt is tot specifieke markten. De primaire bijdrage is de theoretische demonstratie dat een einddimensionaal Markov-proces complexe, long-memory volatiliteitsdynamieken kan genereren door middel van endogene toestandsevolutie.