Long-memory GARCH via a two-dimensional Markov chain

株式市場を、巨大で混沌とした海だと想像してみてください。時には波は穏やかで予測可能ですが、他の時には突然の嵐が襲いかかり、数日間、水面が激しく荒れ狂うこともあります。金融の世界では、この「荒れ狂い」のことをボラティリティ（変動性）と呼びます。何十年もの間、科学者たちはこれらの波を予測するための数学的な地図を作ろうとしてきました。最も有名な地図であるGARCHモデルは、単純なエコー（反響）のように機能します。今日大きな波が来たら、明日も海は少し荒れた状態が続きますが、その波の記憶は、峡谷での叫び声が数秒後に消えていくように、すぐに衰退していきます。

しかし、現実世界のデータは、海がもっと長い記憶を持っていることを示唆しています。大規模な嵐が今日発生すると、その影響で数週間、あるいは数ヶ月にわたって波が「荒い」状態が続くことがあり、これは**ロングメモリー（長記憶性）**と呼ばれる現象です。従来の地図は、記憶が消えるのが早すぎるため、この現象への対応に苦慮してきました。これを解決するために、研究者たちは無限の層を持つ記憶を備えた地図を作ろうと試みましたが、それらはあまりに複雑になりすぎて、使いこなすのが難しかったり、安定性を証明するのが困難であったりしました。本論文は、新鮮なアイデアとともに登場します。「もし、シンプルで追跡しやすく、数学的に健全な、二部構成のシステムを使って、その長く残る記憶を捉えることができたらどうだろうか？」という問いです。

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二次元の記憶マシン

著者であるKyungsub Lee氏とKennedy Titus Kayaki氏は、金融ボラティリティをモデリングする新しい方法を提案しています。彼らのモデルは、単に今現在どれほど水面が「荒い」か（レベル）を追跡するだけでなく、その荒々しさがどれくらいの速さで消えていくと予想されるか（スロープ）も追跡します。

これは、魔法の、自動調整機能を持つゴムバンドのようなものです。

1. レベル： これは、現在ゴムバンドがどれくらい引き伸ばされているかを表します。大きなショック（急激な市場暴落など）は、バンドを引き伸ばし、「ボラティリティ」を高めます。
2. スロープ： これは、ゴムバンドの「硬さ」、あるいは通常の状態に戻ろうとする速さを表します。

古いモデルでは、ゴムバンドは常に一定の固定された速度で戻ろうとしていました。しかし、この新しいモデルでは、ショックが発生するたびに、単にバンドを引き伸ばすだけでなく、バンドの「硬さ」自体も変化させます。もしショックが十分に大きければ、それはバンドをより「緩く」させるかもしれません。つまり、通常の状態に戻るまでに、より長い時間がかかるようになるのです。これにより、フィードバックループが生まれます。ショックの履歴が将来の回復速度を変化させることで、無限の変数を用いることなく、モデルが過去を非常に長く記憶することを可能にします。

その有効性の証明

これらのような自己調整を行う複雑なシステムにおいて、最大の懸念は、システムが暴走してしまうのではないかということです。もしゴムバンドが緩まりすぎると、モデルが無限のボラティリティを予測してしまう可能性があり、それはナンセンスです。著者らは、自分たちのシステムが安全であることを証明するために、多くの時間を費やしました。

彼らは、**フォスター・リャプノフ条件（Foster–Lyapunov condition）と呼ばれる数学的ツールを使用しました。これは「安全網」のようなものだと想像してください。彼らは、市場がいかに荒れても、システムには最終的にゴムバンドを安定した状態へと引き戻す組み込みのメカニズムがあることを示しました。彼らは、このモデルがポジティブ・ハリス再帰的（positive Harris recurrent）**であることを証明しました。これは、専門的な言い方をすれば、「システムは常に予測可能なパターンに落ち着き、無限へと飛んでいくことはない」という意味です。また、この安定したパターンは一意的（ユニーク）であることも示しました。つまり、モデルが混乱して異なる挙動へと切り替わることがないということです。

シミュレーション：ロングメモリーのテスト

彼らのアイデアが実際にロングメモリーを生み出すかどうかを確認するため、チームは数千回のコンピュータ・シミュレーションを実行しました。モデルにランダムな市場ショックを与え、時間の経過とともに「ボラティリティ」がどのように振る舞うかを観察しました。

その結果、モデルのパラメータを特定の「安定境界（セーフティネットの端）」の近くに調整したとき、シミュレートされた市場は、実際のロングメモリー・データと全く同じ挙動を示すことがわかりました。ショックはすぐに消え去るのではなく、停滞し続け、緩やかな「べき乗則（power-law）」に従った減衰を生み出しました。これにより、彼らのシンプルな二部構成のシステムが、実際の金融市場で見られる執拗で長く続くボラティリティを、実際に模倣できることが確認されました。

実世界でのテスト走行

著者らは次に、S&P 500、FTSE 100、DAX、日経225、KOSPI、そしてビットコインという6つの主要な金融市場の実データを用いて、モデルをテストしました。

朗報：
このモデルは、これらの市場の「ロングメモリー」を捉えることに驚くほど優れていました。モデルの予測を実際のデータと比較したところ、日経225やS&P 500などのいくつかの市場において、メモリの推定値は非常によく一致しました。このモデルは、従来の単純なモデルが見逃していたボラティリティの緩やかな減衰を、見事に再現しました。

比較：
彼らは、このモデルをこの分野の有力なモデルたちと戦わせました。

• GARCH(1,1)： 標準的な単純なモデル。
• FIGARCH： ロングメモリーのために特別に設計された複雑なモデル。
• HAR-RV： 過去の実現分散（過去のボラティリティの直接的な尺度）を使用するモデル。

結果：

• 過去への適合度： 複雑なFIGARCHモデルが、歴史的データの「適合（フィッティング）」において最も優れた成績を収めました（最も高い尤度を示しました）。新しいモデルはFIGARCHにはわずかに及びませんでしたが、標準的なGARCH(1,1)には非常に近い数値でした。
• 未来の予測： ここが興味深い点です。将来のボラティリティを予測する際、新しいモデルはほとんどの市場において、標準的なGARCH(1,1)と同等の性能を発揮しました。全体としてFIGARCHを打ち負かすことはありませんでしたが、KOSPIとビットコインを除いて、統計的にほとんどの市場で同等の性能を示しました。
• 真の勝者： 興味深いことに、直接的な過去の分散データを使用するHAR-RVモデルが、すべての予測において最も優れた結果を出しました。しかし、著者らは、HAR-RVは新しいモデルが持っていない情報（リターンだけでなく、実現分散を直接見る）を使用する特化したツールであると注釈しています。

まとめ

本論文は、ロングメモリーを捉えるために、無限に複雑な機械は必要ないという結論を下しています。ショックに基づいて変化する「メモリ・スケール」という、たった一つの追加の次元を加えるだけで、以下の特性を持つモデルを構築できます。

1. 数学的に安全： 暴走することはない。
2. シンプル： 一度に追跡するのはわずか2つの数値である。
3. 効果的： 最も複雑なモデルとほぼ同等のレベルで、市場ボラティリティの執拗で長く続く性質を捉えることができる。

これは、複雑で荒れ狂う海を理解するための最善の方法は、あらゆる波をマッピングすることではなく、水そのものがどのように嵐を記憶しているのかを理解することである、ということを思い出させてくれます。